抛物线性质归纳与推广_论文

生   旦  中   学 课哥 { 辅导   抛物线性质归纳与推广  @  周 小芬  摘要 : 在 圆锥 曲线教 学中, 抛物 线是 重要 的教 学环节 , 它具有  很 多、 很 美、 很重要的性质。 本 文拟 对 此 类 特 点 进 行探 究 并 对 其性   质 进 行 归纳 与 推 广 。   一 2   p  关键词 : 抛 物线 ; 焦点 ; 直线 ; 圆   性质 3 ( 焦点弦长公式) : 过  = 2 p   ( P> 0 ) 的焦点 的一条直 线和  中图分类号: G 6 3 3 6 文献标识 码: A ̄   - : 1 9 9 2 - 7 7 1   1 ( 2 0 1 4 ) o s 一 0 1 5 4   抛物线 交于 A ,  ) 、 B ‰,   两点 ,则 { A B   I t A   I —I t   l ’   在 圆锥 曲线教学中 , 我们发现抛物线有很多 、 很美 、 很重要 的  性质 。 而很好地掌握这些性质对 于圆锥 曲线特别是抛物线 的学 习  很有帮助 。   性质 1 : 过  2 p   > o ) 的焦点 F的一条直线 和抛物线交于 A   ,   、 /   百 2   c o s O , 2 t .   4  ̄   2 =   证明 : 当直线斜率不存在时 ,   如图( 1 ) , 此时 0 =   2   时, l A B   l = 2 ‘ p   = —  ? 2 竹  “丁   当直线斜率存在时 , 如 图( 2 ) , 由性质 2 可知,   ) 、 曰  ,   两点 , 则 A, B两点 的横坐标 之积和纵坐标 之积为  定 值, 且X A X B : 竿 ,   一 P   2 o   让 明 : 当 亘 线 的 斜 翠 小 存 在 时 , 如 图  B   /   . l A B   I = I  I =   同 = 、 / (   互 s i n   =   ( 1 ) ,此 时直线 的方程为 :   P , 所 以 A, B   、  。   两 点 的坐 标 为 A‘   P B=   。   ,   , 曰 ( 手 ,   , 所 以   \   注意 : 过抛物线 的焦点 的弦长存在最小值 , 不存在最大值 : 当  时  =   ' i T, i A B   l   2 p , 此时称弦A B为抛物线的通径。   性质 4 ( 焦三角形 面积公式) : 过  : 2 p   > 0 ) 的焦点 F的一条  直线和抛物线交 于 A   ,  ) 、   ,   两点 , 则 三角形 O A B的面积  J  L   当直线 的斜率存在时 , 如图( 2 ) , 假 设斜  率为. i } ,则 直 线 的方 程 为 , , : k   一   P) ,  ~   ,   s   庐  。   )和  2 p  联立消 去 得 : k y = 一   0   证明 :当直线斜率不存 在时 ,   ) ,   2 p , , 一  2 = 0 , 所以,   y a y s = 一 P   z , y :   一   ) 和  2 p  联 立 消 去 Y   如 图 ( 1 ) , ‘ ? ‘  子  ? s   庐 等   当直线斜率存在时 , 如 图( 3 ) ,   过 0作 O H. L A B ,则 I O H   l =   得 : k 2 x 2 - p  ̄ 2 + 2 ) x + 譬= o    ̄ J r 1 ) 2   x a 知=   p一 2 。  P 2 -s i n O  0  ? . . s △ 翻 庐   1  I A 曰I ‘ I O H   r = l×   i n O × ̄s 2   p2 = _ 性质 2 : 过  =   ( P>o ) 的焦 点 ,的 一 条 直 线 和抛 物 线 交 于  互 s i n O ’ . 则 南 + 南 为  且 南 + 南  :   。  ? ? ?  2 s i n — O ’ ,   ’ 0≤ 口≤ 1 80。 . . _ . O≤ s j n  ≤ 1   = — p  }时 , . s   m e 最 小 值 等 。   注意 : 三角形 O AB的面积存在最小值 : 当 =   时, s   最  二  证明: 当直线 的斜率不存 在 时 , 如 图( 1 ) , 此 时直线 的方程 为  争,   小值譬 , 不存在最大值。   二  所 以 A , B 两 点 的 坐 标 为 A ( 争, - P ) 、 B ( 争, p ) , 所 以   南 =   成 立 。   当斜率存 在时 , 如图( 2 ) , 假设直线 A B的倾 斜角 为 , 则直线  性质 5 : 过  : 2 p   > O ) 的焦 点 F的一 条直 线和抛 物线 交 于  A   ,  ) 、 曰  ,   两点 , 以弦 AB为直 径 的圆必与抛 物线 的准线 z   相切 。   证明 : 如 图( 4 ) 所示 , 取A B中点 为 C , 过 C作 c c   垂直准线 , 过  二  A作 A   垂直准线,过 曰作 船   垂直准线,则 C C   =   A 曰 的 参 数 方 程 为 {   争   c 0 阳  为 参 数 ) , 与   : 2 p   联 立 得   [ y = t s i n 0   ’   l 船’ j ) =  l A B   l _ r   ‘  ( 1 A A   I +   s i n 2 0 t  ̄ - 2 pc o s  ̄ t - p 。 : 0   一   丽 1+ 可   南 丌一 =   丽 十 丁 = 一   —   一 =   侍 =   ? . . 性质 5推广( 1

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