2018届高三数学第一次模拟考试试题理(1)word版本

宁夏银川市 2018 届高三数学第一次模拟考试试题 理

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~23 题为选 考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、 超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的. 1.已知复数 z=31+0i -2i (其中 i 为虚数单位),则|z|=

A.3 3

B.3 2

C.2 3

D.2 2

2.设集合 A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=3x},则 A∩B 的子集的个数是

A.4

B.3

C.2

D.1

3.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织

几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布

5 尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,可求得该女子第 3 天所织布

的尺数为

20

3

8

2

A.31

B.5

C.15

D.3

4.已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面 直观图△A′B′C′的面积为 A. 43a2B. 83a2 C. 86a2D. 166a2
5.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间[14,12]内, 则输入的实数 x 的取值范围是

A.(-∞,-2]

B.[-2,-1]

C.[-1,2]

D.[2,+∞)

6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的

是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为

A.96

B.80+4 2π

C.96+4( 2-1)π

D.96+4(2 2-1)π

7.上海某小学组织 6 个年级的学生外出参观包括甲

博物馆在内的 6 个博物馆,每个年级任选一个博

物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的

方案有

A. A62 ? A54 种

B. A62 ? 54 种

C.

C

2 6

?

A54



D.

C

2 6

?

54



8.根据需要安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班,每人 4 天.

甲说:我在 1 日和 3 日都有值班;

乙说:我在 8 日和 9 日都有值班;

丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是

A.2 日和 5 日 B.5 日和 6 日 C.6 日和 11 日 D.2 日和 11 日

?? x-y+2≥0, 9.设 x,y 满足条件?3x-y-6≤0,
??x≥0,y≥0,

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 12,

则3a+2b的最小值为

A.265

B.83

C.131

D.4

10.设 F1,F2 是双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P,

使(→OP+O→F2)·F→2P=0(O 为坐标原点),且|PF1|= 3|PF2|,则双曲线的离心率为

2+1 A. 2 B. 2+1

3+1 C. 2

D. 3+1

11.在△ABC

→AB·B→C →BC·C→A →CA·A→B 中, 3 = 2 = 1 ,则

sinA:sinB:sinC=

A.5 : 3 : 4

B.5 :4 :3 C. 5 : 3 :2 D. 5 :2 : 3

12.若函数 f(x)=x3-3x 在(a,6-a2)上有最小值,则实数 a 的取值范围是

A.(- 5,1)

B.[- 5,1) C.[-2,1)

D.(- 5,-2]

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做

答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.若 a=log43,则 2a+2-a =.

14.函数 f(x)=2sin2(π4 +x)- 3cos2x (π4 ≤x≤π2 )的值域为.

15.已知圆 x2+y2=4, B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上动点,若 ? PBQ=900,则线段 PQ 中点

的轨迹方程为.

16.设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段 PF 上的

点,且|PM|=2|MF|,则直线 OM 的斜率的最大值为.

三.解答

17.(本小题满分 12 分)

设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 an>0,a2n+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式: (2)设 bn=ana1n+1,求数列{bn}的前 n 项和.

18.(本小题满分 12 分)

人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的

指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近 10 表示满意度越高.为了解某地区居民

的幸福感情况,随机对该地区的男、女居民各 500 人进行了调查,调查数据如表所示:

幸福感指数 男居民人数 女居民人数

[0,2) 10 10

[2,4) 20 10

[4,6) 220 180

[6,8) 125 175

[8,10] 125 125

(1)在图中绘出频率分布直方图 (说明:将各个小矩形纵坐标标注 在相应小矩形边的最上面),并估算 该地区居民幸福感指数的平均值;
(2)若居民幸福感指数不小于 6, 则认为其幸福.为了进一步了解居 民的幸福满意度,调查组又在该地 区随机抽取 4 对夫妻进行调查,用 X 表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人 都感到幸福)的对数,求 X 的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率). 19.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,AD∥BC, ∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=PA=2,E,F 分别为 PB, AD 的中点.
(1)证明:AC⊥EF; (2)求直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值. 20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0)的离心率 e

?

3 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 2

积为 4.

(1)求椭圆的方程.

(2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为( ?a, 0 ),点 Q(0, y0 ) 在

线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 ,求 y0 的值.
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lnx-ax2+(a-2)x. (1)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)求函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值.

请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为?????xy= =22s+i2ncαosα , (α 为参数),曲线 C2 的

参数方程为?????xy= =22c+o2sβsi,nβ

(β 为参数),以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线 C1 和曲线 C2 的极坐标方程;

(2)已知射线 l1:θ =α (0<α <π2 ),将射线 l1 顺时针旋转π6 得到射线 l2:θ =α -π6 ,

且射线 l1 与曲线 C1 交于 O,P 两点,射线 l2 与曲线 C2 交于 O,Q 两点,求|OP|·|OQ|的最大值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设不等式 ?2 ?| x ?1 | ? | x ? 2 |? 0 的解集为 M,且 a, b? M

(1)证明: 1 a ? 1 b ? 1 ; 36 4
(2)比较 | 1? 4ab | 与 2 | a ? b | 的大小,并说明理由. 宁夏银川一中 2018 届高三第一次模拟数学(理科)参考答案及评分标准
一.选择

1.B 解:z=31+0i-2i=(31+0(i3)- (3i-)i)-2i=3-i-2i=3-3i,则|z|=3 2,故选 B.

2.A 解:∵集合 A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=3x}∴x2+y2=1 圆和指数函数 y

=3x 图象,如图,可知其有两个不同交点,记为 A1、A2 则 A∩B 的子集应为?,{A1},{A2},{A1, A2}共四种,故选 A.
3.A 解:设这女子每天分别织布 an 尺,则数列{an}是等比数列,公比 q=2.则a1(22-5-11)=

5,解得 a1=351.∴a3=351×22=3210.故选 A.

4.D[解析] 如图①、②所示的平面图形和直观图.

由②可知,A′B′=AB=a,O′C′=12OC= 43a,在图②中作

C′D′⊥A′B′ 于

D′ , 则

C′D′ =

2 2

O′C′



6 8

a.∴S△A′B′C′



1 2

A′B′·C′D′



1 2

×a× 86a= 166a2.

5. B[解析] 该程序的作用是计算分段函数 f(x)=???2x,x∈[-2,2] ??2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)
的函数值.又∵输出的函数值在区间[14,12]内,∴x∈[-2,-1],故选 B. 6. C 解:由三视图可知几何体为边长为 4 的正方体挖去一个圆锥得到的,圆锥的底面半
径为 2,高为 2,∴圆锥的母线长为 2 2.∴几何体的平面部分面积为 6×42﹣π ×22=96﹣4π . 圆锥的侧面积为 π ×2×2 2=4 2π .∴几何体的表面积为 96﹣4π +4 2π .故选 C.
2 7.D[解析] 因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有 C6种情况,
2 其余年级均有 5 种选择,所以共有 54 种情况,根据乘法原理可得 C6×54 种情况,故选 D.
8.C [解析] 1~12 日期之和为 78,三人各自值班的日期之和相等,故每人值班四天的 日期之和是 26,甲在 1 日和 3 日都有值班,故甲余下的两天只能是 10 号和 12 号;而乙在 8 日和 9 日都有值班,8+9=17,所以 11 号只能是丙去值班了.余下还有 2 号、4 号、5 号、6 号、7 号五天,显然,6 号只可能是丙去值班了.

9.D[解析] 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.

当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0

的交点(4,6)时,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值 12,

∴4a+6b=12,即 2a+3b=6.

∴3a+2b=(3a+2b)·2a+6 3b=16(12+9ab+4ba)≥4,当且仅当9ab=4ba,



a=32,b=1

32 时,等号成立.∴a+b的最小值为

4,故选

D.

10.D [解析] ∵(O→P+O→F2)·F→2P=0,∴(O→P+O→F2)·(→OP-O→F2)=0,∴O→P2-O→F22=0,OP

=OF2=c=OF1,∴PF1⊥PF2,Rt△PF1F2 中,∵|PF1|= 3|PF2|,∴∠PF1F2=30°.由双曲线的

2a

定义得 PF1-PF2=2a,∴PF2=

32-a 1,sin30°=12=FP1FF22=

3-1

2c

= c(

a ,∴2a=c( 3-1)

3-

c 1),∴a= 3+1,故选 D.

11. C[解析] 由条件利用两个向量的数量积的定义可得 2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=

6b2+6c2-6a2=k,由此求得 a、b、c 的值,利用正弦定理可得 sinA:sinB:sinC 的值.解:

△ABC





→AB·B→C ∵3



→BC·C→A 2



→CA·A→B 1





A→B·B→C·cos(π 3

-B) =

B→C·C→A·cos(π 2

-C)



→CA·A→B·cos(π 1

-A) ac·cosB ab·cosC bc·cosA ac a2+c2-b2 ab a2+b2-c2 即 3 = 2 = 1 ,即 3 · 2ac = 2 · 2ab =

bcb2+2cb2c-a2,即 2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2,设 2a2+2c2-2b2=3a2+3b2

-3c2=6b2+6c2-6a2=k,求得 a2=5k,b2=3k,c2=4k,∴a= 5k,b= 3k,c= 4k=2 k,

∴由正弦定理可得 a:b:c=sinA:sinB:sinC= 5 3 ,故选 C. 12.C[解析]f′(x)=3x2-3=0,解得 x=±1,且 x=1 为函数的极小值点,x=-1 为函
数的极大值点.因为函数 f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值,所以函数 f(x)的极小值点必在区 间(a,6-a2)内,即实数 a 满足 a<1<6-a2,且 f(a)=a3-3a≥f(1)=-2.由 a<1<6-a2,解得

- 5<a<1.不等式 a3-3a≥f(1)=-2,所以 a3-3a+2≥0,所以 a3-1-3(a-1)≥0,所以(a -1)(a2+a-2)≥0,所以(a-1)2(a+2)≥0,即 a≥-2.故实数 a 的取值范围是[-2,1).故

选 C.

二.填空

13.[解析]

原式=2log43+2-log43=

3+

1 =4 3

3

3.

14.. [解析] 依题意,f(x)=1-cos2(π4 +x)- 3cos2x=sin2x- 3 cos2x+1= 2sin(2x-π3 )+1.当π4 ≤x≤π2 时,π6 ≤2x-π3 ≤23π ,12≤sin(2x-π3 )≤1,此时 f(x)的值是 [2,3]
15.解。设 PQ 的中点为 N(x′,y′).在 Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|,设 O 为坐标原点,连 接 ON,则 ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以 x′2+y′2+(x′-1)2+(y′ -1)2=4.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2+y2-x-y-1=0.
16.[解析] 设 P(2tp2 ,t),易知 F(p2,0),则由|PM|=2|MF|,得 M(p+32tp2 ,t3),当 t=0 时,直线 OM 的斜率 k=0,当 t≠0 时,直线 OM 的斜率 k=p+t2tp2 =pt+12tp,所以|k|=|pt|+1 |2tp|

≤ 2·

1 |pt|·|2tp|=

2

p |t|

2 ,当且仅当|t|= 2p 时取等号,于是直线

OM

的斜率的最大值为

2 2,

三.解答 17.(本小题满分 12 分)

[解析] (1)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{an}的通项公式: (2)求出 bn=ana1n+1,利用裂项法即可求数列{bn}的前 n 项和. 解:(1)由 a2n+2an=4Sn+3,可知 a2n+1+2an+1=4Sn+1+3 两式相减得 a2n+1-a2n+2(an+1-an)=4an+1, 即 2(an+1+an)=a2n+1-a2n=(an+1+an)(an+1-an),∵an>0,∴an+1-an=2, ∵a21+2a1=4a1+3,∴a1=-1(舍)或 a1=3, 则{an}是首项为 3,公差 d=2 的等差数列, ∴{an}的通项公式 an=3+2(n-1)=2n+1: (2)∵an=2n+1,∴bn=ana1n+1=(2n+1)1(2n+3)=12(2n1+1-2n1+3), ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=12(13-15+15-17+…+2n1+1-2n1+3)=12(13-2n1+3)=3(2nn+3).

10 分 2分 4分 6分 8分
12 分

18.(本小题满分 12 分)

[解析] (1)频率分布直方图如图所示.所求的平均值为 0.01×2×1+0.015×2×3+

0.2×2×5



0.15×2×7



0.125×2×9



6.46.

2分

5分 (2)男居民幸福的概率为1255+00125=0.5, 女居民幸福的概率为1755+00125=0.6,故一对夫妻都幸福的概率为 0.5×0.6=0.3. 因此 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 X~B(4,0.3), 于是 P(X=k)=Ck4×0.3k(1-0.3)4-k(k=0,1,2,3,4),X 的分布列为

X

0

1

2

3

4

10 分

P

0.240 1

0.411 6

0.264 6

0.075 6 0.008 1

∴E(X)=np=4×0.3=1.2.

12 分

19.(本小题满分 12 分)

解:(1)易知 AB,AD,AP 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别

为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.

设 AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),C(t,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

E(t2,0,1),F(0,1,0).从而E→F=(-t2,1,-1),A→C=(t,1,0),B→D=(-t,2,0).

因为 AC⊥BD,所以A→C·B→D=-t2+2+0=0.解得 t= 2或 t=- 2(舍去). 3 分

于是E→F=(- 22,1,-1),→AC=( 2,1,0).

因为A→C·E→F=-1+1+0=0,所以→AC⊥→EF,即 AC⊥EF.

5分

(2)由(1)知,P→C=( 2,1,-2),P→D=(0,2,-2).

设 n=(x,y,z)是平面 PCD 的一个法向量,则???2y2-x+2zy=-02z=0

令 z= 2,则 n=(1, 2, 2).

设直线 EF 与平面 PCD 所成角为 θ ,



sinθ

=|cos<n,→EF>|=15.即直线

EF

与平面

PCD

1 所成角的正弦值为5.

20.(本小题满分 12 分)

解:(1)由 e ? c ? 3 ,得 3a2 ? 4c2 ,

1分

a2

再由 c2 ? a2 ? b2 ,得 a ? 2b ,

2分

由题意可知, 1 ? 2a ? 2b ? 4,即ab ? 2 .

3分

2

10 分 12 分

解方程组

?a ? 2b ??ab ? 2

,得

a=2,b=1,所以椭圆的方程为

x2 4

?

y2

?1.

4分

(2)由(1)可知 A(-2,0).设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k,

则直线 l 的方程为 y=k(x+2),

5分

于是

A,B

两点的坐标满足方程组

? ? ? ??

y? x2 4

k ?

(x y2

? 2) ?1

, ,

由方程组消去 y 整理,得 (1? 4k 2 )x2 ?16k 2x ? (16k 2 ? 4) ? 0 ,

6分



?2 x1

?

16k 1?

2 ?4 4k 2

,



x1

?

2 ? 8k 2 1? 4k 2

, 从而y1

?

4k 1? 4k

2

,
.

设线段

AB

的中点为

M,则

M

的坐标为

(?

8k 2 1? 4k

2

,

2k 1? 4k 2

)

.

8分

以下分两种情况:

(1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0).线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

9分
(2)当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为

令 x=0,解得

10 分



?
QA

?
QB

?

?2x1

?

y0 ( y1

?

y0)=

?2(2 ? 8k 2 ) 1? 4k 2

?

6k 1? 4k 2

4k

( 1

?

4k

2

6k ? 1? 4k2

)

=

4(16k 4 ?15k 2 (1? 4k 2 )2

?1)

?

4

.

整理得 7k72k?2

2?,2故,故k ?k

??

?71471,所4 所以以y0y=0?=

2?

21414 55

.

11 分

综上 y0 = ? 2

2或y0

=

?

2

14 5

.

12 分.

21.(本小题满分 12 分)

[解析] (1)因为 f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,所以函数的定义域为(0,+∞).

所以 f′(x) =1x-2ax+(a-2)=1-2ax2+x (a-2)x=-(2x-1x)(ax+1).

因为 f(x)在 x=1 处取得极值,即 f′(1) =-(2-1)(a+1)=0,解得 a=-1.

当 a=-1 时,在(12,1)上 f′(x)<0,在(1,+∞)上 f′(x) >0,

此时 x=1 是函数 f(x)的极小值点,所以 a=-1.

(2)因为 a2<a,所以 0<a<1,f′(x) =-(2x-1)x(ax+1). 因为 x∈(0,+∞),所以 ax+1>0,所以 f(x)在(0,12)上单调递增,在(12,+∞)上单调递减.
①当 0<a≤12时,f(x)在[a2,a]上单调递增,所以 f(x)max=f(a)=lna-a3+a2-2a;

??a>21, ②当???a2<12,

即12<a< 22时,f(x)在(a2,12)上单调递增,在(12,a)上单调递减,

所以 f(x)max=f(12)=-ln2-a4+a-2 2=a4-1-ln2;

③当12≤a2,即 22≤a<1 时,f(x)在[a2,a]上单调递减,所以 f(x)max=f(a2)=2lna-a5 +a3-2a2.
综上所述,当 0<a≤12时,函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是 lna-a3+a2-2a;

当12<a<

2 2 时,函数

y=f(x)在[a2,a]上的最大值是a4-1-ln2;

当 22≤a<1 时,函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是 2lna-a5+a3-2a2.

二选一

22.(1)曲线 C1 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4

1分

所以 C1 的极坐标方程为 ρ =4cosθ 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4,

2分 3分

所以 C2 的极坐标方程为 ρ =4sinθ .

4分

(2)设点 P 的极坐标为(ρ 1,α ),

5分

即 ρ 1=4cosα ,点 Q 的极坐标为(ρ 2,(α -π6 )),即 ρ 2=4sin(α -π6 ),

6



则|OP|·|OQ|=ρ



2=4cosα

·4sin(α

-π6 )=16cosα

·(

3 2 sinα

1 -2cosα

)

=8sin(2α -π6 )-4.∵α ∈(0,π2 ), 8 分

∴2α -π6 ∈(-π6 ,56π ).当 2α -π6 =π2 ,即 α =π3 时,|OP|·|OQ|取最大值 4. 10




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