2019_2020学年高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.3平均值不等式(选学)讲义新人教B版选修4_5

2.3 平均值不等式(选学)
学习目标:1.了解算术平均,几何平均,调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用,了 解定理的推证过程.3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题.

教材整理 平均值不等式

1.(平均值不等式)设 a1,a2,…,an 为 n 个正数,则a1+a2+n …+an≥n a1a2…an,等号成

立?a1=a2=…=an. (推论 1)设 a1,a2,…,an 为 n 个正数,且 a1a2…an=1,则 a1+a2+…+an≥n,且等号成
立?a1=a2=…=an=1. 当 n=3 时,这个结论的几何解释是:如果一个长方体的体积为 1,则当它是正方体时,

其棱长之和最小.

(推论 2)设 C 为常数,且 a1,a2,…,an 为 n 个正数,则当 a1+a2+…+an=nC 时,a1a2…an≤Cn, 且等号成立?a1=a2=…=an.
当 n=3 时,这个定理的一个几何解释是:所有棱长之和相同的长方体中,正方体有最大

的体积.

2.任意给定 n 个正数,先求它们倒数的平均

11

1

a1+a2+n …+an,然后再作这个平均值的倒数

n

11

1 ,称其为 a1,a2,…,an 的调和平均.

a1+a2+…+an

(定理 2)设 a1,a2,…,an 为 n 个正数,则n a1a2…an≥ 1

n 1

1 ,等号成立?a1=a2

a1+a2+…+an

=…=an.

3.(定理 3)设 a1,a2,…,an 为正数,则a1+a2+n …+an≥n a1a2…an≥ 1

n 1

1 ,等

a1+a2+…+an

号成立?a1=a2=…=an.

(推论 3)设 a1,a2,…,an 为 n 个正数,则(a1+a2+…+an)·???a11+a12+…+a1n???≥n2.

1.设 x,y,z 为正数,且 x+y+z=6,则 lg x+lg y+lg z 的取值范围是( )

A.(-∞,lg 6]

B.(-∞,3lg 2]

C.[lg 6,+∞)

D.[3lg 2,+∞)

[解析] ∵x,y,z 为正数,∴xyz≤???x+3y+z???3=23. ∴lg x+lg y+lg z=lg xyz≤lg 23=3lg 2,当且仅当 x=y=z=2 时,等号成立.

[答案] B

2.若 a,b,c,d 为正数,则ba+cb+dc+ad的最小值为_____________.

[解析]

bcda 由平均值不等式可得,a+b+c+d≥4

4

bcda a·b·c·d=4,当且仅当

a=b=c

=d 时,等号成立.

[答案] 4

利用平均值不等式求最值 【例 1】 求函数 y=(x2-17) 79-x2的最大值. [精彩点拨] 根据函数的结构,采用平均值不等式求其最值. [自主解答] 根据平均值不等式 x2-2 17+x2-2 17+(79-x2)

≥3

3

?x2-17?2?79-x2? 4

3 =3

y2 4 ,即

y2≤623×247.

当且仅当x2-2 17=79-x2,即 x2=1375时等号成立.

这时 ymax=124 9 186.

利用平均值不等式求函数最值时,一要注意函数结构的配凑,二要注意等号成立的条件.

1.已知 x,y,z∈???23,+∞???且 x+y+z=3,求 y= 3x-2+ 3y-2+ 3z-2的最大值.

[解] 3x-2+ 3y-2+ 3z-2 = ?3x-2?·1+ ?3y-2?·1+ ?3z-2?·1 ≤3x-22+1+3y-22+1+3z-22+1=3?x+y+ 2 z?-3. ∵x+y+z=3,∴3?x+y+ 2 z?-3=3, ∴ 3x-2+ 3y-2+ 3z-2≤3.故 ymax=3.
利用平均值不等式证明不等式 【例 2】 若 x>0,求证:109+x>9 2+x. [精彩点拨] 由于不等式右边为9 2+x ,故将左边拆项,利用不等式证明. [自主解答] 109+x=1+1+9 x
即原不等式成立.
在利用平均值不等式证明不等式时,应根据不等式的特点选择相应公式,有时需要对一 边进行分拆、配凑;若两次使用平均值不等式,还要注意等号能否同时成立.
2.设 a,b,c 为正数,求证:(a+b+c)???a+1 b+b+1 c+a+1 c???≥92. [证明] ∵(a+b)+(b+c)+(c+a)≥ 3 3 ?a+b??b+c??c+a?, a+1 b+b+1 c+a+1 c≥3 3 a+1 b×b+1 c×a+1 c,

∴[(a + b) + (b + c) + (c + a)] ???a+1 b+b+1 c+a+1 c??? ≥3 3 ?a+b??b+c??c+a? ×3

31

1

1

a+b×b+c×a+c,

即 2(a+b+c)???a+1 b+b+1 c+a+1 c???≥9, ∴(a+b+c)???a+1 b+b+1 c+a+1 c???≥92.

平均值不等式的类型与应用条件

[探究问题]

试比较 n 个正数的算术平均,几何平均,调和平均,平方平均四者的大小关系.

[提示] 在课本中已讲过 n 个正数 a1,a2,…,an 的算术平均和几何平均分别是 An=

a1+a2+n …+an和 Gn=n a1a2…an.

此外,还有调和平均(在光学及电路分析中用到)

Hn= 1

n 1

1.

a1+a2+…+an

平方平均(在统计学及误差分析中用到)

Qn=

a21+a22+n …+a2n.

这四个平均值有以下关系:Hn≤Gn≤An≤Qn. 其中等号成立的充要条件都是 a1=a2=…=an. 【例 3】 设 x1,x2,x3 为正数,证明:xx21+xx32+xx13≤???xx21???3+???xx32???3+???xx31???3.

[精彩点拨] 不等式左右两边均为和式形式,要想应用均值不等式证明,必须对一边式

子进行变形.

[自主解答] xx21=xx23·xx31·1

≤13??????xx32???3+???xx31???3+1???,



xx32=xx31·xx12·1≤13??????xx31???3+???xx12???3+1???,



xx13=xx12·xx23·1≤13??????xx12???3+???xx23???3+1???,



1=xx31·xx12·xx23≤13??????xx31???3+???xx12???3+???xx23???3???.



上述不等式中,当且仅当 x1=x2=x3 时取“=”号.

①+②+③+④得xx21+xx32+xx13+1≤13[3·???xx12???3+3???xx32???3+3·???xx13???3+3],

∴xx21+xx32+xx13≤???xx21???3+???xx23???3+???xx13???3.

在应用平均值不等式解题时,有时需要将平均值不等式变形,如xx21可变为xx23·xx31·1.

3.已知 a,b,c 为正整数,且 b+c>a,c+a>b,a+b>c. 求证:???1+b-a c???a·???1+c-b a???b·???1+a-c b???c≤1. [证明] ???1+b-a c???a·???1+c-b a???b·???1+a-c b???c =???a+ab-c???a·???b+bc-a???b·???c+ca-b???c =???a+ab-c???…???a+ab-c???· ???b+bc-a???…???b+bc-a???· ???c+ca-b???…???c+ca-b??? ≤????a·a+ab-c+b·a+b+b+bc-c a+c·c+ca-b????a+b+c =1. 即原不等式成立.

1.设 a1,a2,…,an 为正数,P=a1+a2+n …+an,Q= 1

n 1

1 ,则 P,Q 间的大小

a1+a2+…+an

关系为( )

A.P>Q

B.P≥Q

C.P<Q

D.P≤Q

[解析] ∵(a1+a2+…+an)???a11+a12+…+a1n???≥

=n2,

∴a1+a2+n …+an≥ 1

n 1

1,

a1+a2+…+an

即 P≥Q.

[答案] B

2.已知正数 a,b,c 满足 a+b+c=3,则 8a+1+ 8b+1+ 8c+1的最大值为( )

A.9

B.3 3

C.16

D.4 3

[解析]

8a+1+ 8b+1+ 8c+1=13 ?8a+1?·9+13 ?8b+1?·9+13 ?8c+1?·9

≤8a+61+9+8b+61+9+8c+61+9=8?a+b+6 c?+30=9.当且仅当 a=b=c=1 时取等号.

[答案] A

3.当 x>0 时,y=3x+21x2的最小值为(

)

3 A.2

3

9

B.3

5 C.2

3

5

[解析] y=3x+21x2=32x+32x+21x2

3 D.4 2

≥3 3 32x·32x·21x2=3 3 89=32 3 9.

当且仅当32x=21x2,即 x= 3 31时,等号成立.

[答案] A

4.已知 x,y,z 为正数,且 2x+3y+5z=6,则 xyz 的最大值为________.

[解析] ∵x,y,z 为正数,∴xyz=310×2x×3y×5z≤310×???2x+33y+5z???3=145.当且仅

当 2x=3y=5z,即 x=1,y=23,z=25时等号成立.

[答案]

4 15

5.证明:设 n 为正整数,则 n[(n+1)1n-1]<1+12+13+…+1n.

11

1

[证明] 原不等式等价于:(n+1)1n<1+2+3n+…+n+1

1+12+13+…+1n+n



n

.

1+12+13+…+1n+n



n

=?1+1?+???1+12???+???n1+13???+…+???1+1n???

2+32+43+…+n+n 1 n



n

>

2·32·43·…·n+n 1

=n n+1 =(n+1)1n, ∴原不等式成立.


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