东北三省(黑吉辽)2013届高三第一次大联考 数学文

东北三省 2013 届高三第一次大联考

数学(文)试题
考生注意: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 2.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上。 3.本试卷主要考试内容:集合、函数(导数) 、三角、向量、数列、解三角形。

第I卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知全集 U ? R , 集 合 A ? { x | y ? A. [1, ? ? ) B. (1, ? ? )
1 ? x } , 集 合 B ? { x | 0 ? x ? 2} , 则 ( C U A ) ? B 等于

C. [0, ? ? )

D. (0, ? ? )

2.已知等差数列 { a n }中 , 公 差 d ? 2, a 4 ? 3, 则 a 2 ? a 8 等于 A.7 B.9 C.12 D.10

3.已知向量 i ? (1, 0 ), j ? (0,1), 则 与 2 i ? j 垂直的向量是 A. i ? 2 j 4.设 a ? ( )
4 3
0 .5

B. 2 i ? j
4 0 .4 , b ? ( ) , c ? lo g 3 (lo g 3 4 ) ,则 3 4

C. 2 i ? j

D. i ? 2 j

A. c ? b ? a 5.已知 ? ? ( A.
1 7

B. a ? b ? c
3 5 , 则 ta n (? ?

C. c ? a ? b
?
4 )

D. a ? c ? b

?
2

, ? ), s in ? ?

B.7

C.—

1 7

D.—7

6.设非零向量 a、b、c 满足 | a | ? | b | ? | c |, a ? b ? c , 则 co s( a , b ) 等于
1 2

A.1

B. ?

C.

2 2

D.

3 2

7.把函数 y ? s in ( x ?

?
6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

1 2

倍(纵坐标不变) ,再将图象向右平移

?
3

个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为
?
4

A. x ?

B. x ? ?

?
4

C. x ?

?
8

D. x ? ?

?
2

8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120° c ? A. a ? b C. a ? b 9.函数 f ( x ) ? ? A.0
? ln x ? x ? 2 x ( x ? 0 ),
2

2a 则

B. a ? b D. a 与 b 的大小关系不能确定

? 2 x ? 1( x ? 0 ),

的零点个数为 C.2 D.3

B.1

10.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,且满足: f ( x ) 是偶函数, f ( x ? 1) 是奇函数,若 f (0 .5 ) ? 3 ,则
f (2012) ? f(2014) ? ( 2.5) f ?

等于 C.—3
*

A.—9

B.9

D.3

11.设等比数列 { a n }的 前 n 项 积 为 T n ( n ? N ),已 知 a m ? 1 a m ? 1 ? 2 a m ? 0, 且 T 2 m ? 1 ? 1 2 8, 则 m 等于 A.3 B.4 C.5 D.6

12.已知函数 f ( x ) ? | sin x | 的 图 象 与 直 线 y ? kx ( k ? 0 ) 有且仅有三个公共点,这三个公共点横坐 标的最大值为 ? ,则 ? 等于 A. ? cos ? B.—sin ?

C.—tan ?

D.tan ?

第 II 卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷中的横线上) 13.已知角 ? 的终边经过点 P ( x , ? 6 ), 且 ta n ? ? ? 14.已知数列 { a n } 满 足 a 1 ? 5, a n a n ? 1 ? 2 , 则
n

3 5

,则 x 的值为



a7 a3

?



15 . 已 知 向 量 a ? ( 2 co s x , sin x ), b ? ( 2 sin x , co s x )( x ? R ), 且 f ( x ) ? | a | ? | b |, 则 f ( x ) 的 最 大
2 2




x ?x

16.对于给定的函数 f ( x ) ? 2 ? 2

,有下列四个结论: ② f ( x ) 在 R 上不是增函数; ④ f (| x |) 的最小值为 0。

① f ( x ) 的图象关于原点对称; ③ f (| x |) 的图象关于 y 轴对称; 其中正确的结论是

(填写正确结论的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知 s in ? ?
2 5 5 sin ( , 求 ta n ( a ? ? ) ? cos( 5? 2 5? 2 ??) . ??)

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 是一个等差数列,且 a 2 ? 1, a 5 ? ? 5 . (1)求 { a n }的 通 项 a n 和 前 n 项 和 S n ; (2)设 c n ?
5 ? an 2 , b n ? 2 , 证 明 数 列 { b n } 是等比数列。
c

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? s in ( x ?
7? 4 ) ? cos( x ? 3? 4 ), x ? R .

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值; (2)已知 c o s ( ? ? ? ) ?
4 5 , cos( ? ? ? ) ? ? 4 5 ,0 ? ? ? ? ?

?
2

, 求 f ( ? ) 的值。

20. (本小题满分 12 分) 已知锐角△ABC 中的三个内角分别为 A,B,C。 (1)设 B C ? C A ? C A ? A B ,求证:△ABC 是等腰三角形; (2)设向量 s ? ( 2 s in C , ? 3 ), t ? (c o s 2 C , 2 c o s 的值。
2

???? ??? ?

??? ??? ? ?

C 2

? 1), 且 s / / t , 若 s in A ?

1 3

, 求 s in (

?
3

? B)

21. (本小题满分 12 分) 某工厂有 214 名工人,现要生产 1500 件产品,每件产品由 3 个 A 型零件与 1 个 B 型零件配 套组成,每个工人加工 5 个 A 型零件与 3 个 B 型零件所需时间相同,现将全部工人分为两组, 分别加工一种零件,同时开始加工,设加工 A 型零件的工人有 x 人,在单位时间内每人加工 A 型零件 5 k ( k ? N ) 个,加工完 A 型零件所需时间为 g ( x ) ,加工完 B 型零件所需时间为 h ( x ).
*

(1)试比较 g ( x ) 与 h ( x ) 大小,并写出完成总任务的时间 f ( x ) 的表达式; (2)怎样分组才能使完成任务所需时间最少?

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
ax ? 1 e
x

.

(1)当 a ? 1时 , 求 f ( x ) 的单调区间; (2)若对任意 t ? [ , 2 ], f ( t ) ? t 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2 1


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