北京市丰台区2010年高三抽样测试数学试题(文科)2010.5

欢迎光临《 欢迎光临《中学数学信息网》 信息网》

zxsx127@163.com

丰台区 2010 年高三统一练习(二)

数学(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)

1、已知向量 a = (1, k ) b = ( 2 ,1) a 与 b 的夹角为 90° ,则实数 k 的值为 , ,若
A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?2

D. 2

2、设集合 A= x | x ? 1|< 1 ,B= x x < 1 ,则 (?R B ) ∩ A 等于 A

{

}

{

}

{x x ≥ 1}

B

{x 0 < x < 1}

C

{x 1 < x ≤ 2}

D

{x 1 ≤ x < 2}

3、设 p、q 是简单命题,则 " p ∧ q " 为真是 " p ∨ q " 为真的 A 充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4、在 ?ABC 中,sin(A+B)=sin(A-B),则 ?ABC 一定是 A 等腰三角形 B 等边三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形

5、甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如下图所示 甲 7 8 7 茎 8 9 6 3 乙 8 6 7

6 2

设 s1 , s2 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, x1 , x2 分别表示甲、乙两名运动员测试成 绩的平均数,则有 A C

x1 = x2 , s1 < s2 x1 > x2 , s1 > s2

B D

x1 = x2 , s1 > s2 x1 = x2 , s1 = s2

6、已知函数 f(x)是偶函数,在(0,+∞)上导数 f ′( x ) >0 恒成立,则下列不等式成立的是 A C f(-3)<f(-1)<f(2) f(2)<f(-3)<f(-1) B D f(-1)<f(2)<f(-3) f(2)<f(-1)<f(-3)

7、设 a,b,c 是空间三条不同的直线,α,β,γ是空间三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 a ⊥ α , b ⊥ α ,则 a

b ;②若 α ⊥ γ , β ⊥ γ ,则 α

β;

《中学数学信息网》系列资料 息网》

WWW.ZXSX.COM

版权所有@《中学数学信息网》 《 信息网》

欢迎光临《 欢迎光临《中学数学信息网》 信息网》

zxsx127@163.com

③若 b ? α , b ⊥ β ,则 α ⊥ β ;④若 c 是 b 在 α 内的射影, a ? α 且a ⊥ c ,则 a ⊥ b . 其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4

8.在一个数列中,若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数(有限数列最后一

项除外) 则称该数列为等积数列, , 其中常数称公积。 若数列{an } 是等积数列, a6 = 2 , 且 公积为 6,则 a1 ? a5 ? a9 ????? a2005 ? a2009 的值是 A 2502 B 3502 C 2503 D 3503

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9、执行如图所示的程序框图,输出结果 y 的值是_________. 10、一个正三角形的外接圆的半径为 1,向该圆内随机投一点 P,点 P 恰好落 在正三角形外的概率是 .

11、过点 P(2,0)与圆 x 2 + y 2 + 2 y ? 3 = 0 相交的所有直线中,被圆截得的弦最 长时的直线方程是 12、 椭圆 .

x2 y 2 + = 1 的焦点为 F1 , F2 ,过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆于一点 P, 25 16
.

那么|PF1|的值是

?x + y ? 3 ≤ 0 ? 13、目标函数 z=2x+y 在约束条件 ?2 x ? y ≥ 0 下取得的最大值是________ . ?y ≥ 0 ?
14、直线 y=ex+b(e 为自然对数的底数)与两个函数 f ( x) = e x , g ( x) = ln x 的图象至多有一个公共 点,则实数 b 的取值范围是__________.

《中学数学信息网》系列资料 息网》

WWW.ZXSX.COM

版权所有@《中学数学信息网》 《 信息网》

欢迎光临《 欢迎光临《中学数学信息网》 信息网》

zxsx127@163.com

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15、 分) (12 已知函数 f(x)= A sin(ω x + ? ) (其中 A>0, ω > 0, 0 < ? < 的图象如图所示。 (Ⅰ)求 A,ω及?的值; (Ⅱ)若 tanα=2,求 f (α +

π
2

)

π
8

) 的值。

16、 (13 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱 形, SA ⊥ 底面ABCD , M 为 SA 的中点, N 为 CD 的中点. (Ⅰ)证明:平面 SBD ⊥ 平面 SAC ; (Ⅱ)证明:直线 MN‖ 平面SBC .

S

M

A N B C

D

17、 (14 分)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数 作为 a 和 b 组成数对( a, b) ,并构成函数 f ( x) = ax 2 ? 4bx + 1. (Ⅰ)写出所有可能的数对( a, b) ,并计算 a ≥ 2 ,且 b ≤ 3 的概率; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间[ 1,+∞ ) 上是增函数的概率.

《中学数学信息网》系列资料 息网》

WWW.ZXSX.COM

版权所有@《中学数学信息网》 《 信息网》

欢迎光临《 欢迎光临《中学数学信息网》 信息网》

zxsx127@163.com
?

18、 (14 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 = 1 , an +1 = 2 S n + 1( n ∈ N ) ,等差数列 {bn } 中

bn > 0 (n ∈ N *) ,且 b1 + b2 + b3 = 15 ,又 a1 + b1 、 a2 + b2 、 a3 + b3 成等比数列.
(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an + bn } 的前 n 项和 Tn.

19、 (14 分)已知函数 f(x)=

1 3 x ? ax 2 + b 在 x=-2 处有极值. 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点,求 b 的取值范围.

20、 (13 分)已知椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 经过点 (0,1) ,过右焦点 F 且不与 x 轴重合的动直 a2 b2
2 5 . 5

线 L 交椭圆于 A, C 两点,当动直线 L 的斜率为 2 时,坐标原点 O 到 L 的距离为 (Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 过 F 的另一直线交椭圆于 B, D 两点,且 AC ⊥ BD ,当四边形 ABCD 的面积 S= 求直线 L 的方程.

16 时, 9

《中学数学信息网》系列资料 息网》

WWW.ZXSX.COM

版权所有@《中学数学信息网》 《 信息网》

欢迎光临《 欢迎光临《中学数学信息网》 信息网》

zxsx127@163.com

丰台区 2010 年高三统一练习(二)

数学(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 D

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9、1 ; 10、 1 ?

3 3 ; 4π

11、x-2y-2=0

; 12、

34 ; 5

13、6 ; 14、 [-2,0]。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15、 分) (12 已知函数 f(x)= A sin(ω x + ? ) (其中 A>0, ω > 0, 0 < ? < 的图象如图所示。 (Ⅰ)求 A,ω及?的值; (Ⅱ)若 tanα=2,求 f (α +

π
2

)

π
8

) 的值。

解: (Ⅰ)由图知 A=2,
T=2( 5π π ? )=π, 8 8

……………………1 分

∴ω=2, ∴f(x)=2sin(2x+?) 又∵ f ( ) =2sin( +?)=2, 8 4 ∴sin( ∴

……………………3 分

π

π

π

π
4

4

+?)=1,

+?=

π
2

+ 2kπ ,?=

π
4

+ 2kπ ,(k∈Z)

∵0 <? <

π
2

,∴?=

π
4

……………………6 分

由(Ⅰ)知:f(x)=2sin(2x+

π
4

),

∴ f (α + ) =2sin(2α+ )=2cos2α=4cos2α-2…………9 分 8 2 ∵tanα=2, ∴sinα=2cosα,
又∵sin α+cos α=1, ∴cos α=
2 2 2

π

π

1 , 5

《中学数学信息网》系列资料 息网》

WWW.ZXSX.COM

版权所有@《中学数学信息网》 《 信息网》

欢迎光临《 欢迎光临《中学数学信息网》 信息网》

zxsx127@163.com

π 6 ∴ f (α + ) = ? 8 5

……………………12 分
S

16、 (13 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱 形, SA ⊥ 底面ABCD , M 为 SA 的中点, N 为 CD 的中点. (Ⅰ)证明:平面 SBD ⊥ 平面 SAC ; (Ⅱ)证明:直线 MN‖ 平面SBC . 证明: (Ⅰ)∵ABCD 是菱形, ∴BD⊥AC, ………………………………1 分

M

A N B C

D

∵ SA ⊥ 底面ABCD ,∴BD⊥SA, ……………2 分 ∵SA 与 AC 交于 A, ∴BD⊥平面 SAC, …………………………………4 分 ∵ BD ? 平面 SBD ∴平面 SBD ⊥ 平面 SAC …………………6 分
(Ⅱ)取 SB 中点 E,连接 ME,CE,

S

∵M 为 SA 中点,∴ME AB 且 ME=

1 AB, 2

………8 分
M E A N B C

又∵ ABCD 是菱形,N 为 CD 的中点, 1 1 ∴CN AB 且 CN= CD= AB, …………………10 分 2 2 ∴CN EM,且 CN=EM, ∴四边形 CNME 是平行四边形, ∴MN CE, …………………12 分

D

又 MN?平面 SBC, CE?平面 SBC, ∴直线 MN‖ 平面SBC …………………13 分

17、 (14 分)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数 作为 a 和 b 组成数对( a, b) ,并构成函数 f ( x) = ax 2 ? 4bx + 1 . (Ⅰ)写出所有可能的数对( a, b) ,并计算 a ≥ 2 ,且 b ≤ 3 的概率; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间[ 1,+∞ ) 上是增函数的概率. 解: (Ⅰ)所有基本事件如下: (1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4) ,共有 15 个。………………………………4 分

《中学数学信息网》系列资料 息网》

WWW.ZXSX.COM

版权所有@《中学数学信息网》 《 信息网》

欢迎光临《 欢迎光临《中学数学信息网》 信息网》

zxsx127@163.com

设事件“ a ≥ 2 ,且 b ≤ 3 ”为 A, 则事件 A 包含的基本事件有 8 个, 所以 P(A)= ………………………………… 6 分

8 。 15

……………………………………………8 分

(Ⅱ)设事件“ f ( x) = ax 2 ? 4bx + 1 在区间 [1,+∞) 上为增函数”为 B,
2 因函数 f ( x) = ax ? 4bx + 1 的图象的对称轴为 x =

2b , 且 a >0, a

所以要使事件 B 发生,只需

2b ≤ 1, 即2b ≤ a 。…………………………10 分 a

由满足题意的数对有(1,-1)(2,-1)(2,1)(3,-1)(3,1) 、 、 、 、 ,共 5 个, …………………………12 分 所以,P(B)=
5 1 = . 15 3

…………………………14 分
?

18、 (14 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 = 1 , an +1 = 2 S n + 1( n ∈ N ) ,等差数列 {bn } 中,

bn > 0 (n ∈ N *) ,且 b1 + b2 + b3 = 15 ,又 a1 + b1 、 a2 + b2 、 a3 + b3 成等比数列.
(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an + bn } 的前 n 项和 Tn. 解: (Ⅰ)∵ a1 = 1 , an +1 = 2 S n + 1( n ∈ N ) , ∴ an = 2 S n ?1 + 1( n ∈ N , n > 1) , ∴ an +1 ? an = 2( S n ? S n ?1 ) , ∴ an +1 ? an = 2an , ∴ an +1 = 3an ( n ∈ N , n > 1)
?
? ?

…………………………3 分
?

而 a2 = 2a1 + 1 = 3 = 3a1 ,∴ an +1 = 3an ( n ∈ N ) ∴数列 {an } 是以 1 为首项,3 为公比的等比数列, ∴ an = 3
n ?1

(n ∈ N ? )

…………………………5 分

∴ a1 = 1, a2 = 3, a3 = 9 , 在等差数列 {bn } 中,∵ b1 + b2 + b3 = 15 ,∴ b2 = 5 。

《中学数学信息网》系列资料 息网》

WWW.ZXSX.COM

版权所有@《中学数学信息网》 《 信息网》

欢迎光临《 欢迎光临《中学数学信息网》 信息网》

zxsx127@163.com

又因 a1 + b1 、 a2 + b2 、 a3 + b3 成等比数列,设等差数列 {bn } 的公差为 d, ∴( 1 + 5 ? d ) (9 + 5 + d ) = 64 ………………………………7 分

解得 d=-10,或 d=2, ∵ bn > 0 ( n ∈ N *) ,∴舍去 d=-10,取 d=2, ∴b1=3, ∴bn=2n+1 ( n ∈ N ) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ∴ Tn = a1 + b1 + a2 + b2 + ? + an + bn =( a1 + a2 + ? + an ) + (b1 + b2 + ? + bn )
?

………………………………9 分

=

1 ? 3n n(3 + 2n + 1) + 1? 3 2 3n 1 + n 2 + 2n ? 2 2
………………………………14 分

=

19、 (14 分)已知函数 f(x)=

1 3 x ? ax 2 + b 在 x=-2 处有极值. 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点,求 b 的取值范围。 解: (Ⅰ) f ′( x ) = x 2 ? 2ax …………………………………………1 分

由题意知: f ′( ?2) = 4 + 4a = 0 ,得 a=-1,………………………2 分 ∴ f ′( x ) = x 2 + 2 x , 令 f ′( x ) > 0 ,得 x<-2 或 x>0, 令 f ′( x ) < 0 ,得-2<x<0, ………………………4 分 ………………………5 分

∴f(x)的单调递增区间是(-∞,-2)和(0,+∞) , 单调递减区间是(-2,0) 。…………………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)= f(-2)=

1 3 x + x2 + b , 3

4 + b 为函数 f(x)极大值,f(0)=b 为极小值。…………………8 分 3

∵函数 f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点,

《中学数学信息网》系列资料 息网》

WWW.ZXSX.COM

版权所有@《中学数学信息网》 《 信息网》

欢迎光临《 欢迎光临《中学数学信息网》 信息网》

zxsx127@163.com

∴?

? f (?3) ≤ 0 ? f (3) ≥ 0 ? f (?3) > 0 ? f (?2) = 0 ? f (?3) > 0 或? 或? 或? 或? ? f (0) > 0 ? f (?2) < 0 ? f (3) < 0 ? f (3) < 0 ? f (0) = 0



?18 + b ≥ 0 ? 即 ?4 ?3 + b < 0 ?
∴ ?18 ≤ b < ?

,…………………………………………………………13 分

4 4 ,即 b 的取值范围是 [ ?18, ? ) 。 …………………14 分 3 3

x2 y2 20、 (13 分)已知椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 经过点 (0,1) ,过右焦点 F 且不与 x 轴重合的动直 a b
线 L 交椭圆于 A, C 两点,当动直线 L 的斜率为 2 时,坐标原点 O 到 L 的距离为 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 过 F 的另一直线交椭圆于 B, D 两点,且 AC ⊥ BD ,当四边形 ABCD 的面积 S= 求直线 L 的方程. 解:(Ⅰ)设 F(c,0),则直线 L 的方程为 2x-y-2c=0,∵坐标原点 O 到 L 的距离为

2 5 . 5

16 时, 9

2 5 , 5



2c 2 5 ,c=1。………………………………………………………2 分 = 5 5
x2 y2 1 + 2 = 1 经过点 (0,1) ,∴ 2 = 1 ,b=1,由 a 2 = b 2 + c 2 得 a 2 = 2 。 2 a b b
……………………………………………4 分

∵椭圆

x2 ∴椭圆的方程为 + y2 = 1 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线 L 过点 F(1,0),设其方程为 y=k(x-1)( k ≠ 0 ) ,点 A( x1 , y1 ),C( x2 , y2 ) ,

? x2 2 ? + y =1 解? 2 得, (2k 2 + 1) x 2 ? 4k 2 x + 2k 2 ? 2 = 0 。 ? y = k ( x ? 1) ?
4k 2 2k 2 ? 2 ∴ x1 + x2 = , x1 x2 = 2 ,……………………………………………6 分 2k 2 + 1 2k + 1

| AC |= (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] = 2 2 ?

k 2 +1 (?) ……………………………8 分 2k 2 + 1

《中学数学信息网》系列资料 息网》

WWW.ZXSX.COM

版权所有@《中学数学信息网》 《 信息网》

欢迎光临《 欢迎光临《中学数学信息网》 信息网》

zxsx127@163.com

∵过 F 的另一直线交椭圆于 B, D 两点,且 AC ⊥ BD , k ≠ 0 , ∴直线 BD 的方程为 y= ? 把 (?) 式中 k 换成 ?

1 (x-1) 。 k

1 k 2 +1 ,类比可得 | BD |= 2 2 ? 2 ,…………………………10 分 k k +2

1 4(k 2 + 1) 2 16 ∴四边形 ABCD 的面积 S = | AC || BD |= 2 = , …………11 分 2 2 (k + 2)(2k + 1) 9
解得 k = ±1 , ∴直线 L 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0 。 ………………………13 分

www.zxsx.co m

《中学数学信息网》系列资料 息网》

WWW.ZXSX.COM

版权所有@《中学数学信息网》 《 信息网》


相关文档

北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题(文科)2010.5
北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题(理科)2010.5
北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题(文科)2010[1].5
北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷(文科)
北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷(文科)[1]
2010年北京市西城区高三年级抽样测试数学文科
2010年北京市西城区高三抽样测试数学试题(文科)2010[1].5
北京市西城区2010年高三年级抽样测试_文科数学
2010年北京市西城区高三年级抽样测试_文科数学
北京市西城区2009年高三抽样测试数学试题(文科)2009.01
电脑版