选修4-4极坐标系的概念课件_图文

极坐标系的概念

从这向北 500米。

请问:去?? 中学怎么走?

请分析上面这句话,他告诉了问路人 什么? 从 这 向 北 走 5 0 0 米 !

出发点

方向

距离

在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想,就是极坐 标的基本思想。

建构数学
1、极坐标系的建立: 在平面内取一个定点O,叫做极点. 引一条射线OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 (通常取逆时针方向). O 这样就建立了一个极坐标系. X

2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用?表示线段OM的长度, 用?表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,?叫做点M的极径, ?叫做点M的极角,有序数对 (?,?)就叫做M的极坐标。 思考: 对比直角坐标系,比较异同。 极点、极轴、长度单位、 (1) 要素:____________________ 计算角度的正方向 ____________________; O (?, ?) 表示. (2) 平面内点的极坐标用_____

M ? ? X

极点的极坐标为 (0, ?), ?可为任意值. ____________________

数学运用
例1、 如图,写出各点的极坐标:
? 2 ? 4

5? 6

D

?

? E ?
F

?

C

A(4,0) B(3, ? ) 4 ? C(2, 2 )

。 O1

? B

? ?

A

x

5? D(5, ) 6 E(4.5, ?)

4? 3

?

G

5? 3

F(6,4?) 3 G(7, 5? ) 3

[变式训练 ] 在学案的图上描下列点:

4? A(3, 0)、B(6, 2? )、C (3, )、D(5, )、 2 3 5? 5? E (3, )、F (4, ? )、G (6, ) 6 3 [小结]由极坐标描点的步骤: (1) 先按极角找到点所在射线; (2) 在此射线上按极径描点. 思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一? 若不唯一,那有多少种表示方法? ②不同的极坐标是否可以写出统一表达式?

?

3、点的极坐标的表达式的研究
如图:OM的长度为4, ? ?

?
4

? ?

M

请说出点M的极坐标的表达式? 思考:这些极坐标之间有何异同? 极径相同,不同的是极角. 思考:这些极角有何关系?

O X π ? ? +2kπ ? ? 4, ? 4 ?

这些极角的始边相同,终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。

4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
M

P (ρ,θ)

[1]给定(?,?),就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M

O

X

[2]给定平面上一点M,但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于:极角有无数个。 如果限定ρ >0,0≤θ <2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.

数学运用
例2、在极坐标系中, ( 1)已知两点P(5、 ),Q( 1, ),求线段PQ的长度。 4 4 5? ? (2)已知两点P(5、 ),Q( 1, ),求线段PQ的长度。 4 ,4 (3)说明满足条件? ?

?

?

?
3

, ? ? 0的点M(?,?)所组成的图形

若( 3)中的? ? R,则M表示什么样的图形?

5、关于负极径

? 在一般情况下,极径都是取正值。但在某些必要的 情况下,也允许取负值(?<0): 时如何规定 ?)对应的点的位置? 当?<0时,点 M(?,(? ?, )的位置规定: 点M:在角?终边的反向延长线上,且|OM|=|?|
5? 6 ° O M(-2, 5?) 6 ° O

?
x

x ? ?M(-2, 5?) M (?, ?) 6 小结: 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.

5? 6

2? F 3? B

? 2

? 4

?

?

D 。 O

? ?A

1

x

?
5? 4 [小结] (?, ?) C 3? 2

?

E

5? 3 (-?, ?+?)

11? 6

A(-4,0) 5? B(3, 6 ) ? C(-2, 2 ) D(-1, 5?) 3 E(3,- ? ) 6 ?) ( 4, F 3

(?, 2k?+?)

都是同一点的 极坐标. (-?, ?+(2k+1)?)

数学运用
例3. 已知点Q(?, ?),分别按下列条件求出点P的坐标: (1) P是点Q关于极点O的对称点; ? (2) P是点Q关于直线 的对称点. ?? 2 (3) P是点Q关于极轴的对称点。

? 注意点M的极坐标具有多值性.

课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点;极轴;长度单位;计算角度的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式? 无数,极角有无数个.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式? 有。(ρ ,2kπ +θ )

课后作业
? 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( ) 2? (A) (10,4? ) (B) (-10, 5 -? ) (C) (10,2? - ) (D)(10, 3 3 3 3


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