圆锥曲线复习+练习+答案(基础)

圆锥曲线复习 椭圆 双曲线 抛物线 1.到两定点 F1,F2 的距离之和 1.到两定点 F1,F2 的距离之 为定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨 差的绝对值为定值 迹 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之 与定点和直线的距 2. 与定点和直线的距离之比为 比为定值 e 的点的轨迹. 离相等的点的轨 定值 e 的点的轨迹.(0<e<1) (e>1) 迹.
x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2 x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

定义



标准 方程 参数 方程 范围 中心 顶点

y2=2px
? x ? 2 pt 2 (t 为参 ? y ? 2 pt ?



? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴;长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a 2 ? b 2 )
e? c (0 ? e ? 1) a

对称轴 焦点 焦距 离心率 准线 渐近线 焦半径 焦点弦

|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0) x 轴,y 轴;实轴长 2a, 虚轴 长 2b. F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a 2 ? b 2 )
e? c (e ? 1) a

数) x ?0 (0,0) x轴
p F ( ,0 ) 2

e=1
x?? p 2

a2 x= ? c

a2 x= ? c

y=±

b x a r ? x? p 2

高二圆锥曲线练习题 1、F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹方程是( (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 ) )

2、已知 ?ABC 的周长是 16, A( ?3,0) ,B (3,0) , 则动点的轨迹方程是( (A)
x2 y2 ? ?1 25 16

(B)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1( y ? 0) (C) ? ?1 25 16 16 25
1

(D)

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 16 25

3、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.

) D.
3 2

1 3

B.

3 3

C.

1 2

4、设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个 13

焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为(
x2 y 2 A. 2 ? 2 ? 1 4 3 x2 y 2 B. 2 ? 2 ? 1 13 5 x2 y 2 C. 2 ? 2 ? 1 3 4


x2 y2 D. 2 ? 2 ? 1 13 12

5、设双曲线 (A)4

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为( a2 9

).

(B)3 )

(C)2

(D)1

6、双曲线 2 x 2 ? y 2 ? 8 的实轴长是( (A)2 (B) 2 2

(C) 4 )

(D)4 2

x2 y2 ? 7、双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12

A. 2 3 8、以双曲线

B.2

C. 3

D.1 )

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( 9 16

A. x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0 C. x2 ? y 2 ? 10 x ? 16 ? 0 9、、过椭圆

B. x2 ? y 2 ?10x ? 16 ? 0 D. x2 ? y2 ? 10x ? 9 ? 0

x2 y 2 ? =1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, F2 为右焦点,若 a 2 b2

? F1 PF2 ? 60° ,则椭圆的离心率为(
A.
2 2


1 2

B.

3 3

C.

D.

1 3
( )

10. “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件
2

(B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程:
3 ,经过点(2,0); 2 1 (3)椭圆的两个顶点坐标分别为 (?3,0) , (3,0) ,且短轴是长轴的 ; 3

(1)长轴与短轴的和为 18,焦距为 6;

(2)离心率为

12、与椭圆

x2 y2 ? ? 1有相同的焦点 , 且短 轴长为 2 的椭圆方程是: 9 4
2 .过 2

13、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为
F1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为:

14 、 已 知 F1,F2 为 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 的 两 个 焦 点 , 过 F1 的 直 线 交 椭 圆 于 A, B 两 点 , 若 25 9

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ?



???? ???? ? x2 y 2 15、已知 F1 、 (a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, 且 PF1 ? PF2 , F2 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 a b
若 △PF1F2 的面积是 9,则 b ? .

2 2 16.设圆 C 与两圆 另一个外切.求 C 的圆心轨 (x+ 5) ? y2 ? 4, (x ? 5) ? y2 ? 4 中的一个内切,

迹 L 的方程.

17.设 P 是圆 x2 ? y 2 ? 25 上的动点, 点 D 是 P 在 x 轴上的投影, M 为 P D 上一点, 且 MD ? (Ⅰ)当 P 的在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为
4 的直线被 C 所截线段的长度。 5

4 PD 5

3

高二圆锥曲线练习题 1、F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹方程是( (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 ) D )

2、已知 ?ABC 的周长是 16, A( ?3,0) ,B (3,0) , 则动点的轨迹方程是( B (A)
x2 y2 ? ?1 25 16

(B)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1( y ? 0) (C) ? ?1 25 16 16 25

(D)

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 16 25

3、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.

D

) D.
3 2

1 3

B.

3 3

C.

1 2

4、设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个 13

焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( A ) A.
x2 y 2 ? ?1 42 32

B.

x2 y 2 ? ?1 132 52

C.

x2 y 2 ? ?1 32 42

D.

x2 y2 ? ?1 132 122

x2 y 2 ? 1? a ? 0 ? 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为( C ). 5、设双曲线 2 ? a 9

(A)4

(B)3

(C)2

(D)1

6、双曲线 2 x 2 ? y 2 ? 8 的实轴长是(C ) (A)2 (B) 2 2 (C) 4 A ) D.1 A ) (D)4 2

x2 y2 ? 7、双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12

A. 2 3 8、以双曲线

B.2

C. 3

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( 9 16

A. x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0 C. x2 ? y 2 ? 10 x ? 16 ? 0 9、、过椭圆

B. x2 ? y 2 ?10x ? 16 ? 0 D. x2 ? y2 ? 10x ? 9 ? 0

x2 y 2 ? =1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, F2 为右焦点,若 a 2 b2

? F1 PF2 ? 60° ,则椭圆的离心率为( B )
4

A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D. (

1 3
C )

10. “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 解析:将方程 mx2 ? ny 2 ? 1 转化为 (B)必要而不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件
x2 y 2 ? ? 1 , 根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上必须满足 1 1 m n

1 1 1 1 ? 0, ? 0, 所以 ? , n m m n

11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴与短轴的和为 18,焦距为 6; )
x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ? 1; 25 16 16 25 x2 y2 ? ?1 6 3
1 3

.

(2)焦点坐标为 (? 3,0) , ( 3,0) ,并且经过点(2,1);

.

(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 (?3,0) , (3,0) ,且短轴是长轴的 ;
3 ,经过点(2,0); 2

x2 x2 y2 ? y2 ? 1或 ? ? 1; 9 9 81

(4)离心率为

x2 x2 y2 ? y2 ? 1或 ? ? 1. 4 4 16

x2 x2 y2 ? ? 1有相同的焦点 , 且短 轴长为 2 的椭圆方程是: ? y 2 ? 1 12、与椭圆 9 4 6
13、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为
2 .过 2

x2 y2 ? ?1) F1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为:( 16 8
14 、 已 知 F1,F2 为 椭 圆
x2 y 2 ? ? 1 的 两 个 焦 点 , 过 F1 的 直 线 交 椭 圆 于 A, B 两 点 , 若 25 9

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ? 8 .

???? ???? ? x2 y 2 15、已知 F1 、 (a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, 且 PF1 ? PF2 , F2 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 a b
若 △PF1F2 的面积是 9,则 b ? 3 .
5

16、求心在原点,焦点在坐标轴上,且经过 P( 4, ? 3 ),Q ( 2 2 ,3 )两点的椭圆方 程。 解:设椭圆方程为
x2 y2 ? 2 ? 1 ,将 P,Q 两点坐标代入,解得 a 2 ? 20, b 2 ? 15 2 a b



x2 y2 ? ? 1 为所求。 20 15
2 2 5) ? y2 ? 4, (x ? 5) ? y2 ? 4 中的一个内切,另一个外切.

17.设圆 C 与两圆 (x+

求 C 的圆心轨迹 L 的方程.

解析:设 C 的圆心的坐标为 ( x, y ) ,由题设条件知
| ( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 |? 4,

化简得 L 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

18.如图,设 P 是圆珠笔 x2 ? y 2 ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 P D 上一点,
且 MD ?
4 PD 5
4 的直线被 C 所截线段的长度。 5
p p

(Ⅰ)当 P 的在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

解析:(Ⅰ)设 M 的坐标为 ( x, y), P , P 的坐标为 ( x , y

),

? x p ? x, 5 2 x2 y 2 ? 2 P ? x ? ( y ) ? 25, ? ?1 由已知得 ? 在圆上, 即 C 的方程为 ? 5 4 25 16 y ? y , p ? ? 4

(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为

4 4 的直线方程为 y ? ( x ? 3) ,设直线与 C 的交点为 5 5

A( x, y), B( x2 , y2 ) ,将直线方程 y ?

4 x 2 ( x ? 3)2 ( x ? 3) 代入 C 的方程,得 ? ?1, 5 25 25

即 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 。? x1 ?

3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? 2 2

? 线段 AB 的长度为 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ?

16 41 41 )( x1 ? x2 )2 ? ? 41 ? 25 25 5

6


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