状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练04:不等式

高考专题训练(四) 不等式 A 级——基础巩固组 一、选择题 1.(2014· 四川卷)已知集合 A={x|x2-x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B =( ) A.{-1,0,1,2} C.{0,1} 解析 答案 B.{-2,-1,0,1}

D.{-1,0}

A={x|-1≤x≤2},∴A∩B={-1,0,1,2},选 A. A )

2.已知 a<b,则下列不等式正确的是( 1 1 A.a>b B.a2>b2 D.2a>2b

C.2-a>2-b 解析 答案

∵a<b,∴-a>-b,∴2-a>2-b. C

3.(2014· 皖南八校联考)若“0<x<1”是“(x-a)[x-(a+2)]≤0”的充分不必要 条件,则实数 a 的取值范围是( A.[-1,0] B.(-1,0) )

C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞) 解析 ?a≤0, 依题意 0<x<1?a≤x≤a+2,∴? ?a+2≥1.

∴-1≤a≤0. 答案 A

4.(2014· 山东卷)已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的 是( A. ) 1 1 > x2+1 y2+1 B.ln(x2+1)>ln(y2+1) D.x3>y3

C.sinx>siny 解析 答案

由 ax<ay(0<a<1),知 x>y,所以 x3>y3,选 D. D

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?x+|y|≤1, 5. 已知 O 为坐标原点, A(1,2), 点 P 的坐标(x, y)满足约束条件? ?x≥0, →· → 的最大值为( 则 z=OA OP A.-2 C.1 解析 B.-1 D.2 →· → =x+2y,显然在 B(0,1)处 z =2.故选 D. 如图作可行域,z=OA OP max )

答案

D

6.(2014· 山东卷)已知 x,y 满足约束条件 ?x-y-1≤0, ? 当目标函数 z=ax+by(a>0, b>0)在该约束条件下取到最小 ?2x-y-3≥0, 值 2 5时,a2+b2 的最小值为( A.5 C. 5 解析 B.4 D.2 ?x-y-1≤0, 约束条件? 满足的可行域如图中的阴影部分所示.由 ?2x-y-3≥0 )

图可知,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取最小值时,最优解为(2,1).

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所以 2a+b=2 5, 则 b=2 5-2a, 所以 a2+b2=a2+(2 5-2a)2=5a2-8 5 ? 4 5?2 ? +4, a+20=5?a- 5 ? ? 4 2 即当 a=5 5,b=5 5时,a2+b2 有最小值 4. 答案 B

二、填空题
2 ?x +x?x≥0?, 7. 已知 f(x)=? 2 则不等式 f(x2-x+1)<12 的解集是________. ?-x +x?x<0?, 2 ?x +x?x≥0? 作出函数 f(x)=? 2 的图象, 可知该函数是奇函数, 且在 R ?-x +x?x<0?

解析

上单调递增,所以由 f(x2-x+1) <12=f(3)可得 x2-x+1<3,解得-1<x<2,故不 等式 f(x2-x+1)<12 的解集是(-1,2). 答案 (-1,2) 4x-3y+4≥0, 若目标函数 z=ax+by(a>0,

?4x-y-4≤0, 8.设 x,y 满足约束条件? x≥0, ?y≥0,
解析

b>0)的最大值为 8,则 ab 的最大值为________. a z a 画出可行域,如图所示,目标函数变形为 y=-bx+b,由已知得-b

<0,且纵截距最大时,z 取到最大值,故当直线 l 过点 B(2, 4)时,目标函数取到

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最大值,即 2a+4b=8,因 a>0,b>0,由基本不等式,得 2a+4b=8≥4 2ab, 即 ab≤2(当且仅当 2a=4b=4,即 a=2,b=1 时取“=”),故 ab 的最大值为 2.

答案

2

9.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是________. 解析 因为 x+2y+2xy=8,所以 y= 8-x >0, 2x+2

所以-1<x<8, 8-x 9 所以 x+2y=x+2· =(x+1)+ -2≥2 2x+2 x+1 仅当 x=2 时取等号. 答案 4 9 ?x+1?· -2=4,当且 x+1

三、解答题 ? ? 4 ? 10.设集合 A={x|x2<4},B=?x?x+3>1 ?. ? ? ? (1)求集合 A∩B; (2)若不等式 2x2+ax+b<0 的解集为 B,求 a,b 的值. 解 A={x|x2<4}={x|-2<x<2},

? ? ? 4 ? ? ?x-1 <0 ?={x|-3<x<1}, B=?x?x+3>1 ?=?x? ? ? ? ? ?x+3 ?

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(1)A∩B={x|-2<x<1}. (2)因为 2x2+ax+b<0 的解集为 B={x|-3<x<1},所以-3 和 1 为 2x2+ax+ b=0 的两根. a - ? ? 2=-3+1, 由根与系数的关系,得? b ? ?2=-3×1, ?a=4, 所以? ?b=-6.

1 1 11.(2014· 课标全国卷Ⅰ)若 a>0,b>0,且a+b= ab. (1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 解 1 1 2 (1)由 ab=a+b≥ ,得 ab≥2,且当 a=b= 2时等号成立, ab

故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2,且当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3+b3 的最小值为 4 2. (2)由(1)知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6. B 级——能力提高组 ?x+y≥1, 1.(2014· 课标全国卷Ⅰ)不等式组? 的解集记为 D,有下面四个命 ?x-2y≤4 题: p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2, p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2, p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3, p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1, 其中的真命题是( A.p2,p3 C.p1,p4 解析 )

B.p1,p2 D.p1,p3

1 画出可行域如图阴影部分所示.作直线 l0:y=-2x,平移 l0,当直

线经过 A(2,-1)时,x+2y 取最小值,此时(x+2y)min=0.故 p1:?(x,y)∈D,x +2y≥-2 为真.p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2 为真.故选 B.

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答案

B

2.(2014· 辽宁卷)对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0 且 3 4 5 使|2a+b|最大时,a-b+c的最小值为________. 解析 要求|2a+b|最大值,只需求(2a+b)2 的最大值.∵4a2-2ab+4b2-c

=0,∴4a2+b2=c+2ab-3b2.∴(2a+b)2=4a2+b2+4ab=c+2ab-3b2+4ab=c 3 3?2b+?2a-b??2 3?2a+b? ? =c+ ? ? +6ab-3b2=c+3b (2a-b)=c+2· 2b(2a-b)≤c+2? 2? 2 ? 2 ? ?
2

8 ,即(2a+b)2≤5c,当且仅当 2b=2a-b,即 3b=2a 时取到等号,即(2a+b)2 取 2a 代入 4a2-2ab 3

到最大值. 故 3b=2a 时, |2a+b|取到最大值. 把 3b=2a, 即 b= 40 +4b2-c=0,可得 c= 9 a2.

3 4 5 3 4 5 3 6 9 9 ? 1 8 ? 9?1 4? 1 4 ∴a- b + c =a -2 +40 =a - a +8a2= 8 ?a2-3a? = 8?a-3? 2 - 2. ∴当 a = 3 ? ? ? ? 2 3a 9 a 3 4 5 时,a-b+ c取到最小值-2. 答案 -2

a-2 1 1 3.已知函数 f(x)=3x3+ 2 x2-2ax-3,g(a)=6a3+5a-7. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在区间[-2,0]上不单调,且 x∈[-2,0]时,不等式 f(x)<g(a) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 1 1 (1)当 a=1 时,f(x)=3x3-2x2-2x-3,定义域为 R,f′(x)=x2-x-2

=(x-2)(x+1).

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令 f′(x)>0,得 x<-1 或 x>2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(2,+∞). (2)f′(x)=x2+(a-2)x-2a=(x+a)(x-2). 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-a. ∵函数 f(x)在区间[-2,0]上不单调, ∴-a∈(-2,0),即 0<a<2. 又∵函数在(-2, -a)上, f′(x)>0, 在(-a,0)上, f′(x)<0, 当 x 变化时, f′(x) 与 f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) f(-2) -2 (-2,-a) + -a 0 极大值 (-a,0) - ↘ f(0) 0

∴f(x)在[-2,0]上有唯一的极大值点 x=-a. ∴f(x)在[-2,0]上的最大值为 f(-a). ∵当 x∈[-2,0]时,不等式 f(x)<g(a)恒成立,等价于 f(-a)<g(a), a-2 2 1 1 ∴-3a3+ 2 · a +2a2-3<6a3+5a-7. 1 1 ∴6a3+a2-3<6a3+5a-7. ∴a2-5a+4<0,解得 1<a<4. 综上所述,a 的取值范围是(1,2).

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