江苏省徐州市丰县民族中学2015-2016学年高二数学下学期第三次学情调查试题文(新)

江苏省徐州市丰县民族中学 2015-2016 学年高二数学下学期第三次学情调 查试题 文
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空 在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A={1,3,9},B={1,5,9},则 A ? B= 2.已知复数 z 满足 (1 ? i ) z ? ?1 ? 5i ,则 z ? 3.写出命题“ ?x ? ?1,?? ?, . . . .

1 ? 1 ”的否定: x

4 .函数 y ? ln(x 2 ? 2) 的定义域为

5.已知角 a 的终边经过点 P (x, - 6) ,且 t an a = 6. “ 1 ? x ? 2 ”是“ x ? 2 ”成立的 不充分又不必要” )条件.

3 ,则 x 的值为 5

(填“充 分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”或“既

7. 我们知道, 以正三角形的三边中点为 顶点的三角形与原三角形的面积之比是 1:4, 类比该命题得, 以正四面体的四个面的中 心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 . 8 .在 R 上定义运算⊙: a ⊙ b ? ab ? 2a ? b ,则关于实数 x 的不等式: x ⊙ ( x ? 2) ? 0 的解集 .. 为 . 9.曲线 y ? 3 ln x ? x 在点(1,1)处的切线方程为



10 . 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 (??,0) 上 单 调 递 减 , 则 不 等 式

f ( x 2 ? 3x) ? f (4) 的解集为



?a ? , x ?1 11.若 f ( x) ? ? x 是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围为 . ? ?? x ? 3a, x ? 1
12.已知[x] 表示不超过实数 x 的最大整数,如[1.2]=1,[﹣1.5]=﹣2.若 x0 是函数 f(x)=lnx﹣ 的零点,则[x0]= 13 .已知 x,y ? R ,满足 是 .
?



4 1 ? ? 1 ,不等式 ? x ? y ? a ? 2a2 ? 3 ≥ 0 恒成立,则实数 a 的取值范围 x y

2 x ? ?(2 x ? x )e , x ? 0 14. 已知函数 f ( x) ? ? ,g ( x) ? f ( x) ? 3k , 若函数 g ( x) 恰有两个不同的零点, 2 ? ?? x ? 4 x ? 3, x ? 0 则实数 k 的取值范围为 .

1

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请 在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证 ....... 明过程或演算步骤. 15.(本小题 14 分)已知复数 z1 满足: | z1 |? 1 ? 3i ? z1 . 复数 z2 满足: z2 ? (1 ? i) ? (3 ? 2i) ? 4 ? i . (1) (2) 求复数 z1 , z2 ; 在复平面内,O 为坐标原点,记复数 z1 , z2 对应的点分别为 A , B. 求△OAB 的面积.

16.已知在△ABC 中, sin( A ? B) ? 2sin( A ? B) . (1)若 B ?

π ,求 A ; 6

(2)若 tan A ? 2 ,求 tan B 的值.

2

17. (本小题满分 14 分) 设命题 p : 函数 f ( x) ? lg( ax 2 ? x ?
x x

1 a ) 定义域为 R ; 16

命题 q : 不等式 3 ? 9 ? a 对任意 x ? R 恒成立. (1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果命题“ p 或 q ”为真命题且“ p 且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村 , 该村投资了 800 万元修复和加强民俗文化基础 设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按 30 天计算)每天的旅游人数 f(x)与第 x 天近似地满足 (千人) ,且参观民俗文化村的游客人均消费 g(x)近似

地满足 g(x)=143﹣|x﹣22|(元) . * (1)求该村的第 x 天的旅游收入 p(x) (单位千元,1≤x≤30,x∈N )的函数关系; (2)若以最低日收入的 20%作为每一天的计量依据,并以纯收入的 5%的税率收回投资成本,试问该 村在两年内能否收回全部投资成本?

3

19.本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? x ( (1)判定并证明函数的奇偶性; (2)试证明 f ? x ? ? 0 在定义域内恒成立;

1 1 ? ) 2 ?1 2
x

(3)当 x ??1,3? 时, 2 f ( x ) ? ( ) ? x ? 0 恒成立,求 m 的取值范围.
m

1 2

20. (本小题满分 16 分)

() m ? x 已知 f ( x) ? ln x ? x ? 1 ( x ? R ) , gx
(1)求函数 y ? f ( x) 的单调区间;

?

1 ? ( m ? 0 ).

(2)设 x ? 0 ,讨论函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1 ( m ? 0 )公共点的个数; (3)若数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 1 , 在 m ? 2 时, an?1 ? f (an ) ? g (an ) ? 2 ( n ? N ) ,求证: an ? 2n ? 1 .
?

4

高二数学(文科)试卷(参考答案) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空 在答题卡相应位置上 . ........ 1.

?1,9?

2. 2 ? 3i

3. ?x ? ?1,?? ?,

1 ? 1 4. (- ?, - 2) ? ( 2, ? ?) x

5.10

6. “充分不必要 7.1:27 1 11. [ ,+∞) 2

8. x ? 2 ? x ? 1 12.2

?

?

9. y ? 4 x ? 3

10. ?? 1,4?

4 1? ? 4 y ? x ? ≤5 ? 2 4 y ?x ? 1 , 13.解:? x,y ? R ? ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? 5?? ? x y y? x y ? ? ? x

?4y x ? x ? y , ? x ? 2, ? 当且仅当 ? 即? 解得 x ? y≤1 .令 t ? x ? y ,则 t≤ 1, ? 4 ? 1 ? 1. ? y ? 1. ?x y ?
1] 时恒成立. 不等式 t ? a ? 2a 2 ? 3 ≥ 0 在 t ? (??,

当 a ≥ 0 时,显然不成立;当 a ? 0 时, ta ? 2a 2 ? 3 ≥ 0 恒成立,即 t ? a ? 2a2 ? 3
3? 3 ? 所以 a ? 2a 2 ? 3 ≥ 0 ,解得 a≤ ? ,则实数 a 的取值范围是 ? ??,- ? . 2? 2 ?

?

?

min

≥0 ,

14. 已知函数 f ( x) ? ?

2 x ? ?(2 x ? x )e , x ? 0 ,g ( x) ? f ( x) ? 3k , 若函数 g ( x) 恰有两个不同的零点, 2 ? ? x ? 4 x ? 3 , x ? 0 ?

则实数 k 的取值范围为



. (1, ) ? ?0,?

7 3

? ?

2 2 ? 2? ? 3e 2 ?

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请 在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证 ....... 明过程或演算步骤. 15、解: (1)由 | z1 |? 1 ? 3i ? z1 得 z1 ? 1? | z1 | ?3i ,所以可设 z1 ? x ? 3i ??????2 分 ∴ x ? 9 ? (1 ? x) , 解得 x ? ?4, ∴ z1 ? ?4 ? 3i
2 2

??????4 分

1 ? 3i (1 ? 3i ) ? (1 ? i) ? ? ?1 ? 2i ??????7 分 1? i 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)由(1)知, OA ? (?4,3), OB ? (?1,2), 又 | OA |? 5, | OB |? 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由 OA ? OB ?| OA | ? | OB | ? cos ?AOB 得, 10 ? 5 5 cos ?AOB ??????11 分
而 z2 ? (1 ? i) ? 1 ? 3i ,∴ z2 ? ∴ cos ?AOB ?

2 1 , ∴ sin ?AOB ? 5 5

5

∴△OAB 的面积 S ?

1 1 5 ?5? 5 ? ? 2 5 2

??????14 分

π π 16.解:(1)由条件,得 sin( A ? ) ? 2sin( A ? ) . 6 6
? 3 1 3 1 sin A ? cos A ? 2( sin A ? cos A) . ????????????????3 分 2 2 2 2

化简,得

sin A ? 3 cos A .

? tan A ? 3 .?????????????????????????????6 分

又 A ? (0, π) , ? A ?

π . ????????????????????????7 分 3

(2)? sin( A ? B) ? 2sin( A ? B) ,
? sin A cos B ? cos A sin B ? 2(sin A cos B ? cos A sin B) .

化简,得 又

3cos A sin B ? sin A cos B .???????????????????11 分 cos A cos B ? 0 ,

? tan A ? 3tan B .又 tan A ? 2,

2 ? tan B ? .?????????????????????????????14 分 3
17. (本小题满分 14 分) 设命题 p : 函数 f ( x) ? lg( ax 2 ? x ?
x x

1 a ) 定义域为 R ; 16

命题 q : 不等式 3 ? 9 ? a 对任意 x ? R 恒成立. (1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果命题“ p 或 q ”为真命题且“ p 且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围. 解: (1)由题意 ax ? x ?
2

1 a ? 0 对任意 x ? R 恒成立, 16

当 a ? 0 时,不符题意,舍去;

?a ? 0 ? 当 a ? 0 时,则 ? (6 分) ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围是 a ? 2 . 1 ? ? 1 ? 4a ? a ? 0 ? 16 ?
x (2)设 t ? 3 (t ? 0) , g (t ) ? ?t ? t ? ?(t ? ) ?
2 2

1 2

1 1 , g (t ) max ? , 4 4

当 q 为真命题时,有 a ?

1 , (9 分) 4

∵命题“ p 或 q ”为真命题且“ p 且 q ”为假命题, ∴ p 与 q 一个为真,一个为假,

6

?a ? 2 ? 当 p 真 q 假,则 ? (12 分) 1 ,无解, a? ? 4 ? ?a ? 2 1 ? 当 p 假 q 真,则 ? (13 分) 1 ? ? a ? 2. 4 a ? ? 4 ?
综上,实数 a 的取值范围是

1 ?a?2. (14 分) 4

19.解: (1)依题意有 p(x)=f(x) ?g(x) =(8+ ) (143﹣|x﹣22|) (1≤x≤30,x∈N )
*

=



??6 分

(2)①当 1≤x≤22,x∈N 时, p(x)=8x+ +976≥2 +976=1152(当且仅当 x=11 时,等号成立) ????10 分

*

∴p(x)min=p(11)=1152(千元) ,

②当 22<x≤30,x∈N 时, p(x)=﹣8x+ 考察函数 y=﹣8x+ +1312, ,可知函数 y=﹣8x+ 在(22,30]上单调递减, ?? ??14 分

*

∴p(x)min=p(30)=1116(千元) ,

又 1152>1116, ∴日最低收入为 1116 千元. 该村两年可收回的投资资金为 1116×20%×5%×30×12×2=8035.2(千元)=803.52(万元) . ∵803.52(万元)>800(万元) , ∴该村在两年内能收回全部投资成本. 19.19. 解: (1) f ? x ? ? x ( ????16 分

1 1 ? ) 为偶函数,证明如下: 2 ?1 2 1 1 f ? x? ? x ( x ? ) 定义域为 ?x | x ? 0? 关于原点对称, 2 ?1 2
x

??2 分

7

对于任意 x ? x | x ? 0? 有

?

f ??x? ? ?x (

1 1 2x 1 2x ?1 ? 1 1 ? ) ? x ( ? ) ? x ( ? ) 2? x ? 1 2 2x ?1 2 2x ?1 2
x

1 1 1 1 ? ) ? x( x ? ) ? f ( x) 成立 2 ?1 2 2 ?1 2 1 1 ? ) 为偶函数 所以 f ? x ? ? x ( x 2 ?1 2 1 1 ? ) 定义域为: ?x | x ? 0? , (2)因为 f ? x ? ? x ( x 2 ?1 2 ? x (1 ?
当 x ? 0 时, 2x ? 20 ? 1,? 2x ?1 ? 0

??5 分

?

1 1 1 1 ? ? 0 , x ? 0 ,? f ( x) ? x( x ? ) ? 0 恒成立, 2 ?1 2 2 ?1 2
x

??7 分 ??9 分 ??10 分

当 x ? 0 时,所以 ? x ? 0 ,由(1)可知: f ( x) ? f (? x) ? 0 综上所述, f ? x ? ? 0 在定义域内恒成立 (3) 2 f ( x ) ? ( ) ? x ? 0 恒成立对 x ??1,3? 恒成立,
m

1 2

∴ 2 x(

1 m 1 1 1 1 1 ? ) , ? ) ? ( ) m? x ? 0 ,∴ ( ) ? 2( x 2 2 ?1 2 2 ?1 2 2
x

1 1 ? ) 2 ?1 2 1 1 ? ) 在[1,3]上为减函数, 证明 g ? x ? ? 2 ( x 2 ?1 2
令 g ? x? ? 2 (
x

∴ g ? x? ? 2 (

1 1 ? ) ? g ?1? ? 3 对 x ??1,3? 恒成立 2 ?1 2
x

∴( ) ? 3
m

1 2

所以 m 的取值范围是 m ? log 1 3
2

????16 分

20. (本小题满分 16 分)

() m ? x 已知 f ( x) ? ln x ? x ? 1 ( x ? R ) , gx
(1)求函数 y ? f ( x) 的单调区间;

?

1 ? ( m ? 0 ).

(2)设 x ? 0 ,讨论函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1 ( m ? 0 )公共点的个数; (3)若数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 1 ,

8

在 m ? 2 时, an?1 ? f (an ) ? g (an ) ? 2 ( n ? N ) ,求证: an ? 2n ? 1 . 解: (1)求导 f ?( x ) ?

?

1 1? x ?1 ? ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 . x x

当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 . 所以函数 y ? f ( x) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数.(4 分) (2)当 x ? 0 时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1 ( m ? 0 )公共点的个数等价于曲线

ln x ? 2 ? 1 与直线 y ? m ( m ? 0 )公共点的个数. x ln x ? 2 1 ? ln x 1 ? 1 ,则 h?( x ) ? ? 令 h( x ) ? ,所以 h?( ) ? 0 . 2 x x e 1 1 当 x ? (0, ) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ) 上是增函数; e e 1 1 当 x ? ( , ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 ( , ??) 上是减函 数. e e 1 所以, h( x) 在 (0, ??) 上的最大值为 h( ) ? e ? 1 ? 0 , e 1 4 2 且 h ( 2 ) ? ?1 ? 0 , h ( e ) ? 2 ? 1 ? 0 . e e y?

y
e ?1

x
O
如图:于是 ① 当 0 ? m ? e ? 1时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1 ( m ? 0 )有 2 个公共点; ② 当 m ? e ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1 ( m ? 0 )有 1 个公共点;

1 e

? 1( m ? 0 ) 有 0 个 公 共 点 . ③ 当 m ? e ? 1 时 , 函 数 y ? f ( x ) 的 图 象 与 直 线 g ( x) ? m x
(10 分) (3 )由题意,正项数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an?1 ? ln an ? an ? 2 由(Ⅰ)知: f ( x) ? ln x ? x ? 1 ? f (1) ? 0 ,即有不等式 ln x ? x ? 1 ( x ? 0 ) 由已知条件知 an ? 0 , an?1 ? ln an ? an ? 2 ? an ?1 ? an ? 2 ? 2an ? 1,
9

故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,所以当 n ? 2 时, 0 ?

a ?1 a ?1 a2 ? 1 ? 2,0 ? 3 ? 2 , ? , 0 ? n?1 ?2, a1 ? 1 a2 ? 1 an?2 ? 1

0?

an ? 1 a ?1 ? 2 ,以上格式相乘得: 0 ? n ? 2n ?1 ,又 a1 ? 1 ,故 an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ?1 , an ?1 ? 1 a1 ? 1
?

对 n ? 1 也成立.所以有 an ? 2n ? 1 ( n ? N ) ( ? ). (16 分)

10


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