直线和圆的方程综合测试 1

直线和圆的方程综合测试 1
选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.经过点 M (?2, m) 、 N ( m, 4) 的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( A 1 B 4 C 1或3 D 1或4 ) )

2.已知点 A(1, 2), B (3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A

4x + 2 y = 5 B

4x ? 2 y = 5

C

x + 2y = 5

D

x ? 2y = 5


3.已知直线 l1 : Ax + 3 y + C = 0 与 l2 : 2 x ? 3 y + 4 = 0 ,若 l1、l2 的交点在 y 轴上,则 C 的值为 ( A 4 B -4 C 4或-4 D 与 A 的取值有关 )

4.两平行直线 5 x + 12 y + 3 = 0与10 x + 24 y + 5 = 0 的距离是( A

2 13



1 13



1 26



5 26


5.下列方程中圆心在点 P ( ?2,3) ,并且与 y 轴相切的圆是(



( x ? 2) 2 + ( y + 3) 2 = 4 B ( x ? 2) 2 + ( y + 3) 2 = 9 D

( x + 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 4 ( x + 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 9




6.方程 y = ? 25 ? x 2 表示的曲线是( A 一条射线 B 一个圆

C 两条射线 D 半个圆 )

7.圆 x 2 + y 2 + 2 x ? 4 y ? 6 = 0 的圆心和半径分别是( A

(1, ?2), 11 B

(1, 2), 11 C

(?1, ?2), 11 D

(?1, 2), 11


8.直线 3 x + y ? 5 = 0 与圆 2 x 2 + 2 y 2 ? 4 x ? 2 y + 1 = 0 的位置关系是( A 相离 B 相切 C 相交但直线不过圆心

D 相交且直线过圆心 )

9.圆 x 2 + y 2 ? 4 x + 4 y + 6 = 0 截直线 x ? y ? 5 = 0 所得弦长为(



6



5 2 2

C 1

D 5

10. 在空间直角坐标系中, 已知定点 A(1, ?2,1) , B (2, 2, 2) .点 P 在 z 轴上, 且满足 | PA |=| PB | , P 点的坐标为 则 ( ) A

( 3,0,0 )



( 0,3,0 )
2



( 0,0,3)
2 2



( 0,0, ?3)

二.填空题: (请将答案填在相应题目的横线上) 11.已知圆 C1 : ( x + 1) + ( y ? 3) = 9 和圆 C2 : x + y ? 4 x + 2 y ? 11 = 0 ,则两圆公共弦所在直线的方程
2



.

12.过点 M ( 3, 2 ) 作圆 O : x + y + 4 x ? 2 y + 4 = 0 的切线方程是
2 2



三.解答题: 13.求经过两直线 2 x ? 3 y ? 3 = 0 和 x + y + 2 = 0 的交点且与直线 3 x + y ? 1 = 0 平行的直线方程 14.求圆心在直线 2 x ? y ? 3 = 0 上,且过点 ( 5, 2 ) 和 ( 3, ?2 ) 的圆的方程. 15.若直线 l1 : ax + (1 ? a ) y = 3 与 l1 : ( a ? 1) x + (2a + 3) y = 2 互相垂直,求 a 的值 16.直线 l 经过点 P (5,5) ,且与圆 C : x + y = 25 相交,截得弦长为 4 5 ,求 l 的方程。
2 2

17.由圆 x + y = 4 外一点 P ( 3, 2 ) 向圆引割线 PAB ,求 AB 中点的轨迹方程.
2 2

直线和圆的方程综合测试 2
一、选择题:1.方程 x2 + 6xy + 9y2 + 3x + 9y –4 =0 表示的图形是 A.2 条重合的直线 C.2 条相交的直线 ( ) B.2 条互相平行的直线 D.2 条互相垂直的直线 ( )

2.直线 l1 与 l2 关于直线 x +y = 0 对称,l1 的方程为 y = ax + b,那么 l2 的方程为 A. y =

x b ? a a

B. y =

x b + a a

C. y =

x 1 + a b

D. y =

x +b a
( )

3.过点 A(1,-1)与 B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程为 A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 D.(x-1)2+(y-1)2= C.4(x+1)2+(y+1)2=4 4.若 A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上,则 y 的值是 A.





1 3 B. C.1 D.-1 2 2 5.直线 l1 、 l 2 分别过点 P(-1,3) ,Q(2,-1) ,它们分别绕 P、Q 旋转,但始终保持平 行,则 l1 、 l 2 之间的距离 d 的取值范围为 ( )
B. (0,5) C. (0,+∞) D. (0, 17 ] x y 2 2 2 6.直线 + = 1 与圆 x + y = r ( r > 0) 相切,所满足的条件是 ( a b A. ab = r ( a + b) B. a 2b 2 = r ( a 2 + b 2 ) A. (0,5] C. | ab |= r a 2 + b 2 A.0 个 C.2 个
2



D. ab = r a + b
2

2

7.圆 x 2 + y 2 ? 2 x = 3 与直线 y = ax + 1 的交点的个数是 B.1 个 D.随 a 值变化而变化





8.已知半径为 1 的动圆与定圆 ( x ? 5) + ( y + 7) 2 = 16 相切,则动圆圆心的轨迹方程是( A. ( x ? 5) 2 + ( y + 7) 2 = 25 B. ( x ? 5) 2 + ( y + 7) 2 = 3 C. ( x ? 5) 2 + ( y + 7) 2 = 9 D. ( x ? 5) 2 + ( y + 7) 2 = 25 或 ( x ? 5) 2 + ( y + 7) 2 = 9 9.已知 M={(x,y)|2x+3y=4320,x,y∈N},N={(x,y)|4x-3y=1,x,y∈N},则 ( A.M 是有限集,N 是有限集 B.M 是有限集,N 是无限集 C.M 是无限集,N 是有限集 D.M 是无限集,N 是无限集 10.方程|x|+|y|=1 表示的曲线所围成的图形面积为 或 ( x ? 5) 2 + ( y + 7) 2 = 15









A.2

B. 2

C.1

D.4

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 11.已知直线 l1 : A1 x + B1 y = 1 和 l 2 : A2 x + B 2 y = 1 相交于点 P ( 2,3) ,则过点 P1 ( A1 , B1 ) 、

P2 ( A2 , B2 ) 的直线方程为



12.若点 N(a,b)满足方程关系式 a2+b2-4a-14b+45=0,则 u =

b?3 的最大值 a+2

为 . 13.设 P(x,y)为圆 x2+(y-1)2=1 上任一点,要使不等式 x+y+m≥0 恒成立,则 m 的取值范 围是 . 14.在空间直角坐标系中,已知 M(2,0,0) ,N(0,2,10) ,若在 z 轴上有一点 D,满足

| MD |=| ND | ,则点 D 的坐标为



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. (12 分)求倾斜角是 45°,并且与原点的距离是 5 的直线的方程.

16. (12 分)△ABC 中,A(0,1),AB 边上的高线方程为 x+2y-4=0,AC 边上的中线方程 为 2x+y-3=0,求 AB,BC,AC 边所在的直线方程.

17. (12 分)一束光线 l 自 A(-3,3)发出,射到 x 轴上, 被 x 轴反射到⊙C:x2+y2-4x-4y+7=0 上. (1)求反射线通过圆心 C 时,光线 l 的方程; (2)求在 x 轴上,反射点 M 的范围.

· 18. (12 分)已知点 P(2,0) ,及○C:x2+y2-6x+4y+4=0. (1)当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时,求直线 l 的方程; · (2)设过点 P 的直线与○C 交于 A、B 两点,当|AB|=4,求以线段 AB 为直径的圆的方程.

19. (14 分)关于 x 的方程 1 ? x 2 +a=x 有两个不相等的实数根,试求实数 a 的取值范围.

(一)选择题:1-5ABBCB 6-10 DDCAC 填空题:11

3 x ? 4 y + 6 = 0 12

y = 2与5 x ? 12 y + 9 = 0

解答题:

3 ? x=? ?2 x ? 3 y ? 3 = 0 ? 7 3 ? 5 13:略解由 ? 得? 又因为与直线 3 x + y ? 1 = 0 平行所以所求直线为 y + = ?3( x + ) 5 5 ?x + y + 2 = 0 ?y = ? 7 ? 5 ?
化简得: 3 x + y + 16 = 0 5 14:略解由圆过点A ( 5, 2 ) 和B ( 3, ?2 ) ,可得圆心在A、B的垂直平分线上

解得A、 B的垂直平分线方程为:x + 2 y ? 4 = 0

?2 x ? y ? 3 = 0 ? 由 ?x + 2y ? 4 = 0

得?

?x = 2 ?y =1



圆心坐标为 ( 2,1)

所以圆的半径为 r = 10

所以所求圆的方程为 ( x ? 2) 2 + ( y ? 1) 2 = 10

15:略解由直线 l1 : ax + (1 ? a ) y = 3 与 l1 : ( a ? 1) x + (2a + 3) y = 2 互相垂直 所以 a ( a ? 1) + (1 ? a )(2a + 3) = 0 即 ( a ? 1)( a + 3) = 0 所以 a = 1或a = ?3

16:略解:由题意可知直线的斜率存在,可设 l 的方程为:

y ? 5 = k ( x ? 5)

即: ? y + 5 ? 5k = 0 kx

又由圆 C : x 2 + y 2 = 25 截直线 l 的弦长为

4 5

则圆心到直线 l 的距离为 5 解得 k = 2或k =

| 5 ? 5k |
所以:由点到直线的距离公式

1+ k 2

= 5

1 2

代入所设 l 的方程化简为: 2 x ? y ? 5 = 0或x ? 2 y + 5 = 0

17:略解:设 AB 中点 P ( x, y ) , A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )
2 ? 2 ? x1 + y1 = 4 则? 2 2 ? x2 + y2 = 4 ?

两式相减可得 x1 ? x2 + y1 ? y2 = 0
2 2 2 2

y2 ? y1 x +x =? 2 1 x2 ? x1 y2 + y1
所以

又因为 k AB =

y?2 x ?3

k AB =

y2 ? y1 x2 ? x1

x2 + x1 x = y2 + y1 y

y?2 x =? x?3 y

化简得:所求轨迹方程为: x 2 + y 2 ? 3 x ? 2 y = 0
一、BBDCA

CCDBA 二、11.2x+3y-1=0;12. 2 + 3 ;13. [ 2 ? 1,+∞) ;14. (0,0,5 ) ;

三、15.解:因直线斜率为 tan45°=1,可设直线方程 y=x+b,化为一般式 x-y+b=0, 由直线与原点距离是 5, 得

|0?0+b| 12 + (?1) 2

= 5 ?| b |= 5 2 ∴ b = ±5 2 ,所以直线方程为 x-y+5 2 =0,或 y-5 2 =0.

16.解:直线 AB 的斜率为 2,∴AB 边所在的直线方程为 2 x ?

y + 1 = 0 ,直线 AB 与 AC 边中线的方程交点为 B? 1 ,2 ? ? ?
?2 ?

设 AC 边中点 D(x1,3-2x1),C(4-2y1,y1),∵D 为 AC 的中点,由中点坐标公式得

?2 x1 = 4 ? 2 y1 ? y1 = 1,∴ C (2,1),∴ BC 边所在的直线方程为 2 x + 3 y ? 7 = 0 ; ? ?2(3 ? 2 x1 ) = 1 + y1
2 2

AC 边所在的直线方程为 y=1.

17.解: ⊙C:(x-2) +(y-2) =1(Ⅰ)C 关于 x 轴的对称点 C′(2,-2),过 A,C′的方程:x+y=0 为光线 l 的方程. (Ⅱ)A 关于 x 轴的对称点 A′(-3,-3),设过 A′的直线为 y+3=k(x+3),当该直线与⊙C 相切时,

2k ? 2 + 3k ? 3


1+ k 2
得 x1

=1? k =

3 4或 k= 4 3

∴过 A′, 的两条切线为 ⊙C

y+3=

4 3 ( x + 3), y + 3 = ( x + 3) 3 4

令 y=0,

3 = ? , x2 = 1 4

∴反射点 M 在 x 轴上的活动范围是 ?? 3 ,1?
? 4 ? ? ?

18.解: (1)设直线 l 的斜率为 k(k 存在)则方程为 y-0=k(x-2) 又⊙C 的圆心为(3,-2)

r=3 由

| 3k ? 2k + 2 | k 2 +1

3 = 1 ? k = ? 所以直线方程为 4

3 y = ? ( x ? 2)即3 x + 4 y ? 6 = 0 4

当 k 不存在时, 的方程为 x=2. l

(2)由弦心距 d = r 2 ? ( AB ) 2 = 5 , 即 | CP |= 5 ,
2

知 P 为 AB 的中点,故以 AB 为直径的圆的方程为(x-2) +y =4.

2

2

19.分析:原方程即为 1 ? x 2 =x-a.于是,方程的解的情况可以借助于函数 y=x-a(y≥0)与函数 y = 解:原方程的解可以视为函数 y=x-a(y≥0) 与函数 y = 而函数 y =

1 ? x 2 的考察来进行.

1 ? x 2 的图象的交点的横坐标. 1 ? x 2 的图象是由半圆 y =1-x (y≥0)
2 2 2 2

和等轴双曲线 x -y =1(y≥0)在 x 轴的上半部分的 图象构成.如图所示,当 0<a<1 或 a=- 2 ,a=-1 时, 平行直线系 y=x-a(y≥0)与 y =

1 ? x 2 的图象有两个不同的交点.

所以,当 0<a<1 或 a=- 2 ,a=-1 时,原方程有两个不相等的实数根。


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