人教版B版高中数学必修5:3.2 均值不等式_图文

3.2 均值定理
两个正实数的算数平均值大于或等于它 的几何平均值

2002年8月北京第24届国际数学家 大会会标
赵爽:三国时期东吴的数学家。 曾注《周髀算经》,他所作的 《周髀算经注》中有一篇《勾 股圆方图注》全文五百余字, 并附有插图(已失传),
这篇注文简练地总结了东汉时 期勾股算术的重要成果,最早 给出并证明了有关勾股弦三边 及其和、差关系的二十多个命 题,他的证明主要是依据几何 图形面积的换算关系。

应用举例
例1.已知a>0,b>0,且ab=16,求a+b的最小值.

解:由a>0,b>0根据均值定理,得

一正

a ? b ? 2 ab ? 2 16 ? 8

二定

当且仅当a=b,即a=4时, 等号成立 所以a+b的最小值为8.

三相等 结论

例2.已知a>0,b>0,且a+b=6,求ab的最大值.

解:由a>0,b>0根据均值定理,


a ? b ? 2 ab ? 6 ? 2 ab

一正

? 36 ? 4ab

? ab ? 9

二定

当且仅当a=b,即 a=3时等号成立 所以ab的最大值为9.

三相等 结论

小结


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