状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练14:直线与圆

高考专题训练(十四)

直线与圆(理)

A 级——基础巩固组 一、选择题 1.已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( A.x-y+1=0 C.x+y+1=0 解析 B.x-y=0 D.x+y=0 )

由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直,

1 1 所以 kl=-k =- =1. 4-2 PQ 1-3 又直线 l 经过 PQ 的中点(2,3),所以直线 l 的方程为 y-3=x-2,即 x-y + 1=0. 答案 A

2.(2014· 四川成都二模)已知圆 C1:(x +1)2+(y-1)2=1,圆 C2 与 C1 关于 直线 x-y-1=0 对称,则圆 C2 的方程为( A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2 =1 D.(x-2)2+(y-2)2=1 解析 C1:(x+1)2+(y-1)2=1 的圆心为(-1,1),它关于直线 x-y-1=0 对 )

称的点为(2,-2),对称后半径不变,所以圆 C2 的方程为(x-2)2+(y+2)2=1. 答案 B

3.(2014· 山东潍坊一模)若圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆 C 的方程为( )

A.(x-2)2+(y± 2)2=3 B.(x-2) 2+(y± 3)2=3 C.(x-2)2+(y± 2)2=4 D.(x-2)2+(y± 3)2=4 解析 因为圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线 x=2 上,又圆与 y

轴相切, 所以半径 r=2, 设圆心坐标为(2, b), 则(2-1)2+b2=4, b2=3, b=± 3,

第 1 页 共 8 页

选 D. 答案 D

4.(2014· 山东青岛一模)过点 P(1, 3)作圆 O:x2+y2=1 的两条切线,切点 分别为 A 和 B,则弦长|AB|=( A. 3 C. 2 解析 ) B.2 D.4

如图所示,∵PA,PB 分别为圆 O:x2+y2=1 的切线, ∴OA⊥AP. ∵P(1, 3),O(0,0), ∴|OP|= 1+3=2. 1 又∵|OA|=1,在 Rt△APO 中,cos∠AOP=2, ∴∠AOP=60° , ∴|AB|=2|AO|sin∠AOP= 3.故选 A. 答案 A

5.(2014· 北京朝阳一模)直线 y=x+m 与圆 x2+y2=16 交于不同的两点 M, → |≥ 3|OM → +ON → |,其中 O 是坐标原点,则实数 m 的取值范围是( N,且|MN A.(-2 2,- 2)∪[ 2,2 2) B.(-4 2,-2 2)∪[2 2,4 2) C.[-2,2] D.[-2 2,2 2 ] )

第 2 页 共 8 页

解析

1 → → → → → → 设 MN 的中点为 D,则OM+ON=2OD,|MN|≥2 3|OD|,由|OD|2+2

→ |2=16,得 16=|OD → |2+1|MN → |2≥|OD → |2+1(2 3|OD → |)2,从而得|OD → |≤2,由点到 |MN 4 4 → |= |m| ≤2,解得-2 2≤m≤2 2. 直线的距离公式可得|OD 2 答案 D

6.(2014· 江西卷)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点, 若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( 4 A.5π C.(6-2 5)π 解析 3 B.4π 5 D.4π )

∵∠AOB=90° ,∴点 O 在圆 C 上.

设直线 2x+y-4=0 与圆 C 相切于点 D,则点 C 与点 O 间的距离等于它到 直线 2x+y-4=0 的距离, ∴点 C 在以 O 为焦点,以直线 2x+y-4=0 为准线的抛物线上, ∴当且仅当 O,C,D 共线时,圆的直径最 小为|OD|. 又|OD|= |2×0+0-4| 4 = , 5 5 2 , 5

∴圆 C 的最小半径为

?2? 4 ∴圆 C 面积的最小值为 π? ?2=5π. ? 5? 答案 A

二、填空题 7.(2014· 山东卷)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3,则圆 C 的标准方程为________. 解析 ∵圆心在直线 x-2y=0 上,

∴可设圆心为(2a,a). ∵圆 C 与 y 轴正半轴相切, ∴a>0,半径 r=2a. 又∵圆 C 截 x 轴的弦长为 2 3,

第 3 页 共 8 页

∴a2+( 3)2=(2a)2,解得 a=1(a=-1 舍去). ∴圆 C 的圆心为(2,1),半径 r=2. ∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 答案 (x-2)2+(y-1)2=4

8.(2014· 重庆卷)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4 =0 相交于 A,B 两点,且 AC⊥BC,则实数 a 的值为________. 解析 由题意,得圆心 C 的坐标为(-1,2),半径 r=3.因为 AC⊥BC,所以 |-1-2+a| 2 3 2 = 2 r= 2 ,即|-3+a|=3, 2

圆心 C 到直线 x-y+a=0 的距离 d= 所以 a=0 或 a=6. 答案 0或6

9.直线 2ax+by=1(a,b 是实数)与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点,且△ AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点 P(a,b)与点(0,1)之间的距离的最大值 为________. 解析
2

2 易知△AOB 为等腰直角三角形,且点 O 到直线距离为 2 ,可得 2a2
2 2

+b =2?- 2≤b≤ 2, a +?b-1? = 答案 2+1

2-b2 2 2 +?b-1? ≤

2+1.

三、解答题 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; 2 (2)若点 P 到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. 解 (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.

则 y2+2=r2,x2+3=r2. ∴y2+2=x2+3,即 y2-x2=1. ∴P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 P 的坐标为(x0,y0),

第 4 页 共 8 页



|x0-y0| 2 = 2 ,即|x0-y0|=1. 2

∴y0-x0=± 1,即 y0=x0± 1.
2 2 2 ①当 y0=x0+1 时,由 y2 0-x0=1,得(x0+1) -x0=1.

?x0=0, ∴? ∴r2=3. ?y0=1, ∴圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3.
2 2 2 ②当 y0=x0-1 时,由 y2 0-x0=1,得(x0-1) -x0=1.

?x0=0, ∴? ∴r2=3. ?y0=-1, ∴圆 P 的方程为 x2+(y+1)2=3. 综上所述,圆 P 的方程为 x2+(y± 1)2=3. 11.(2014· 课标全国卷Ⅰ)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动 直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积. 解 (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.

→ =(x,y-4),MP → =(2-x,2-y). 设 M(x,y),则CM →· → =0, 由题 设知CM MP 故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上, 又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM. 1 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为-3, 1 8 故 l 的方程为 y=-3x+3.

第 5 页 共 8 页

4 10 又|OM|=|OP|=2 2,O 到 l 的距离为 5 , 4 10 |PM|= 5 , 16 所以△POM 的面积为 5 . B 级——能力提高组 1.(2014· 河南南阳联考)动圆 C 经过点 F(1,0),并且与直线 x=-1 相切,若 动圆 C 与直线 y=x+2 2+1 总有公共点,则圆 C 的面积( A.有最大值 8π C.有最小值 3π 解析 B.有最小值 2π D.有最小值 4π )

设圆心为 C(a,b),半径为 r,r=|CF|=|a+1|,即(a-1)2+b2=(a+

1 1 ?1 ? 1)2,即 a=4b2,∴圆心为?4b2,b?,r=4b2+1,圆心到直线 y=x+2 2+1 的距 ? ? ?b ? ? 4 -b+2 2+1? ? ? b2 离为 d= ≤ 4 +1,∴b≤-2(2 2+3)或 b≥2,当 b=2 时,rmin 2 1 =4×4+1=2,∴Smin=πr2=4π. 答案 D
2

2.过圆 x2+y2=1 上一点作圆的切线与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A,B 两点, 则 |AB|的最小值为________. 解析
2

x y 假设直线 lAB:a+b=1.由于圆心(0,0)到 l 的距离为 1,可得 a2b2=a2

2 2 ?a +b ?2 ? ,所以 a2+b2≥4.又因为|AB|= a2+b2≥2,当且仅当 a= +b .又 a b ≤? ? 2 ? 2 2

b= 2时等号成立. 答案 2

3.(2014· 江苏卷)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设 立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆, 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离 均不少于 80 m.经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处,点 C 位于点 O 正东 4 方向 170 m 处(OC 为河岸),tan∠BCO=3.

第 6 页 共 8 页

(1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 解 xOy. (1)如图,以 O 为坐标原点,OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系

由条件知 A(0,60),C(170,0), 4 直线 BC 的斜率 kBC=-tan∠BCO=-3. 3 又因为 AB⊥BC,所以直线 AB 的斜率 kAB=4. 设点 B 的坐标为(a,b), 则 kBC= b-0 b-60 3 4 =-3,kAB= = . a-170 a-0 4

解得 a=80,b=120. 所以 BC= ?170-80?2+?0-120?2=150. 因此新桥 BC 的长是 150 m.

第 7 页 共 8 页

(2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m(0≤d≤60). 4 由条件知,直线 BC 的方程为 y=-3(x-170), 即 4x+3y-680=0. 由于圆 M 与直线 BC 相切,故点 M(0,d)到直线 BC 的距离是 r, 即 r= |3d-680| 680-3d = . 5 42+32

因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m, ?r-d≥80, 所以? ?r-?60-d?≥80, 680-3d ? ? 5 -d≥80, 即? 680-3d ? ? 5 -?60-d?≥80. 故当 d=10 时,r=

解得 10≤d≤35.

680-3d 5 最大,即圆面积最大.

所以当 OM=10 m 时,圆形保护区的面积最大.

第 8 页 共 8 页


相关文档

状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练12:点、直线、平面之间的位置关系
【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮素能训练:专题5 第1讲 直线与圆]
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练30:概率与统计解答题
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练19:统计与统计案例
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练08:平面向量
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练04:不等式
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练27:三角函数解答题
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练31:解析几何解答题
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练28:数列解答题
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练05:导数及其应用
电脑版