全国高中数学联合竞赛一试(模拟)及答案201334

全国高中数学联合竞赛一试(模拟) 试题参考答案及评分标准(A 卷) 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他 各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,解答题中 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 函数 f ( x) ? A.0 5 ? 4 x ? x2 在 (??, 2) 上的最小值是 2? x B.1 C.2 D.3 ( C ) [解] 当 x ? 2 时, 2 ? x ? 0 ,因此 f ( x) ? 1 ? (4 ? 4 x ? x 2 ) 1 1 ? ? (2 ? x) ? 2 ? ? (2 ? x) 2? x 2? x 2? x 1 ? 2, 当且仅当 而此方程有解 x ? 1? (??, 2) , 因此 f ( x) 在 (??, 2) ? 2 ? x 时上式取等号. 2? x 上的最小值为 2. 2. A ? [?2, 4) ,B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} , B ? A , 设 若 则实数 a 的取值范围为 A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [0,3] D. [0,3) ( D ) [解] 因 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根 x1 ? a a2 a a2 , , x2 ? ? 4 ? ? 4? 2 4 2 4 故 B ? A 等价于 x1 ? ?2 且 x2 ? 4 ,即 a a2 a a2 ? 4? ? ?2 且 ? 4 ? ? 4, 2 4 2 4 解之得 0 ? a ? 3 . 3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对 方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 2 ,乙在每局中获胜的概率为 3 ( B ) D. 1 , 且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 为 3 241 266 274 B. C. 81 81 81 [解法一] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. A. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 670 243 1 2 1 5 ( )2 ? ( )2 ? . 3 3 9 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对 下轮比赛是否停止没有影响.从而有 P(? ? 2) ? 5 , 9 4 5 20 , P(? ? 4) ? ( )( ) ? 9 9 81 4 16 P (? ? 6) ? ( ) 2 ? , 9 81 5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81 [解法二] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ? 5 , 9 P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81 P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 16 ? 4( ) 2 ( ) 2 ? , 3 3 81 5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81 4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm2,则这三个正方体 的体积之和为 A. 764 cm 或 586 cm C. 586 cm 或 564 cm 3 3 3 ( A ) B. 764 cm 3 3 D. 586 cm3 [解] 设这三个正方体的棱长分别为 a, b, c ,则有 6 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 564 , a2 ? b2 ? c2 ? 94 ,不 妨设 1 ? a ? b ? c ? 10 ,从而 3c ? a ? b ? c ? 94 , c ? 31 .故 6 ? c ? 10 . c 只能取 9, 2 2 2 2 2 8,7,6. 若 c ? 9 ,则 a 2 ? b2 ? 94 ? 92 ? 13 ,易知 a ? 2 , b ? 3 ,得一组解 (a, b, c) ? (2,3,9) . 0 若 c ? 8 , a2 ? b2 ? 94 ? 64 ? 30 ,b ? 5 . 2b ?3 ,b ? 4 , 则 但 从而 b ? 4 或 5. b ? 5 , 若 2 则 a ? 5 无解,若 b ? 4 ,则 a ? 14 无解.此时无解. 2 2 2 若 c ? 7 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 49 ? 45 ,有唯一解 a ? 3 , b ? 6 . 若 c ? 6 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 36 ? 58 ,此时 2b ? a ? b ? 58 , b ? 29 .故 b ? 6 ,但 2 2 2 2 b ? c ? 6 ,故 b ? 6 ,此时 a 2 ? 58 ? 36 ? 22 无解. ? a ? 2, ? a ? 3, ? ? 综上,共有两组解 ?b ? 3, 或 ?b ? 6, ? c ? 7. ?c ? 9 ? ? 体积为 V1 ? 23 ? 33 ? 93 ? 764 cm3 或 V2 ?

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