[最新]高中数学(人教版B版·必修5)配套练习:3.2均值不等式 第1课时

第三章

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3.2

第 1 课时

一、选择题

1.若 a、b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )

A.a2+b2>2ab

B.a+b≥2 ab

C.1a+1b>

2 ab

D.ba+ab≥2

[答案] D [解析] ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A 错误. 对于 B、C,当 a<0,b<0 时,明显错误.

对于 D,∵ab>0,∴ba+ab≥2 ba·ba=2.

2.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( )

A.a<b<

a+b ab< 2

B.a<

a+b ab< 2 <b

C.a<

a+b ab<b< 2

D.

a+b ab<a< 2 <b

[答案] B [解析] ∵0<a<b,∴a<a+2 b<b,

A、C 错误; ab-a= a( b- a)>0,即 ab>a,故选 B. 3.设 x、y∈R,且 x+y=5,则 3x+3y 的最小值为( )

A.10

B.6 3

C.4 6

D.18 3

[答案] D

[解析] x+y=5,3x+3y≥2 3x·3y=2 3x+y=2 35=18 3.

4.已知正项等差数列{an}中,a5+a16=10 则 a5a16 的最大值为( )

A.100

B.75

C.50

D.25

[答案] D [解析] ∵a5>0,a16>0,a5+a16=10, ∴a5·a16≤(a5+2 a16)2=(120)2=25,

当且仅当 a5=a16=5 时,等号成立.

5.设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则1a+1b的最小值为(

)

A.8

B.4

C.1

D.14

[答案] B [解析] 根据题意得 3a·3b=3,∴a+b=1, ∴1a+1b=a+a b+a+b b=2+ba+ab≥4.

当 a=b=12时“=”成立.故选 B.

6.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2 中最大的一个是( )

A.a2+b2

B.2 ab

C.2ab

D.a+b

[答案] D

[解析] 解法一:∵0<a<1,0<b<1,

∴a2+b2>2ab,a+b>2 ab,a>a2,b>b2,

∴a+b>a2+b2,故选 D.

解法二:取 a=12,b=13,则 a2+b2=1336,2 ab= 36,2ab=13,a+b=56,显然56最大. 二、填空题

7.设实数

a

使

a2 + a - 2>0







t>0







1 2

logat



loga

t+1 2















________________.

[答案] 12logat≤logat+2 1

[解析] ∵a2+a-2>0,∴a<-2 或 a>1,

又 a>0 且 a≠1,∴a>1,

∵t>0,∴t+2 1≥ t,∴logat+2 1≥loga t=12logat,

∴12logat≤logat+2 1

8.函数 y=x·(3-2x) (0≤x≤1)的最大值为______________.

[答案]

9 8

[解析] ∵0≤x≤1,∴3-2x>0,∴y=122x·(3-2x)≤12[2x+?23-2x?]2=98,当且仅当 2x=

3-2x 即 x=34时,取“=”号.

三、解答题

9.已知 a、b 是正数,试比较1a+2 b1与 ab的大小.

[解析] ∵a>0,b>0,

∴1a+1b≥2

1 ab>0.

∴1a+2 b1≤2

2= 1 ab

ab.

2 即1a+b1≤

ab.

一、选择题

1.已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则 1x+31y的最小值是(

)

A.2

B.2 2

C.4

D.2 3

[答案] C [解析] 由 lg2x+lg8y=lg2,得 lg2x+3y=lg2,

∴x+3y=1,1x+31y=(1x+31y)(x+3y)=2+3xy+3xy≥4,

当且仅当3xy=3xy,即 x=12,y=16时,等号成立.

2.a=(x-1,2),b=(4,y)(x、y 为正数),若 a⊥b,则 xy 的最大值是( )

A.12

B.-12

C.1

D.-1

[答案] A

[解析] 由已知得 4(x-1)+2y=0,即 2x+y=2.

∴xy=x(2-2x)=2x?22-2x?≤12×(2x+22-2x)2=12.

3.设函数 f(x)=2x+1x-1(x<0),则 f(x)( )

A.有最大值

B.有最小值

C.是增函数

D.是减函数

[答案] A [解析] ∵x<0,∴f(x)=2x+1x-1

≤-2 ?-2x??-1x?-1

=-2 2-1,

等号在-2x=-1x,即 x=- 22时成立.

∴f(x)有最大值.

4.已知

x>0,y>0,x、a、b、y

成等差数列,x、c、d、y

成等比数列,则?a+b?2的最小值 cd

是( )

A.0

B.1

C.2

D.4

[答案] D

[解析] 由等差、等比数列的性质得

?a+cdb?2=?x+xyy?2=xy+yx+2≥2 yx·xy+2=4.当且仅当 x=y 时取等号,∴所求最小值为 4.

二、填空题

5.已知 a>b>1,P= lga·lgb,Q=12(lga+lgb),R=lg(a+2 b),则 P、Q、R 的大小关系是

________.

[答案] P<Q<R

[解析] 因为 a>b>1,所以 lga>lgb>0,

所以12(lga+lgb)> lga·lgb,即 Q>P,

又因为a+2 b>

ab,所以

a+b lg 2 >lg

ab=12(lga+lgb),所以 R>Q.故 P<Q<R.

6.函数 y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn>0)上,

则m1 +1n的最小值为________.

[答案] 4

[解析] 函数 y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A(1,1).

∴m+n-1=0,即 m+n=1.

又 mn>0,∴m1 +1n=(m1 +1n)·(m+n)=2+(mn +mn )≥2+2=4,当且仅当 m=n=12时,等号成

立.

三、解答题

7.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的质量,只需将物 体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量,这种说法对吗?

证明你的结论.

[解析] 不对.设左右臂长分别为 l1,l2,物体放在左、右托盘称得重量分别为 a、b,真

实重量为 G,则由杠杆平衡原理有:

l1·G=l2·a,



l2·G=l1·b,



①×②得 G2=ab,∴G= ab,由于 l1≠l2,故 a≠b, 由均值不等式a+2 b> ab知说法不对,

真实重量是两次称量结果的几何平均数.

8.求函数 y=1-2x-3x的值域.

[解析] y=1-2x-3x=1-(2x+3x).

①当 x>0 时,2x+3x≥2 2x·3x=2 6.

当且仅当 2x=3x,即 x= 26时取等号.

∴y=1-(2x+3x)≤1-2 6.

②当 x<0 时,y=1+(-2x)+(-3x).

∵-2x+(-3x)≥2 ?-2x?·?-3x?=2 6.

当且仅当-2x=-3x时,即 x=- 26时取等号.

∴此时 y=1-2x-3x≥1+2 6

综上知 y∈(-∞,1-2 6]∪[1+2 6,+∞).

∴函数 y=1-2x-3x的值域为(-∞,1-2 6)∪[1+2 6,+∞).

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