河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.4基本不等式学案 新人教A版必修5

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.4 基本不等式学案 新人教 A 版必修 5
【学习目标】1. 理解并掌握基本不等式及其推导过程,明确基本不等式成立的条件. 2. 能利用基本不等式求最值. 【重点难点】

a?b 的应用 2 a?b 难点:利用基本不等式 ab ? 求最大值、最小值。 2
重点:基本不等式 ab ? 【 学习内容】 1、我们都知道: (a ? b) 2 0,当且仅当
2 2

时,取“=”号。

因此, a 2 ? b 2 — 2ab ? 0, ? a ? b ? 2ab 。于是,我们得到了第一个基本不等式: 对于任意实数 a,b,我们有 a 2 ? b 2 ? 2ab, 当且仅当 a=b 时,等号成立. 练习:函数 y= x ?
2

9 (x ? 0) 的最小值为 x2

,此时 x 的值为



2、 如果 a>0,b>0,我们用 a、 b 分别代替上述不等式中的 a、 b, 可得 a+b ? 2 ab (a>0,b>0). 即 ab ?

a?b (a>0,b>0). 2

当 a,b 均为正数时,把 ab 叫作 a,b 的几何平均数,把

a?b 叫作正数 a,b 的算术平 2

均数.所以,两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平均数。于是,我们得到了第 二个基本不等式:

a?b (a>0,b>0)当且仅当 a=b 时,等号成立。 2 9 练习:1、已知 a>0, 求 a ? 的最小值 及此时 a 的值 a ab ?
2、求函数 y=x(4-x) (0<x<4)的最大值及此时 x 的值为。

注意: 在应用均值不等式求最值时, 要把握定理成立的三个条件, 就是“一正,各项均为正; 二定,积或和为定值;三相等,等号能否取得“若忽略了某个 条件,就可能会出错” 。 例 1、下列函数中,最小值是 2 的是( ) A.y=x+

1 x

B.y=sinx+

1 ? ,x ? (0, ) sin x 2

C.y=

x2 ? 2 x2 ?1

D. y=

x2 ? 3 x2 ? 2

例 2、已知函数 f ( x) ? x ?

2 ( x ? 0) ,求函数 f(x)的最小值和此时 x 的取值. x

1

变式 2: (1) g ( x) ? x ?

2 ( x ? 0) 的最值。 x 2 ( 2)求 h( x ) ? x ? 的值域 x

例 3 求 f ( x) ? x ?

2 ( x ? 1) 的最小值 x ?1

x2 ? 2x ? 2 ( x ? ?1) 的最小值。 变式 3: 求 f ( x) ? x ?1

例 4、已知 x, y ? R? , 且x ? 4 y ? 1, 求xy 的最大值。

变式 4:已知 x, y ? R ,

?

8 1 ? ? 1 ,求 x +2y 的最小值。 x y

例 5、已知 x,y ? R ,x+ 2y=1.求

?

1 1 ? 的最小值。 x y

变式 5.已知 0<x<1,求 y=

1 1 ? 的最值 。 x 1? x

例 6、 (1)用篱笆围一个面积为 100 m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所 用篱笆最短,最短的篱笆是多少? (2)一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面 积最大,最大面积是多少?

2

2

变式 6、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为 4800 m ,深为 3m,如果池底每 平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,怎样设计水 池能使总造价最低? 最低总造价是多少?

3

【课堂小结与反思】 【课后作业 与练习】 1.下列结论正确的是 ①若 x>0,y>0,则 lgx+lgy ? 2 lgx ? lg y

②若 x>0,则

1 1 +cosx ? 2 ? cosx ? 2 cos x cosx 4 4 ? ?2 x ? =— 4 x x

③若 x<0.则 x+

④若 x<0,则 2 x ? 2 ? x ? 2 2 x ? 2 ? x =2

1 ≥2 x 1 ⑥当 0<x≤2, x ? 无最大值 x
⑤当 x≥2, x ? 2. 已知 m, n ? R, m ? n ? 100 , 则 mn 的最大值为 (
2 2

)

A. 100 B. 50 C. 20 D.10 3. 已知正数 a,b 满足 ab= 4,那么 2a+3b 的最小值为 (

)

A. 10 B. 12 C. 4 3 D. 4 6 4. 某工厂第一年的产量为 A,第二年产量的增长率为 a,第三年的增长率为 b,这两年 的平均增长量为 x,则 ( ) A. x ?

a?b 2

B. x ?

a?b 2
3

C. x ?

a?b 2

D. x ?

a?b . 2
2

5.建造一个容量为 18 m , 深为 2m 的长方形无盖水池, 如果池底与池壁每 m 的造价分别为 200 元和 150 元,那么池的最低造价为_________

9 的最小 值为 x 9 7.若 x<0,则 f ( x ) ? 4 x ? 的最大值为 x 9 8 . f ( x) ? 4 x ? (x>5) 的 最 小 值 为 x?5 1 y= x ? 的最小值,并求相应 x 的值 。 x ?1
6.若 x>0,则 f ( x ) ? 4 x ?

。 。 。 9. 已 知 x ? ?1 , 求

3

10. 若 x>0,y>0,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值 x y

11. 已知 a>3, 求

4 ? a 的最小值 . a?3

12.已知 2a ? 3b ? 6 (a>0,b>0) , 求

2 3 ? 的最小值 . a b

13.已知 a>b>0,求 a ?
2

16 的最小值。 b( a ? b)

14.设 x,y ? R ,且 xy ? ( x ? y) = 1,则( A. x ? y ? 2( 2 ? 1) C. x ? y ? ( 2 ? 1) 2 B. xy ?

?



2 ?1

D. xy ? 2( 2 ? 1)

4

15. 如果实数 x,y 满足 x 2 ? y 2 ? 1,则( 1-xy) (1+xy)有(



1 和最大值 1 2 3 C.最小值 而无最大值 4
A.最小值

B.最大值 1 和最小值

3 4

D.最大值 1 而无最小值

5


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