空间向量的正交分解及其坐标表示ppt课件_图文

空间向量的正交 分解及其坐标表示 【温故知新】 平面向量基本定理: 如果e,1 e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 一对实数?,1 ?,2 使a=?1e1+?2 e2。 (e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。) 平面向量的正交分解及坐标表示 y a a ? xi ? y j j i ? (1, 0), j ? (0,1), 0 ? (0, 0). o i x 问题: 我们知道,平面内的任意一个向量 p 都可以用两个不 共线的向量a, b 来表示(平面向量基本定理)。对于空 间任意一个向量,有没有类似的结论呢? OP ? OQ ? zk. OQ ? xi ? y j. z OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk. 由此可知,如果 i, j, k 是空间 两两垂直的向量,那么,对空间任一 向量 p ,存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk. pP k iO j y 我们称 xi, y j, zk 为向量 p 在 Q i, j, k 上的分向量。 x 探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量 a, b, c 代替两两垂直的向量 i, j, k,你能得出类似的结 论吗? 一、空间向量基本定理: 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一 向量 p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z},使 p ? xa ? yb ? zc. 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 a, b, c都叫做基向量 ? ? 特别提示:对于基底 a,b,c ,除了应知道 a,b,c 不共面, 还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 (2)由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任意 两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它 们都不是 0 。 (3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底 中的某一个向量,二者是相关联的不同概念。 练习 1、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底. 求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底. 结论:若e1 , e2 , e3是空间内一组基底,?, 1 ?2,?3 ? R,若 ?1 e1 +?2 e2 +?3 e3 =0,恒有?1 =?2 =?3 =0. 练2 设x ? a ? b, y ? b ? c, z ? c ? a, 且 a, b,c 是 空间的一个基底,给出下列向量组 ①a,b, x ②x, y, z ③ b, c, z ④x, y,a ? b ? c , ②其中可以作为空间的基底的向量组有( C ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 分析:能否作为空间的基底,即是判 D1 断给出的向量组中的三个向量是否 共面,由于 a, b, c 是不共面的向量, A1 所以可以构造一个平行六面体直观 D 判断 A 设 a ? AB,b ? AA1,c ? AD,易判断出答案 C1 B1 C B 二、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的三个基向量互 相垂直,且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底,常 用 e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交 基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别以e1,e2,e3的正方向 建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这 样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz z 点O叫做原点,向量e1,e2,e3 e3 都叫做坐标向量.通过每两个坐 标轴的平面叫做坐标平面。 e1 O e2 y x 二、空间向量的直角坐标系 给定一个空间坐标系和向 量 p ,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 z 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 e3 p 直角坐标系O--xyz中的坐标, e1 O e2 y 记作.P=(x,y,z) x 例1 平行六面体中,若MC=2AM,A1N=2ND, 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN. A1 D1 B1 A M B N C1 分析:要用a,b,c 表示 MN,只要结合图形,充 D 分运用空间向量加法 C 和数乘的运算律即可. 例1 平行六面体中,若MC=2AM,A1N=2ND, 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN. A1 D1 解: 连AN, 则 MN=MA+AN B1 N C1 MA=- 1 3 AC =-1 3 (a+b) A D AN=AD+DN M B C = 1 3 (2b+c ) ∴MN= MA+AN = 1 (-a + b + c ) 3 练习 结论:若G为?ABC的重心,O为空间中任意一点, ? ? 则OG=1 3 OA+OB+OC , 且有 AG ? BG ? CG ? 0 小结与作业: 习题3.1A组第11题

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