高中北师版数学A版必修1(45分钟课时作业与单元测试卷):2.4.2二次函数性质的再研究(二) Word版含解析

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二次函数性质的再研究(二)

时间:45 分钟 满分:80 分 班级________ 姓名________ 分数________

一、选择题(每小题 5 分,共 5×6=30 分) 1.二次函数 y=-x2+4x+t 图像的顶点在 x 轴上,则 t 的值是( A.-4 B.4 C.-2 D.2 答案:A 解析:二次函数图像的顶点在 x 轴上,所以 Δ=42-4×(-1)×t=0,解得 t=-4. 2.若函数 f(x)=x2+ax+b 的图像与 x 轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数 f(x)( A.在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增 B.在(-∞,3)上递增 C.在[1,3]上递增 D.单调性不能确定 答案:A 解析: 由已知可得该函数的图像的对称轴为 x=2, 又二次项系数为 1>0, 所以 f(x)在(- ∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的. 3.若二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于( b b A.- B.- 2a a C.c 答案:C b b 解析:∵f(x1)=f(x2)且 f(x)的图像关于 x=- 对称,∴x1+x2=- . 2a a b b2 b - ?=a· 2-b· +c=c. ∴f (x1+x2)=f? ? a? a a 4.函数 y=|x|(1-x)在区间 A 上是增函数,那么区间 A 是( 1 0, ? A.(-∞,0) B.? ? 2? 1 ? C.[0,+∞) D.? ?2,+∞? 答案:B
? ?x?1-x?,x≥0 解 析 : y = |x|(1 - x) = ? ?-x?1-x?,x<0 ?
2 ? ?-x +x,x≥0 ? ? y = 2 ?x -x,x<0 ?

)

)

)

4ac-b2 D. 4a

)

? y =

? ?-? ?x-2? +4,x≥0 ?? 1? 1 ??x-2? -4,x<0
2 2

1

1

,画出函数的大致图象,

1 0, ?上单调递增.故选 B. 如图所示.由图易知函数在? ? 2? 5.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x y -3 6 -2 m -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 ) 3 n 4 6

可以判断方程 ax2+bx+c=0 的两根所在的区间是( A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1) C.(-1,1)和(1,2) D.(-1,3)和(4,+∞) 答案:A

1 解析: 由表格可得二次函数 f(x)的对称轴为 y= , a>0, 再根据 f(-3)f(-1)<0, f(2)f(4)<0, 2 可得 f(x)的零点所在的区间是(-3,-1)和(2,4), 即方程 ax2+bx+c=0 的两个根所在的区间是(-3,-1)和(2,4). 6. 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b), 并且 α、 β 是方程 f(x)=0 的两个根(α<β), 则实数 a、 b、α、β 的大小关系可能是( A.α<a<b<β B.a<α<β<b C.a<α<b<β D.α<a<β<b 答案:A 解析: 设 g(x)=(x-a)(x-b),则 f(x)=g(x)-2, 分别作出这两个函数的图象,如图所示, 可得 α<a<b<β,故选 A. )

二、填空题(每小题 5 分,共 5×3=15 分) 7.若方程 ax+b=0(a≠0)的一个解是 1,则方程 bx2-ax=0 的解是________. 答案:0 或-1 解析:由题意知 ax+b=0(a≠0)的解为 x=1,∴b=-a,∴g(x)=-ax2-ax=-ax(x+ 1),令 g(x)=0,则 x=0 或 x=-1. 8.若函数 f(x)=x2-ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,则实数 a=________. 答案:1 解析:函数 f(x)=x2-ax-a 的图象为开口向上的抛物线, ∴函数 f(x)的最大值在区间的端点处取得. ∵f(0)=-a,f(2)=4-3a,
?-a>4-3a ?-a≤4-3a ? ? ∴? 或? ,解得 a=1. ? ? ?-a=1 ?4-3a=1
2 ? ?x +bx+c,x≤0 ? 9.设函数 f(x)= ,若 f(-2)=f(0),f(-1)=-3,则方程 f(x)=x 的解 ?2,x>0 ?

集为________. 答案:{-2,2} 解 析 : 当 x≤0 时 , f(x) = x2 + bx + c , 因 为 f( - 2) = f(0) , f( - 1) = - 3 , 所 以
??-2?2-2b+c=c ?b=2 ?x2+2x-2,x≤0 ? ? ? ? ? ? ,解得 ,故 f ( x ) = .当 x≤0 时,由 f(x)=x, 2 ??-1? -b+c=-3 ? ?2,x>0 ? ?c=-2 ?

得 x2+2x-2=x,解得 x=-2 或 x=1(舍去);当 x>0 时,由 f(x)=x,得 x=2.所以方程 f(x) =x 的解集为{-2,2}. 三、解答题(共 35 分,11+12+12) 10.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数. 解:(1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,∴f(x)的最小值是 f(2)=-1,

又 f(-4)=35,f(6)=15, 故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图像开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函 数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. 11.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2x+m 的上方,试确定实数 m 的取值 范围. 解:(1)由 f(0)=1,可设 f(x)=ax2+bx+1(a≠0), 又 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x,
? ? ?2a=2 ?a=1 所以? ,解得? . ?a+b=0 ?b=-1 ? ?

故 f(x)=x2-x+1. (2)由题意,得 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1>m,对任意的 x∈[-1,1]恒成立. 令 g(x)=x2-3x+1(x∈[-1,1]),则问题可转化为 g(x)min>m. 又 g(x)在[-1,1]上单调递减,所以 g(x)min=g(1)=-1. 故 m<-1. 所以实数 m 的取值范围是(-∞,-1). 12.已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)若 f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f(x)的最小值 g(a). 解:(1)由 f(x)=(x+a)2+2-a2,知其图象的对称轴为直线 x=-a. ∵f(x)在[-5,5]上是单调函数, ∴-a≤-5 或-a≥5,即 a≥5 或 a≤-5. ∴实数 a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞). (2)当 a≤-5 时,f(x)在[-5,5]上为减函数,则 f(x)min=f(5)=27+10a; 当-5<a<5 时,f(x)min=f(-a)=2-a2; 当 a≥5 时,f(x)在[-5,5]上为增函数,则 f(x)min=f(-5)=27-10a. 27+10a,a≤-5 ? ? 2 综上所述,g(a)=?2-a ,-5<a<5. ? ?27-10a,a≥5


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