株洲市二中2012年下学期高二第二次月考理科数学试题

株洲市二中 2012 年下学期高二年级第二次月考

数 学(理科) 试 卷
命题人:黄秀良 审题人:李平凡 时量:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题的 4 个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设 x, y ? R, 则 “ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的
2 2

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件

2.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能的是 ...



A

B

C

D

3. 连续抛掷两枚骰子得到的点数分别是 m、n,则向量 a =(m,n)与向量 b =(1,1)共线的 概率是 A.

r

r

5 12

B.

1 3

C.

1 6

D.

1 2

4. 如图是一个程序框图,则输出结果为 A. 2 2 ? 1 B. 2 C.

10 ? 1

D.

11 ? 1

5. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1 B1 ? a , A1 D 1 ? b ,

???? ?

?

A1 A ? c ,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是 1r 1r r 1r 1r r 1r 1r r A. ? a ? b ? c B. C. a? b?c a? b?c 2 2 2 2 2 2
6.已知双曲线 离心率为

D. ?

1r 1r r a? b?c 2 2

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x ,则此双曲线的 2 4 a b

1

A.

7 4
2

B.

4 3

C.

5 3

D.

5 4

7. 函数 f ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲 线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为

1 2 a2011 ? a2012 1 8. 已知正项等比数列 {an } 中, 3a1 , a3 , 2a2 成等差数列,则 = a2009 ? a2010 2
A. 4 B. ? C. 2 D. ? A.3 或-1 B.9 或 1 C.1 D.9
2 2 9. 已知双曲线 x ? y ? 1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交

1 4

12

4

点,则此直线斜率的取值范围是 A. ( ?

3 3 , ) 3 3
2

B. (? 3, 3)

C. [ ?

3 3 , ] 3 3

D. [? 3, 3]

10.过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 作直线 AB,CD 与抛物线交于 A,B,C,D 四点,且 AB ? CD , 则 FA ? FB ? FC ? FD 的最大值等于 A. ?4 B.

uur uur

uuu uuu r r

?16

C. 4

D. ?8

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11. 函数 f ( x) ? x ? 15 x ? 33x ? 6 的单调减区间为
3 2

.

12.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=3,AD=4,AA1=5,则直线 AC1 与平面 ABCD 所成 角的大小为 .

13. 为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重 情况, 将所得的数据整理后, 画出了频率分布直方图 (如 图) ,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,第 2 小组的频数为 12,则抽取的学生人数是

_________. 14.如图,已知椭圆

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,左焦 2 a b
0

2

2

y B A F O x

点为 F ,上顶点为 B ,若 ?BAO ? ?BFO ? 90 ,则椭圆的离 心率是 . 第 14 题

15. 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 , 抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直

2

线 l2 的距离之和的最小值是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.
16. (本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90° , PA⊥平面 ABCD,AB=1,AD=2,PA=CD=4. (1)求证:BD⊥PC; (2)求二面角 B—PC—A 的余弦值.

17. (本题满分 12 分) 已知函数 y ? ln x ?

2 . x

(1) 求函数 y 的单调区间; (2) 求在 P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.

18. (本题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 中内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , a ? b ? 6ab cos C ,
2 2

且 sin C ? 2sin A sin B .
2

(1)求角 C 的值; (2)设函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

) ? cos ? x(? ? 0) , 且f ( x) 图象上相邻两最高点间的距
3

离为 ? ,求 f ( A) 的取值范围.

19. (本题满分 12 分)

x 已知 p: ? 3 ? 2, q:(x-m+1)(x-m-1) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 充分而不必要条件,求
实数 m 的取值范围.

20. (本题满分 13 分) 椭圆

x2 y 2 右焦点分别为 F1 , F2 , 一条直线 l 经过点 F1 与椭圆交于 A, B 两点. ? ? 1 的左、 4 3

⑴ 求 ?ABF2 的周长; ⑵ 若 l 的倾斜角为

? ,求 ?ABF2 的面积. 4

21. (本题满分 14 分)

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1、F2 ,过点 F1 斜率为正数的直 b2 AB BF 线交 ?与A 、B 两点,且 AB ? AF 2 , AF 2 、 、 2 成等差数列。 (1)求 ? 的离心率; (2)若直线 y=kx(k<0)与 ? 交于 C、D 两点,求使四边形 ABCD 面积 S 最大时 k 的值。
已知椭圆 ?: 2 ?

x2 a

4

株洲市二中 2012 年下学期高二年级第二次月考

数 学 (理科) 答案
命题人:黄秀良 审题人:李平凡 时量:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题的 4 个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设 x, y ? R, 则 “ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的 (
2 2

A

)

A. 充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件

2.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能的是( C ) ...



A

B

C

D

3. 连续抛掷两枚骰子得到的点数分别是 m、n,则向量 a =(m,n)与向量 b =(1,1)共线的概 率是( C ) A.

r

r

5 12

B.

1 3

C.

1 6
( D )

D.

1 2

4. 如图是一个程序框图,则输出结果为 A. 2 2 ? 1 B. 2 C.

10 ? 1

D.

11 ? 1

5. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1 B1 ? a , A1 D 1 ? b ,

???? ?

?

A1 A ? c ,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是 1r 1r r 1r 1r r 1r 1r r A. ? a ? b ? c B. C. a? b?c a? b?c 2 2 2 2 2 2
6.已知双曲线 离心率为 A.

( A

)

1r 1r r D. ? a ? b ? c 2 2

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x ,则此双曲线的 2 4 a b
( B. D )

7 4

4 3

C.

5 3

D.

5 4
5

7. 函数 f ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲
2

线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 A. 4 B. ?

( A ) D. ?

1 2 a ? a2012 1 8. 已知正项等比数列 {an } 中, 3a1 , a3 , 2a2 成等差数列,则 2011 =( a2009 ? a2010 2
C. 2 A.3 或-1 B.9 或 1 C.1 D.9

1 4

D )

2 2 9. 已知双曲线 x ? y ? 1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交

12

4

点,则此直线斜率的取值范围是( C A. ( ?

) C. [ ?

3 3 , ) 3 3
2

B. (? 3, 3)

3 3 , ] 3 3

D. [? 3, 3]

10.过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 作直线 AB,CD 与抛物线交于 A,B,C,D 四点,且 AB ? CD , 则 FA ? FB ? FC ? FD 的最大值等于( B ) A. ?4 B.

uur uur

uuu uuu r r

?16

C. 4

D. ?8

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11. 函数 f ( x) ? x ? 15 x ? 33x ? 6 的单调减区间为
3 2

(?1,11)

.

12.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=3,AD=4,AA1=5,则直线 AC1 与平面 ABCD 所 成角的大小为

45o



13. 为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重 情况, 将所得的数据整理后, 画出了频率分布直方图 (如 图) ,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,第 2 小组的频数为 12,则抽取的学生人数是 ___48_______。 14.如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,左焦 a 2 b2 点为 F ,上顶点为 B ,若 ?BAO ? ?BFO ? 900 ,则椭圆的离
心率是
5 ?1 2

y B A F O x



15.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上 一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 2 .

第 14 题

6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.
16. (本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90° , PA⊥平面 ABCD,AB=1,AD=2,PA=CD=4. (1)求证:BD⊥PC; (2)求二面角 B—PC—A 的余弦值. 解析:(1)证明:以 A 为原点,建立如图所示空间直 角坐标系, 则 B(0,1,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,4), ∴ PC ? (-2,4,-4), BD =(-2,-1,0), ∴ PC ? BD =4-4=0, 所以 PC⊥BD (2)易证 BD 为平面 PAC 的法向量, BD =(-2,- 1,0). 设平面 PBC 的法向量 n=(a,b,c),

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? PB =(0,1,-4), BC =(-2,3,0), ??? ? ? n?PB ? 0, ?b=4c, ? ? 所以 ? ??? ?? ? ? ? n?BC ? 0 ?a=6c, ?
所以平面 PBC 的法向量 n=(6,4,1),

??? ? BD ?n -12-4 16 265 ∴cosθ= ??? =- . ? = 265 5· 53 BC n
因为平面 PAC 和平面 PBC 所成的角为锐角, 16 265 所以二面角 B—PC—A 的余弦值为 265 17. (本题满分 12 分) 已知函数 y ? ln x ?

2 . x

(3) 求函数 y 的单调区间; (4) 求在 P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积. 解: (1)单调增区间 (2, ??) ;单调减区间(0,2) ; (2)切线方程为: x ? y ? 3 ? 0 ,面积为

9 2

7

18. (本题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 中内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , a ? b ? 6ab cos C ,
2 2

且 sin C ? 2sin A sin B .
2

(1)求角 C 的值; (2)设函数 f ( x) ? sin(? x ? 为 ? ,求 f ( A) 的取值范围. 解: (1)因为 a 2 ? b 2 ? 6ab cosC ,由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cosC 所以 cos C ?

?
6

) ? cos ? x(? ? 0) , 且f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离

c2 . 4ab
2

又因为 sin C ? 2 sin A sin B ,则由正弦定理得: c ? 2ab ,
2

所以 cos C ? 所以 C ?

c2 2ab 1 ? ? , 4ab 4ab 2

?
3

.

(2) f ( x) ? sin(? x ? 由已知

?
6

) ? cos ? x ?

3 3 ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin(? x ? ) 2 2 3

? ? , ? ? 2 ,则 f ( A) ? 3 sin(2 A ? ), ? 3 ? 2? ? ? 因为 C ? , B ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? , 3 3 2 2 ? ? ? 2? 所以 ? A ? , 0 ? 2 A ? ? . 6 2 3 3
根据正弦函数图象,所以 0 ? f ( A) ? 3 .

2?

?

19. (本题满分 12 分)

x 已知 p: ? 3 ? 2, q:(x-m+1)(x-m-1) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 充分而不必要条件,求
实数 m 的取值范围. 解:由题意 p: ? 2 ? x ? 3 ? 2 ∴ 1? x ? 5 ∴ ?p : x ? 1或x ? 5 q: m ? 1 ? x ? m ? 1 ∴ ?q : x ? m ? 1或x ? m ? 1

8

又∵ ?p 是 ?q 充分而不必要条件 ∴?

?m ? 1 ? 1 ?m ? 1 ? 5

∴2 ? m ? 4

20. (本题满分 13 分) 椭圆

x2 y 2 右焦点分别为 F1 , F2 , 一条直线 l 经过点 F1 与椭圆交于 A, B 两点. ? ? 1 的左、 4 3

⑴ 求 ?ABF2 的周长; ⑵ 若 l 的倾斜角为

? ,求 ?ABF2 的面积. 4

解:⑴由椭圆的定义,得 AF1 ? AF2 ? 2a, BF1 ? BF2 ? 2a ,又 AF1 ? BF1 ? AB , 所以, ?ABF2 的周长 ? AB ? AF2 ? BF2 ? 4a . 又因为 a 2 ? 4 ,所以 a ? 2 ,故 ?ABF2 点周长为 8 . ⑵由条件,得 F1 (?1 , 0) ,因为 AB 的倾斜角为 故直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 . 由?
? y ? x ? 1, 2 消去 x ,得 7 y ? x2 y2 ? ? 1, ? 3 ? 4

? ,所以 AB 斜率为 1 , 4

? 6y ? 9 ? 0 ,

3? 6 2 3?6 2 , , y2 ? 7 7 1 1 12 2 12 2 所以, S ?ABF2 ? F1 F2 ? y1 ? y2 ? ? 2 ? . ? 2 2 7 7 21. (本题满分 14 分)
设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,解得 y1 ?

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1、F2 ,过点 F1 斜率为正数的直 b2 AB BF 线交 ?与A 、B 两点,且 AB ? AF 2 , AF 2 、 、 2 成等差数列。 (1)求 ? 的离心率; (2)若直线 y=kx(k<0)与 ? 交于 C、D 两点,求使四边形 ABCD 面积 S 最大时 k 的值。
已知椭圆 ?: 2 ? 解: (1)根据椭圆定义及已知条件,有 |AF2|+|AB|+|BF2|=4a, |AF2|+|BF2|=2|AB|, |AF2|2+|AB|2=|BF2|2, 4 5 由①、②、③,解得|AF2|=a,|AB|= a,|BF2|= a, 3 3 2 c 2 所以点 A 为短轴端点,b=c= a,Γ 的离心率 e= = . 2 a 2 (2)由(1) 的方程为 x2+2y2=a2. ,Γ 不妨设 C (x1,y1)、D (x2,y2)(x1<x2) , ① ② ③

x2 a

9


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