四川省遂宁市2019-2020学年高二上学期期末考试 数学文 Word版含答案

遂宁市高中 2017 级第三学期教学水平监测
数学(文科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷(选择题,满分 60 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否
正确。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内,
超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.考试结束后,将答题卡收回。

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1.直线 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角为

A. ? 4

B. 3? 4

C. ? 3

D. ? 6

2.圆心在 x 轴上,半径为 1 且过点 (2,1) 的圆的方程为

A. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1

B. (x ? 2)2 ? y2 ? 1

C. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1

D. (x ? 2)2 ? y2 ? 1

3.根据下图给出的 2011 年至 2016 年某企业关于某产品的生产销售(单位:万元)的柱形图,

以下结论不正确的是

A.逐年比较,2014 年是销售额最多的一年 B.这几年的利润不是逐年提高(利润为销售额减去总成本) C.2011 年至 2012 年是销售额增长最快的一年 D.2014 年以来的销售额与年份正相关

4.直线 l1 : ax ? 3y ? 3 ? 0 和直线 l2 : x ? (a ? 2) y ?1 ? 0 平行,则实

数 a 的值为

A.3

B. ?1

C. 3

D. 3 或 ?1

2

5.已知 P 是 ?ABC 的重心,现将一粒黄豆随机撒在 ?ABC 内,则黄豆落在 ?PBC 内的概率



A. 1 4

B. 1 3

C. 1 2

D. 2 3

6.已知 m、n 是不重合直线,?、?、? 是不重合平面,则下列命题

①若? ? ?、? ? ? ,则? ∥ ?

②若 m ? ?、n ? ?、m ∥ ?、n ∥ ? ,则? ∥ ?

③若? ∥ ? 、? ∥ ? ,则? ∥?

④若? ? ?、m ? ? ,则 m ∥?

⑤若 m ? ?、n ? ? ,则 m ∥ n

为假命题的是

A.①②③

B.①②⑤

C.③④⑤

D.①②④

?y ?1? 0 7.不等式组 ??x ? y ? 2 ? 0 ,目标函数 z ? x ? y 的最大值为
??x ? 4 y ? 8 ? 0

A.0

B.2

C.5

D.6

8.曲线 y ? 1? x2 与曲线 y ? x 的交点个数为

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

9.如图,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的

各条棱长都相等,且 CC1 ? 底面

ABC , M 是侧棱 CC1 的中点,

则异面直线 AB1 和 BM 所成的角为

A. ? 2

B. ? 4

C. ? 6

D. ? 3

10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为

A. 8+2 7

B. 2 7 +10

C. 4 3 3

D. 4 2 +2 3

11.已知 ?ABC 的外接圆 M 经过点 ?0,1?,?0,3? ,且圆心 M 在直线 y ? x 上.若 ?ABC 的边
长 BC ? 2 ,则 sin ?BAC 等于

A. 5 5

B. 1 5

C. 5 3

D. 1 2

12. 设点 P 是函数 y ? ? 4 ? (x ?1)2 图象上任意一点,点 Q 坐标为 (2a, a ? 3)(a ? R) ,当

| PQ |















C1 : (x ? a)2 ? y2 ? r2 (r ? 0) 上至多有 2 个点到直线 x ? 3y ? 3 ? 0 的距离为 1,则实数 r
的取值范围为

A.1? r ? 3 B.1? r ? 3 C. 0 ? r ? 3 D. 0 ? r ? 3

第Ⅱ卷(非选择题,满分 90 分)
注意事项: 1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。 2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知某地区中小学生人数如图所示,用分层抽样的方法抽取 200 名学生进行调查,则抽
取的高中生人数为 ▲ 14.连续抛掷两枚骰子,向上的点数之和为 6 的概率为 ▲ 15.棱长为 1 的正方体的顶点都在同一个球面上,
则该球面的表面积为 ▲
16.在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(1, 0), B(4, 0) ,

若在曲线 C : x2 ? 2ax ? y2 ? 4ay ? 5a2 ? 9 ? 0 上存在点 P 使得| PB |? 2 | PA | ,则实数 a 的取值范围为 ▲
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题 10 分)
如 图 , 在 三 棱 锥 P ? A B C中 , D, E, F 分 别 为 棱 PC, AC, AB 的 中 点 . 已 知 PA ? AC, PA ? 6 , BC ? 8, DF ? 5 . 求证:(1)直线 PA / / 平面 DEF;
(2)平面 BDE⊥平面 ABC.



18.(本小题 12 分) 某城市理论预测 2017 年到 2021 年人口总数(单位:十万)与年份的关系如下表所示:

年份 2017 ? x

0

1

2

3

4

人口总数 y

5

7

8

11 19

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归方程 y? ? b?x ? a? ;

(2)据此估计 2022 年该城市人口总数.

?? 附: b? ?

x n
i?1 i

yi

?

nxy



a? ? y ? b?x .

x n 2
i?1 i

?

nx

2

参考数据: 0?5?1?7 ? 2?8 ? 3?11? 4?19 ?132 ,

02 ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 30 .



19.(本小题 12 分)
已知直线 2x ? y ?1 ? 0 与直线 x ? 2y ?1 ? 0 交于点 P (1)求过点 P 且平行于直线 3x ? 4y ?15 ? 0 的直线 l1 的方程; (2)在(1)的条件下,若直线 l1 与圆 x2 ? y2 ? 2 交于 A、B 两点,求直线与圆截得的弦 长| AB |


20.(本小题 12 分)

2017 年“双节”期间,高速公路车辆

较多.某调查公司在

一服务区从七座以下小型汽车中按进服

务区的先后每间隔

50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾

驶员进行询问调查,

将他们在某段高速公路的车速 ?km / h? 分 ?65,70? , ?70,75? , ?75,80? ,

成六段: ?60,65? , ?80,85? , ?85,90?

后得到如图的频率分布直方图.

(1)调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?

(2)求这 40 辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值;

(3)若从车速在?60,70? 的车辆中任抽取 2 辆,求车速在?65,70? 的车辆至少有一辆的

概率. ▲

21.(本小题满分 12 分)
如图,在三棱柱 ABC ? A?B?C? 中, 点 D 是 BC 的中点,欲过点 A?作一截 面与平面 AC?D 平行.
(1)问应当怎样画线,并说明理由;
(2)求所作截面与平面 AC?D 将三棱柱分成的三部分的体积之比.


22.(本小题 12 分)
已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(3,0),端点 A 在圆 (x ? 3)2 ? y2 ? 16 上运动;
(1)求线段 AB 中点 M 的轨迹方程; (2)过点 C(1,1)的直线 m 与 M 的轨迹交于 G、H 两点,求以弦 GH 为直径的圆的面 积最小值及此时直线 m 的方程.
(3)若点 C(1,1),且 P 在 M 轨迹上运动,求 OC OP 的取值范围.(O 为坐标原点)

遂宁市高中 2017 级第三学期教学水平监测

数学(文科)试题参考答案及评分意见

一、选择题(5×12=60 分) 题号 1 2 3 4 5 答案 A B D B B
二、填空题(每小题 5 分,共 4 个小题)

13、 40

14、 5 36

15、 3?

三、解答题(共 70 分)

6 7 8 9 10 11 12 DCBABAC

? 16、 ??
?

5, ?

5 5

?
? ?

?

?
? ?

5, 5

? 5?
?

17.(本小题 10 分)

证明:(1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点,所以 DE∥PA 分

……………2

又因为 PA ? 平面 DEF,DE ? 平面 DEF, 分

……………4

所以直线 PA∥平面 DEF 分

……………5

(2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8,

所以 DE∥PA,EF∥BC,且 DE=12PA=3,EF=12BC=4.

又因为 DF=5,故 DF2=DE2+EF2, 分

……………6

所以∠DEF=90°,即 DE⊥EF 分

……………7

又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC 分

……………8

因为 AC∩EF=E,AC ? 平面 ABC,EF ? 平面 ABC,
所以 DE⊥平面 ABC 分

……………9

又 DE ? 平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABC 分

……………10

18.(本小题 12 分)

解:(1)由题中数表,知 x ? 1 ?0 ?1? 2 ? 3 ? 4? ? 2 ,
5

y ? 1 ?5 ? 7 ? 8 ?11?19? ? 10
5

?? 所以 b? ?

x 5
i?1 i

yi

?

5xy

x 5 2
i?1 i

?

5x

2

? 3.2 ,

a? ? y ? b?x ? 3.6

……………2 分 ……………4 分 ……………6 分 ……………7 分

所以回归方程为 y? ? 3.2x ? 3.6

……………8 分

(2)当 x ? 5 时, y? ? 3.2?5 ? 3.6 ? 19.6 (十万) ? 196 (万) ……………12 分
19.(本小题 12 分)

解:(1)由

?2x ? ??x ? 2

y y

?1 ?1

? ?

0 0

?

? ? ?

x y

? ?

1 1

,?

P(1,1)



……………2

令 l1 : 3x ? 4 y ? m ? 0 , 分

……………4

将 P(1,1) 代入得: l1 : 3x ? 4 y ? 7 ? 0 (直线表示方式不唯一) ……………6 分

(2)圆心 O(0, 0) 到直线 l1 : 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的距离 d

?

0?0?7 9 ?16

?

7, 5

………9 分

所以 AB =2 2 ? 49 ? 2 25 5
20.(本小题 12 分)
解析:(1)系统抽样.
(2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即 75+80 =77.5 2
设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为:

……………12 分
……………1 分 ……………2 分

0.01?5? 0.02?5? 0.04?5? 0.06??x ?75? ? 0.06?(80 ? x) ? 0.05?5 ? 0.02?5 ,

解得 x ? 77.5

即中位数的估计值为 77.5.

……………4 分

平均数的估计值为:

x ? 62.5?0.05? 67.5?0.10 ? 72.5?0.20 ? 77.5?0.30 ?82.5?0.25? 87.5?0.10 ? 77

……………6 分

(3)车速在?60,65? 的车辆数为:2

车速在?65,70? 的车辆数为:4

……………8 分

设车速在?60,65? 的车辆为 a与b ,车速在?65,70? 的车辆为 c, d,e, f ,
则基本事件有:
?a,b?,?a,c?,?a,d ?,?a,e?,?a, f ?,?b,c?,?b,d ?,?b,e?,?b, f ?,?c,d ?,?c,e?,?c, f ?,

?d,e?,?d, f ?,?e, f ?

? 共 15 种,其中,车速在 65,70? 的车辆至少有一辆的事件有:……………10 分

?a,c?,?a,d ?,?a,e?,?a, f ?,?b,c?,?b,d ?,?b,e?,?b, f ?,??c,d ?,?c,e?,?c, f ?,

?d,e?,?d, f ?,?e, f ?, 共 14 种,

所以车速在?65,70? 的车辆至少有一辆的概率为 p ? 14
15
21.(本小题 12 分)

…………….12 分

解:(1)在三棱柱 ABC ? A?B?C? 中,点 D 是 BC 的中点,取 B?C? 的中点 E ,

连接 A?E , A?B , BE ,则平面 A?EB ∥平面 AC?D ,

A?E, A?B, BE 即为应画的线.

理由如下:因为 D 为 BC 的中点, E 为 B?C? 的中点,所以 BD ? C?E . 又因为 BC ∥ B?C? ,所以四边形 BDC?E 为平行四边形,所以 DC? ∥ BE .
DC? ? 平面A?BE . BE ? 平面A?BE .

? DC? // 平面A?BE .连接 DE ,则 DE 平行等于 BB? , 所以 DE ∥ AA? , 所以四边形 AA?ED 是平行四边形,从而 AD ∥ A?E . AD ? 平面A?BE .

AE? ? 平面A?BE .? AD // 平面A?BE .又因为 AD ? DC? ? D ,

AD ? 平面AC ' D , DC ' ? 平面AC ' D ,

所以平面 A' EB // 平面AC ' D .

(2)设棱柱的底面积为 S ,高为 h .



V三棱锥C?-ACD=V三棱锥

B

-A'

B

'


E

1 3

?

1 2

Sh= 1 6

Sh.

所以三棱柱夹在平面 AC ' D 与平面 A' EB 间

的体积为 Sh ? 2? 1 Sh= 2 Sh 63

∴所作截面与平面 AC ' D 将三棱柱分成的三部分的体积之比为

1 Sh∶2 Sh∶1 Sh=1∶4∶1. (比的顺序不同,结果就不同) 636

22.(本小题 12 分)

(1)解:设点 A(x0 , y0 ), M (x, y)

由中点坐标公式有

? ?? ? ? ??

x

? y

3 ?

? x0 2 y0 2

?

? ? ?

x0 ? y0

2 ?

x? 2y

3

……………2 分

又点 A(x0 , y0 ) 在圆 (x ? 3)2 ? y2 ? 16 上,将 A 点坐标代入圆方程得:

M 点的轨迹方程为: x2 ? y2 ? 4

……………4 分

(2)由题意知,原心到直线的距离 d ?| OC |, ∴当 d ?| OC |? 2, 即

当 OC ? GH (O为坐标原点)时,弦长 GH 最短,

此时圆的面积最小,圆的半径 r ? 2 ,面积 S=2? 又 kOC =1 ,所以直线 m 斜率 kGH ? ?1,又过点 (1,1) 故直线 m 的方程为: x ? y ? 2 ? 0 (3)设点 P(x, y) ,由于点 O(0,0)C(1,1)

……………6 分 ……………8 分

法一:所以 OC ?OP ? x ? y ,令 z ? x ? y

……………9 分

有 y ? ?x ? z ,由于点 P(x, y) 在圆 x2 ? y2 ? 4 上运动,故满足圆的方程. 当直线 y ? ?x ? z 与圆相切时, z 取得最大或最小

故有 z ? 2 ? z ? 2 2或z ? ?2 2 2
所以 OC ?OP ? ???2 2, 2 2 ?? 法二: OC ?OP ?| OC || OP | cos? ? ?[0, 2? )

……………12 分 ……………10 分

∴ OC ?OP ? 2 2 cos? 从而 OC ?OP ?[?2 2,, 2 2] ……………12 分


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