状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练09:等差数列、等比数列

高考专题训练(九) 等差数列、等比数列 A 级——基础巩固组 一、选择题 1.(2014· 山东青岛二模)数列{an}为等差数列,a1,a2,a3 成等比数列,a5= 1,则 a10=( A.5 C.0 解析 )

B.-1 D.1
2 ??a1+d? =a1?a1+2d?, ?a1=1, 设公差为 d,由已知得? 解得? 所以 ?a1+4d=1, ?d=0,

a10=a1+9d=1,故选 D 答案 D

2.(2014· 河北邯郸二模)在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24, 则该数列前 13 项的和是( A.13 C.52 解析 B.26 D.156 ∵a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10, )

∴6a4+6a10=24,即 a4+a10=4, 13?a1+a13? 13?a4+a10? ∴S13= = =26. 2 2 答案 B

5 3.(2014· 河北唐山一模)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3=2, 5 Sn a2+a4=4,则a =(
n

)

A.4n-1 C.2n-1

B.4n-1 D.2n-1

解析

5 a + a = ? 1 3 ? 2, ∵? 5 ? ?a2+a4=4,

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2 5 ? ?a1+a1q =2,① ∴? 3 5 a q + a q =4,② 1 1 ? ?

1+q2 1 由①除以②可得 3=2,解得 q= , 2 q+q 代入①得 a1=2, 4 ?1? ∴an=2×?2?n-1=2n, ? ? ? ?1? ? 2×?1-?2?n? 1? ? ? ?? ? ?1-2n?, ∴Sn= = 4 1 ? ? 1-2 1? ? 4?1-2n? ? n Sn ? ∴a = =2 -1,选 D. 4 n 2n 答案 D

4.(2014· 福建福州一模)记等比数列{an}的前 n 项积为Ⅱn,若 a4· a5=2,则 Ⅱ8=( ) B.81 D.1 由题意可知 a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=2,

A.256 C.16 解析

则Ⅱ8=a1a2a3a4a5a6a7a8=(a4a5)4=24=16. 答案 C

5.(2014· 辽宁卷)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{2a1an}为递减数列,则 ( ) A.d<0 C.a1d<0 解析 故选 C. 答案 C B.d>0 D.a1d>0

依题意得 2a1an>2a1an+1, 即(2a1)an+1-an<1, 从而 2a1d<1, 所以 a1d<0,

6.(2014· 四川七中二模)正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在 am,

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1 4 an,使得 aman=16a2 1,则 + 的最小值为( m n 25 A. 6 7 C.3 解析 13 B. 4 3 D.2 由 a3=a2+2a1,

)

得 q2=q+2,∴q=2(q=-1 舍去),
2 由 aman=16a1 得 2m-12n-1=16,

∵m+n-2=4,m+n=6, 1 4 m+n? 1 4? 所以m+n= 6 ?m+n? ? ? n 4m? 1? =6?1+4+m+ n ? ? ? 1? ≥6?5+2 ? 答案 D n 4m? 3 ?= . m·n ? 2

二、填空题 7.(2014· 安徽卷)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q=________. 解析 设等差数列的公差为 d,则 a3=a1+2d,a5=a1+4d,

∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得 d=-1. ∴q= 答案 a3+3 a1-2+3 = =1. a1+1 a1+1 1

15 8.(2014· 河北衡水中学二模)在等比数列{an}中,若 a7+a8+a9+a10= 8 , 9 1 1 1 1 a8· a9=-8,则a +a +a +a =________.
7 8 9 10

解析

1 1 a7+a10 1 1 a8+a9 ∵a +a = a a ,a +a = a a , 7 10 7 10 8 9 8 9

而 a8a9=a7a10,

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15 1 1 1 1 a7+a8+a9+a10 8 5 ∴a +a +a +a = = 9=-3. a a 7 8 9 10 7 10 -8 答案 5 -3

1 9.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=4,则 Sn=a1+a2+?+an 的取值范围 是________. 解析 因为{an}是等比数列,


所以可设 an=a1qn 1. 1 因为 a2=2,a5=4, a q=2, ? ? 1 所以? 4 1 a q =4, ? ? 1 a =4, ? ? 1 解得? 1 q=2. ? ?

? ?1? ? 4?1-?2?n? ? ? ?? ?1?n ?2? . 所以 Sn=a1+a2+?+an= = 8 - 8 × 1 ? ? 1-2 ?1? 1 因为 0<?2?n≤2,所以 4≤Sn<8. ? ? 答案 [4,8)

三、解答题 10.(2014· 课标全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan
+1

=λSn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 解 (1)由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.

两式相减得 an+1(an+2-an)=λan+1. 由于 an+1≠0,所以 an+2-an=λ. (2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得 a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令 2a2=a1+a3,解得 λ=4.

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故 an+2-an=4,由此可得 {a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3; {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列. 11.(2014· 山东菏泽一模)已知数列{an},a1=-5,a2=-2,记 A(n)=a1+ a2+?+an,B(n)=a2+a3+?+an+1,C(n)=a3+a4+?+an+2(n∈N*),若对于 任意 n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前 n 项和. 解 (1)根据题意 A(n),B(n),C(n)成等差数列,

∴A(n)+C(n)=2B(n), 整理得 an+2-an+1=a2-a1=-2+5=3. ∴数列{an}是首项为-5,公差为 3 的等差数列, ∴an=-5+3(n-1)=3n-8. ?-3n+8,n≤2, (2)|an|=? ?3n-8,n≥3, 记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. n?5+8-3n? 3n2 13 当 n≤2 时,Sn= =- 2 + 2 n; 2 ?n-2??1+3n-8? 3n2 13 当 n≥3 时,Sn=7+ = 2 - 2 n+14; 2 3 2 13 ? ?-2n + 2 n,n≤2, 综上,Sn=? 3 2 13 ? ?2n - 2 n+14,n≥3. B 级——能力提高组

?a11 1. (2014· 九江市七校联考)已知数阵?a21 ?a31
A.16 B.18

a12 a22 a32

a13

? a33?

a23?中, 每行的 3 个数依次成 )

等差数列, 每列的 3 个数也依次成等差数列, 若 a22=2, 则这 9 个数的和为(

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C.9 解析

D.8

?a11 已知数阵?a21 ?a31

a12 a22 a32

a13

? a33?

a23?中,每行的 3 个数依次成等差数列,每列的

3 个数也依次成等差数列,若 a22=2,由等差数列的性质得:a11+a12+a13+a21 +a22+a23+a31+a32+a33=9a22=18. 答案 B

4 1 2.(2014· 江苏南京一模)已知等比数列{an}的首项为3,公比为-3,其前 n 1 项和为 Sn,若 A≤Sn-S ≤B 对 n∈N*恒成立,则 B-A 的最小值为________.
n

解析

4? 1 ?8 4? ? 1? ?8 ? ? 易得 Sn=1-?-3?n∈?9,1?∪?1,3?, 而 y=Sn-S 在?9,3?上单调递 ? ? ? ? ? ? ? n ?

7 ? 17? 59 ? 17 7 ? 增,所以 y∈?-72,12??[A,B],因此 B-A 的最小值为12-?-72?=72. ? ? ? ? 答案 59 72

3.(2014· 山东淄博一模)若数列{An}满足 An+1=A2 n,则称数列{An}为“平方 递推数列”. 已知数列{an}中,a1=9,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上, 其中 n 为正整数. (1)证明数列{an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(an+1)}为等比数列; (2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项积为 Tn,即 Tn=(a1+1)(a2+1)?(an +1),求 lgTn; (3)在(2)的条件下, 记 bn= 026 的 n 的最小值. 解
2 (1)由题意得:an+1=an +2an,

lgTn ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn,并求使 Sn>4 lg?an+1?

即 an+1+1=(an+1)2, 则{an+1}是“平方递推数列”. 对 an+1+1=(an+1)2 两边取对数得 lg(an+1+1)=2lg(an+1), 所以数列{lg(an+1)}是以 lg(a1+1)为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)知 lg(an+1)=lg(a1+1)· 2n-1=2n-1 lgTn = lg(a1 + 1)(a2 + 1)?(an + 1) = lg(a1 + 1) + lg(a2 + 1) + ? + lg(an + 1) =

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1· ?1-2n? n =2 -1 1-2 2n-1 lgTn ?1? (3)bn= = =2-?2?n-1 ? ? lg?an+1? 2n-1 1 1-2n 1 Sn=2n- 1 =2n-2+2n-1 1-2 又 Sn>4 026,即 2n-2+ 1 1 >4 026,n+2n>2 014 2n-1

1 又 0< n<1,所以 nmin=2 014. 2

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