湖北省黄石市第三中学2015届高三数学下学期适应性考试试题 理(B卷)

2015 年黄石三中高三年级适应性考试 数 学(理工类)

本试题卷共 6 页,22 题,其中 15、16 题为选考题。全卷满分 300 分。考试用时 150 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、在复平面内,i 为虚数单位,复数 A.第四象限

1 ? 3i 对应的点位于( 1? i
C.第二象限

) D.第一象限

B.第三象限

2、已知全集 U ? R , A ? { y | y ? 2x ? 1} , B ? {x | ln x ? 0} ,则 (CU A) ? B ? ( ) A. x 0 ? x ? 1

?

?

B. {x | x ? 1}

C. {x |

1 ? x ? 1} 2

D. ?

3、 已知 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a2 ? a5 ? a8 ? 12 ,则 S 9 等于( ) A. 72 B. 36 C. 18 D.无法确定

1 4、由命题 p : “函数 y ? 是减函数”与 q : “数列 a, a2 , a3 ,? 是等比数列”构成复合命 x
题,下列判断正确的是( ) A. p 或 q 为真, p 且 q 为假 ,非 p 为真 B. p 或 q 为真, p 且 q 为假,非 p 为假 C.

p 或 q 为假, p 且 q 为真,非 p 为真

D. p 或 q 为假, p 且 q 为假,非 p 为真 5、在△ABC 中,AB=4,∠ABC=30°,D 是边 的值等于( A.0 ) B.8 C.4 上的一点,且 D.-4 ,则

6、 已知映射 f : P(m, n) ? P?( m , n ) ? m ? 0, n ? 0 ? . 设 点 A?1,3? ,B ? 2,2? , 点M 是 线段 AB 上一动点, f : M ? M ? .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束 时,点 M 的对应点 M ? 所经过的路线长度为 ( )

? A. 4

? B. 3
1

C.

? 12

D.

? 6


7、放在水平桌面上的某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A.π +3 B.π +4 C. D. +2 +4

8、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , A1 , A2 为实轴顶点, F 是右焦点, B(0, b) 是虚轴端 a 2 b2

点,若在线段 BF 上(不含端点)存在不同的两点 Pi (i ? 1, 2) ,使得 ?Pi A1 A2 构成以 A1 A2 为斜边的直角三角形,则双曲线离心率 e 的取值范围是( A. ( 2, ) D. (

5 ?1 ) 2

B. ( 2, ??)

C. (1,

5 ?1 ) 2

5 ?1 , ??) 2

?3 x ? y ? 10 ? 0 ? 9、设不等式组 ? x ? y ? 6 ? 0 表示的平面区域为 D ,若 ?x ? 3y ? 6 ? 0 ?
函数 y ? loga x ( a ? 0且a ? 1 )的图像上存在区域 D 上的点,则实数 a 的取值范围是( A. ? 0, ? ? ?3,??? 2 C. ? ,1? ? ?3,??? ?2 ?
x

) B. ? 0, ? ? ?1,3? 2

? 1? ? ? ?1 ?

? 1? ? ?

D. ? ,1? ? ?1,3? ?2 ?

?1 ?

10、设 x1 , x 2 ? R ,函数 f ( x) 满足 e ? 最小值是( ) . A. C.

1 ? f ( x) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,则 f ( x1 ? x2 ) 1 ? f ( x)

1 4
4

B.

4 5

D. 2

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.1 1~1 4 题为必做题,1 5
2

题、16 题为选做题)

? a? ?3 11、已知 a ? ? sin xdx ,则二项式 ?1 ? ? 的展开式中 x 的系数为 0 ? x?
12、在样本的频率分布直方图中,共有 4 个小长方形, 这 4 个小长方形的面积由小到大构成等比数列 ?an ? ,已知

?

5

.

a2 ? 2a1 ,且样本容量为 300,则小长方形面积最小的一
组的频数为________. 13、当输入的实数 x ? ? 2,30? 时,执行如图所示的程序框图,则 输出的 x 不小于 103 的概率是 14、如图,平面中两条直线 1 和 2 相交于点 O ,对于平面 上任意一点 M ,若

l

l

p, q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距

离, 则称有序非负实数对 ( p, q) 是点 M 的“距离坐标”. 给 出下列四个命题: ①若 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 (0, 0) 的点有 且仅有 1 个.②若 pq ? 0 ,且 p ? q ? 0 ,则“距离 坐标”为 ( p, q) 的点有且仅有 2 个.③若 pq ? 0 , 则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且仅有 4 个 .④若
M(p,q) O l2 l1

p ? q ,则点 M 的轨迹是一条过 O 点的直线.
其中所有正确命题的序号为 .

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所 选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15、 (选修 4-1:几何证明选讲)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F , E 是 AB 延 长 线 上 一 点 , 且 DF ? CF ? 2, AF ? 2BF , 若 CE 与 圆 相 切 , 且
D F C B E

CE ?

7 ,则 BE = 2

.

A

16、 (选修 4-4: 坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? =6 sin ? , 以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

3

1 ? x ? t, ? 2 ? (t 为参数) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段长度 ? 3 ?y ? t ?1 ? 2 ?



三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin ? x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值; (Ⅱ)已知 cos ? ? ? ? ? ?
2

? ?

7? ? 3? ? ? ? ? cos ? x ? ? , x ? R 4 ? 4 ? ?

4 4 ? , cos ? ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ? , 5 5 2

求证: ? f ( ? ) ? ? 2 ? 0 . 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 bn?1an ? bn an?1 ? (?2)n ? 1 , bn ?

3 ? (?1)n?1 , n ? N ? ,且 2

a1 ? 2 .
(Ⅰ)求 a2 , a3 的值; (Ⅱ)设 cn ? a2n?1 ? a2n?1 , n ? N ? ,证明 ?cn ? 是等比数列;

19. (本小题满分 12 分) 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相 同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30 天)的快递件数 记录结果中随机抽取 10 天的数据,制表如下: 甲公司某员工 A 3 9 6 5 8 3 3 0 2 1 3 4 4 4 乙公司某员工 B 6 2 6 2 6 2 7 7

每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:
4

甲公司规定每件 4.5 元;乙公司规定每天 35 件以内(含 35 件)的部分每件 4 元,超 出 35 件的部分每件 7 元. (Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数; (Ⅱ)为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况,从这 10 天中随机抽取 1 天,他 所得的劳务费记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.

20.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ? 平 面 ABCD ,PA ? AD ? 4 ,AB ? 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、AC 为直径的球面交 PD 于点 M , 交 PC 于点

N
(Ⅰ)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (Ⅱ)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值; ( Ⅲ)求点 N 到平面 ACM 的距离.

21. (本小题满分 13 分) 平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的离心率为 a2 b2

,焦点为

F1、F2,直线 l : x ? y ? 2 ? 0 经过焦点 F2,并与 ? 相交于 A、B 两点. (1)求 ? 的方程; (2)在 ? 上是否存在 C、D 两点,满足 CD∥AB,F1C=F1D?若存在,求直线 CD 的方程; 若不存在,说明理由.

22. (本小题满分 14 分)

5

设函数 f ( x) ? e x (ln x ? a) ,e 是自然对数的底数,e≈2,718, a ∈R 为常数. (1)若 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线 l 的斜率为 2e,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,证明切线 l 与曲线 y ? f ( x) 在区间(0, )至少有 1 个公 共点; (3)若 [ln 2, ln 3] 是 y ? f ( x) 的一个单调区间,求 a 的取值范围.

6


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