线面垂直,面面垂直的判定定理

10 月 20 日(线面垂直、面面垂直) 1.已知平面 ? 及 ? 外一直线 l ,给出下列命题正确的有________. (1)若 l 垂直于 ? 内两条直线,则 l ? ? ; (2)若 l 垂直于 ? 内所有直线,则 l ? ? ; (3)若 l 垂直于 ? 内任意一条直线,则 l ? ? ; (4)若 l 垂直于 ? 内两条平行直线,则 l ? ? ;

?、? 是两个不同的平面, 2.设 m、n 是两条不同的直线, 则下列命题正确的是 ( )
A.若 m // n, m // ? ,则 n // ? ; C.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m // ? ; B.若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ; D.若 m ? n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? )

3.对于直线 m、n 和平面 ?、? ,能得出 ? ? ? 的一个条件是( A. m ? n, m // ? , n // ? C. m // n, n ? ? , m ? ?

B. m ? n, ? ? ? ? m, n ? ? D. m // n, m ? ? , n ? ?

M, N 4. 如图, 在正方体 ABCD? A1B1C1D1 中,

分别是棱 AA 1 , AB 上的点,若 ?B1MN 是直角, 则 ?C1MN ? ______.

5. 如图,定点 A, B 都在平面 ? 内,定点 P ?? , PB ? ? , C 是平面 ? 内异于 A, B 的 定点,且 PC ? AC, 则 ?ABC 为( A. 锐角三角形 B. C.钝角三角形 B.直角三角形 D.无法确定 )

1

例:在正方体 ABCD? A1B1C1D1 中. (1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成角的大小为_____________. (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成角的大小为_____________. (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成角的大小为_____________. 例 1.如图,在正方体 ABCD? A1B1C1D1 中, E 为 CC1 的中点, AC 交 BD 于点 O , 求证: A1O ? 平面EBD.

例 2.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? CD, AD // BC, ?ADC ? ?PAB ? 90?,
BC ? CD ? 1 AD. 证明:平面 PAB ? 平面 PBD . 2

2

1.如图, 在三棱锥 S ? ABC 中,SA ? SB ? SC, 且 ?ASB ? ?ASC ? 60?, ?BSC ? 90? . 求证:平面 ABC ? 平面 BSC .

2.如图,在三棱锥 S ? ABC 中, ?SAB ? ?SAC ? ?ACB ? 90? 求证: SC ? BC .

3.如图,在长方体 ABCD? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 1, AA 1 ? 2, M 是棱 CC1 的中点. 证明:平面 ABM ? 平面 A1B1M .

3

4.如图,在长方体 ABCD? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点. 求证:平面 C1BD ? 平面 BDE .

5.如图,已知 AA ABC, BB1 // AA ,AB ? AC ? 3,BC ? 2 5, AA 1 ? 平面 1 1 ? 7,

BB1 ? 2 7 ,点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点.
(1)求证: EF // 平面A1B1BA ; (2)求证:直线 AE ? 平面BCB1 ; (3)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

6.如图, AB 是 ?O 的直径, PA 垂直于 ?O 所在的平面, M 为圆周上任意一点,
AN ? PM , N 为垂足.

(1)求证: AN ? 平面PBM ; (2)若 AQ ? PB ,垂足为 Q ,求证: NQ ? PB.

4

7.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 平面ABCD , AB // DC, DC ? AC. (1)求证: DC ? 平面PAC ; (2)求证: 平面PAB ? 平面PAC ; (3)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F ,使得 PA // 平面CEF ?

8.如图所示,已知 AB ? 平面ACD, DE // AB, ?ACD 是正三角形, AD ? DE ? 2 AB , 且 F 是 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面BCE ; (2)求证: 平面BCE ? 平面CDE .

5

线面平行、线面垂直的性质 1.已知 a , b 表示两条直线, ? , ? , ? 为三个不重合的平面, 则下列叙述正确的是 ( A. ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, a // b ? ? // ? ; B. a , b 相交且都在 ? , ? 外, a // ? , b // ? , a // ? , b // ? ? ? // ? ; C. a // ? , b // ? ? ? // ? ; D. a ? ? , a // ? , ? ? ? ? b ? a // b. 2.如图所示的三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 过 A1B1 的平面 与平面 ABC 交于 DE ,则 DE 与 AB 的位置关系是 ( ) A. 异面 B. C.相交 B.平行 D.以上都有可能 )

3. 如图, 在多面体 A1B1D1DCBA中, 四边形 AA 1 B1 B , ADD 1A 1 , ABCD 均为正方形,
E 为 B1D1 的中点,过 A1 , D, E 的平面交 CD1 于 F .证明: EF // B1C.

4. 如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E 是 PC 的中点,在 DE 上任取一点 F ,过点 F 和 AP 作平面 PAGF 交平面 BDE 于 FG ,求证: AP // GF .

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10 月 21 日(续垂直) 1.在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF//DB. (1)已知 AB=BC,AE=EC.求证:AC ? FB. (2)已知 G、H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证:GH//平面 ABC.

2.如图,PA ? 矩形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点. (1)求证:MN//平面 PAD; (2)若 PD 与平面 ABCD 所成的角为 45 ? ,求证:MN ? 平面 PCD.

SA ? 底面 ABC , 3.已知三棱锥 S ? ABC 中, 底面 ABC 是边长等于 2 的等边三角形, SA ? 3 ,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为_________.

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等体积法求高:如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD? A1B1C1D1 中,求 A 到平面

A1BD 的距离 d .

4. 如图,DA ? 平面 ABC,ED ? 平面 BCD,DE=DA=AB=AC, ?BAC ? 120?, M 为 BC 的中点, 则直线 EM 与平面 BCD 所成角的正弦值为 ( A.
3 3 5 3



B.

2 3

B.

C.

D.

2 2

5.如图,已知 ?BOC 在平面 ? 内,OA 是平面 ? 的斜线,且 ?AOB ? ?AOC ? 60? , OA=OB=OC= a , BC ? 2a ,求 OA 和平面 ? 所成角的大小.

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