相对论习题课_图文

相对论习题讨论课
一、狭义相对论的两条基本原理

1. 光速不变原理
2. 相对性原理 二、 洛伦兹变换

洛 仑 兹 变 换

x ? ut ? ? x? ? 2 1 ? ? ? ? y? ? y ? z? ? z ? 2 ? t ? ? t ? ux / c ? 2 1 ? ? ?

洛 仑 兹 逆 变 换

x ? ? ut ? ? ?x ? 2 1 ? ? ? ? y ? y? ? z ? z? ? 2 ? ? t ? u x / c ?t ? ? 2 1 ? ? ?

速度变换

速度逆变换

2 v 1 ? ? vx ? u y v? ? , ? vy ? , x uv x uv x 1? 2 1? 2 c c

vz 1 ? ? 2 v? 。 z ? uv x 1? 2 c

三、 狭义相对论的时空观 (1)同时的相对性 ? x ? u? t ?x ? ? 1? ? 2 ? t ? u? x / c 2 ?t ? ? 2 1? ?

2 2 ? v 1 ? ? v? ? u ? vz 1 ? ? y x vx ? , vy ? , vz ? , ? uv x ? uv ? u v x 1? 2 1? 2 1 ? 2x c c c

?x ? ?t ?

? x ? ? u? t ? 1? ? 2 ? t ? ? u? x ? / c 2 1? ? 2

四、长度收缩效应 原长:细棒固定 S? 中 x? 轴上,S? 相对 S 以恒 定速率 u 运动,S? 系中测量出,L0=x1? -x2? ,为 固有长度,即原长。

u ? L ? L0 1 ? ? ? L0 1 ? 2 c
2

2

五、 时间膨胀效应(time dilation)
原时:S 系中同一地点发生的两个事件的时间间隔 称为原时(固有时) τ0 = t2-t1,原时最短。

? ?
六、 相对论动量

?0

? ? p ? mv

1? ?

2

m ? m( v )

七、相对论质量

m(v ) ?

m0 v 1? 2 c
2

八、 质点的相对论动能公式:

E k ? mc ? m0 c
2
2 4 2 2

2

九、 相对论能量 E = mc2 爱因斯坦质能关系式 十、 动量和能量的关系

E ? m0 c ? P c
2

pc

E
动质能三角形

m0 c

2





1. 关于同时性有人提出以下一些结论,其中哪个 是正确的? (A)在一惯性系中同时发生的两个事件,在另 一惯性系中一定不同时发生。 (B)在一惯性系中不同地点同时发生的两个事 件,在另一惯性系中一定同时发生。 (C)在一惯性系中同一地点同时发生的两个事 件,在另一惯性系中一定同时发生。 (D)在一惯性系中不同地点不同时发生的两个 事件,在另一惯性系中一定不同时发生。 [ ( C) ]

2. 已知电子的静能为 0.511Mev,若电子的动能为 0.25Mev,则它所增加的质量 ?m 与静止质量 m0 的 比值为 (A)0.1。 (B)0.2。 (C)0.5。 (D)0.9。
[ (C) ]

E 0 ? m0 c ? 0.511 mev
2

E k ? mc ? m0 c ? 0.25 mev
2 2

?m mc 2 ? m0 c 2 0.25 ? 0.489 ? 0.5 ? ? 2 m0 m0 c 0.511

3. 两个惯性系 S 和 S?,沿 X、X? 轴方向作相对运 动,相对速度为 u,设在 S? 系中某点先后发生的 两个事件,用固定于该系的钟测出两事件的时间间 隔为 ?0 ,而用固定在 S 系的钟测出这两个事件的 时间间隔为 ?。又在 S? 系 X? 轴上放置一固有长度 为 l0 的细杆,从 S 系测得此杆的长度为 l,则 (A) ? < ?0 ,l < l0。
(C) ? > ?0 ,l > l0。

(B) ? < ?0 ,l > l0。
(D) ? > ?0 ,l < l0。 [(D)]

? ?

?0

1? ?
2

2
2

u L ? L0 1 ? ? ? L0 1 ? 2 c

4. ( 1 )对某观察者来说,发生在某惯性系中同一地 点、同一时刻的两个事件,对于相对该惯性系作匀 速直线运动的其它惯性系中的观察者来说,它们是 否同时发生? ( 2 )在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的 两个事件,它们在其它惯性系中是否同时发生? 关于上述两个问题的正确答案是: (A)(1)同时,(2)不同时. (B)(l)不同时,(2)同时. (C)(l)同时,(2)同时. (D)(1)不同时,(2)不同时. [ (A)]

5. 质子在加速器中被加速,当其动能为静止能量的 4 倍时,其质量为静止质量的

(A)5倍. (B)6倍. (C)4倍. (D)8倍. [ (A) ]

E k ? mc ? m0 c ? 4m0 c
2 2

2

? m ? 5m 0

6. 下列几种说法:
(1)所有惯性系对物理基本规律都是等价的. (2)在真空中,光的速度与光的频率、光源的运动状态 无关. (3)在任何惯性系中,光在真空中沿任何方向的传播速 度都相同.

其中哪些说法是正确的?
(A)只有(l)、(2)是正确的. (B)只有(l)、(3)是正确的. (C)只有(2)、(3)是正确的. (D)三种说法都是正确的.

[ (D) ]

7. 当惯性系 S 和 S? 坐标原点 O 和 O? 重合时,有一 点光源从坐标原点发出一光脉冲,对 S 系经过一段 时间 t 后(对 S? 系经过时间为 t ? ),此光脉冲的球 面方程(用直角坐标系)分别为:

x ? y ?z ?c t S 系_____________________________________ 。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? S? 系_____________________________________ 。 x ? y ? z ? c t?

8.(本题3分)

相对的 ,它们 狭义相对论确认,时间和空间的测量值都是 ________ 运动 密切相关。 与观察者的_________

9. 狭义相对论的两条基本原理中,相对性原理说的 一切彼此相对作匀速直线运动的惯性系对于物 是 __________________________________________
理学定律都是等价的 ; ____________________ 一切惯性系中,真空中的光 光速不变原理说的是 __________________________ 速都是相等的,与光源或观察者的运动状态无关 。 ___________________________________________ 10. 粒子在加速器中被加速,当其质量为静止质量

的 5 倍时,其动能为静止能量的

4

倍.
2 2

? m ? 5m 0 , 则 E ? 5m 0 c
2 2

? E k ? mc ? m0 c ? 4m0 c

11.(本题3分) 一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米尺 的长度为 0.5m。则此米尺以速度 v =______________ 2.60×108(m/S) m· s-1 接近观察者。

L ? L0

u2 1 ? 2 , ? u ? 1 ? (0.5) 2 c ? 0.866c c

12. 当粒子的动能等于它的静止能量时,它的运动速 度为___________ 3c 2 。

? E k ? mc 2 ? m0 c 2 ? m0 c 2 ? m ? 2m0 ? 1 u2 1? 2 c ?2 ? u 1 3 1? 2 ? ? u? c c 2 2
2

13.有一直尺固定在 K’系中,它与 OX’轴的夹角 ? = 45° ,如果 K’系以速度 u 沿 OX 方向相对于 K系运动,K 系中观察者测得该尺与 OX 轴的夹角 (A)大于 45° 。 (B)小于45° 。 (C) 等于45° 。 (D)当 K’系沿 OX 正方向运动时大于45° ,而 当 K’系沿OX负方向运动时小于45° 。 [ (A) ]
? L0 y L0 x ? tg45? ? 1, 而 Lx ? L0 x Ly L0 y u2 1 ? 2 ? tg? ? ? c Lx Lx ? ? ? 45?

14. 已知一静止质量为 m0 的粒子,其固有寿命 为实验室测量到的寿命的 1/n,则此粒子的动 2 ( n ? 1)m0c 。 能是__________

? ?

?0
u 1? 2 c
2

,

1 ? ?0 ? ? ? n
2

1 u 1? 2 c ? m0c
2 2

?n

? E k ? mc ? m0 c ?
2

m0 c

2 2

? ( n ? 1)m0 c 2

u 1? 2 c

16. 宇宙中存在μ介子,寿命为τ0=2×10-6 s ,对地球 的速度 u = 0.998c,问在 8 千米高空中的μ介子能否 到达地面? 解:按经典观点: ?l ? ? 0u ? 2 ? 10?6 ? 0.988? 3 ? 108 ? 598.8m ? 8km 不能到达地面 但按相对论,地球上的人看来 ?0 2 ? 10?6 ?6 ?? ? ? 31 . 7 ? 10 ( s) 2 1? ? 1 ? 0.9982 Smax ? ? ? u ? 9500 (m) 能到达地面 另解: μ介子看来,大气层收缩: 大气层厚度: l ' ? l 0 1 ? ? 2 ? 8000 1 ? 0.9982 ? 505.7(m ) S ? ? u? 0 ? 0.998? 3 ? 108 ? 2 ? 10?6 ? 598.8( m ) ? l ? 能到达地面

17. 试证明:(1)如果两事件在某惯性系中是同一地 点发生的,则对一切惯性系来说这两个事件的时间间 隔,只有此惯性系中最短。 (2)如果两事件在某惯性系中是同时发生的,则对一 切惯性系来说这两个事件的空间间隔,只有此惯性系 中最短。 (3)某惯性系同时同地发生的事件,在其他惯性系中 也是同时同地事件。 ? x ? u? t ? ?x ? ? ? 2 2 ? 1 ? v / c 证明:由洛伦兹变换得到 ? 2 ?t ? ( u / c ) ?x ? ?t ? ? 2 2 ? 1 ? v / c ?

通过讨论这两个关系式就可得到上述结论。

18. 观察者甲和乙分别静止于两惯性系 K、K? 中,甲 测得同地事件的时间间隔为 4s,乙测得这两个事件的 时间间隔为 5s。求: (1)K ? 相对于 K 的运动速度。 (2)乙测的这两个事件发生的地点距离。 解: (1) 由洛伦兹变换可得 ?t ?t ? ? 1 ? (v / c ) 2 已知 ?t? = 5S, ?t = 4.0 S。代入可解出:v = 3 c/5。 (2) 由洛伦兹变换可得

?x? ?

?x ? v?t 1 ? v2 / c2

?

0 ? ( 3c 5) ? 4 1 ? ( 3c / 5)2 c 2

? ?3c (m)

19. 快速运动的介子的能量约为 E=3000Mev,而这种 介子在静止时的能量 E0=100Mev,若这种介子的固 有寿命 ?0 = 2×10-6 s,求它运动的距离。
解:据 E ? mc 2 ? m0c 2 / 1 ? v 2 / c 2 ? E0 / 1 ? v 2 / c 2 可得: 由此求出:

1 / 1 ? v 2 / c 2 ? E / E 0 ? 30

v ? 2.996? 10 m / s
8
2 2

地面上观察者看来:

介子运动的时间 ? ? ? 0 / 1 ? v / c ? 30? 0

则介子运动的距离 l ? v ? ? ? v ? 30? 0 ? 1.789? 10 m
4


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