【世纪金榜】高中数学 1.7.3球的表面积和体积课件 北师大版必修2_图文

球的表面积和体积 计算球的表面积和体积时要注意的问题 (1)关键是计算球的半径,而计算半径的关键是寻找球心的 位置.因此,在解题过程中要特别关注题目中所揭示的球心 位置,球面上的点等信息. (2)当球的半径增加为原来的2倍时,球的表面积增加为原 来的4倍,球的体积增加为原来的8倍. (3)注意公式的“双向”应用,也就是说当知道球的表面积 或体积时,也可以求出球的半径. 【例1】请用所学知识探求表面积相等的球和正方体,哪个 体积更大. 【审题指导】由球和正方体的表面积相等可以得到球的半 径与正方体的棱长之间的关系,将球的体积用正方体的棱 长表示出来,就可以进行比较. 【规范解答】设球的半径为r,正方体的棱长为a,依题意 得4πr2=6a2,所以 r ? 3 2? 3 a. 2? 所以 V球 ? 4 ?( 3 a)3 ? 6 a 3 . ? 又因为V正方体=a3,且 6 ? 1, ? 所以V球>V正方体. 即球的体积大于正方体的体积. 球的截面问题 有关球的截面的性质 (1)用一个平面去截一个球, 截面是圆面. (2)球心和截面圆圆心的连线 垂直于截面. (3)球心到截面的距离d与球 的半径R及截面的半径r满足r2=R2-d2,如图所示. 【例2】一个球内有相距9 cm的两个平行截面,它们的面积 分别为49π cm2和400π cm2,求球的表面积. 【审题指导】本题中两个截面圆的半径可以求出,但是这 两个截面的位置关系有两种,即在球心的同一侧或在球心 的两侧,解题的关键在于利用球心到截面的距离 d与球的半 径R及截面的半径r的关系构造方程计算R. 【规范解答】(1)当两个截面在球心的同侧时, 如图(1)所示为球的轴截面, 由球的截面性质知,AO1∥BO2, 且O1、O2分别为两截面圆的圆心, 则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2=49π,∴O2B=7 cm. ∵π·O1A2=400π,∴O1A=20 cm. 设OO1=x cm,则OO2=(x+9) cm. 在Rt△OO1A中,R2=x2+202, 在Rt△OO2B中,R2=(x+9)2+72, ∴x2+202=72+(x+9)2,解得x=15, ∴R2=x2+202=252,∴R=25 cm. ∴S球=4πR2=2 500π (cm2). ∴球的表面积为2 500π cm2. (2)当两个截面在球心的两侧时, 如图(2)所示为球的轴截面, 由球的截面性质知,O1A∥O2B, 且O1、O2分别为两截面圆的圆心, 则OO1⊥O1A,OO2⊥O2B. 设球的半径为R, ∵π·O2B2=49π,∴O2B=7 cm. ∵π·O1A2=400π,∴O1A=20 cm. 设O1O=x cm,则OO2=(9-x) cm. 在Rt△OO1A中,R2=x2+400. 在Rt△OO2B中,R2=(9-x)2+49. ∴x2+400=(9-x)2+49, 解得x=-15,不合题意,舍去. 综上所述,球的表面积为2 500π cm2. 有关球的切接问题 1.有关球的常见切接问题 (1)球切几何体时,应注意球心,如球内切于正方体,切点 为正方体各个面的中心,球心为正方体的中心. (2)球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题,球与多面 体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”, “接点”作出截面图. 2.球与正方体的切接问题 若正方体的棱长为a,则: (1)正方体的内切球的直径为a.如图(1); (2)与正方体的所有棱相切的球的直径为 2a. 如图(2); (3)正方体的外接球的直径为 3a. 如图(3). 长方体的外接球的直径等于其体对角线的 长度. 【例3】(2010 ·新课标全国高考)设三棱柱的侧棱垂直于 底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,试计算该 球的表面积. 【审题指导】找出球与棱柱的相对关系,找出球的半径与 三棱柱的棱长之间的关系. 【规范解答】设球心为O,设正三棱柱上底面为△ABC,中 心为O′,因为三棱柱所有棱的长都为a,则可知 a 3 又由球的相关性质可知,球的半径 OO? ? ,O?A ? a, 2 3 21 所以球的表面积为 7 R ? OO?2 ? O?A 2 ? a, 4?R 2 ? ?a 2 . 3 6 【例】四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD =a,PD⊥平面ABCD. (1)求四棱锥外接球的半径; (2)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径. 【审题指导】(1)解答本题的关键是根据四棱锥的结构特征 以及球面上的点到球心的距离相等分析球心的位置 . (2)与四棱锥的底面和侧面均相切时,放入的球的半径最大 . 【规范解答】(1)设PB的中点为F,连接BD,DF,AF,CF, ∵在Rt△PDB中,FP=FB=FD, 在Rt△PAB中FA=FP=FB, 在Rt△PBC中FP=FB=FC, ∴FP=FB=FA=FC=FD. ∴F为四棱锥外接球的球心, 则FP为外接球的半径. FP ? 1 PB,? FP ? 3 a. 2 2 ∴四棱锥外接球的半径为 3 a. 2 (2)设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面都相切, 设球心为S,连接SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分为 五个棱锥,它们的高均为R. 1 则 V ? S P ? ABCD 3 S ?S ? ABCD PD ? 1 1 a a a ? a3, 3 3 1 1 2 a a ? a , PAD PDC 2 2 1 2 2 S PAB ? S PBC ? a 2a ? a , 2 2 S ABCD ? a 2 . 【典例】(12分)如图,是一个奖杯的 三视图(单位:cm),底座是正四棱台, (1)求这个奖杯的体积(保留π ); (2)求这个奖杯的表面积(保留π ). 【审题指导】解答本题可先

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