2019_2020高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式课件新人教A版选修4_5

3.2 一般形式的柯西不等式

本节目标
1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式. 2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.

预习反馈

1.已知 x+3y+5z=6,则 x2+y2+z2 的最小值为 ( ).

A.6

B. 6

5

35

C.3365

D.6

答案 C

预习反馈

2.已知

x,y,z∈R+,且

x+y+z=1,则1+4+9的最小值为 xyz

( ).

A.24

B.30

C.36

D.48

预习反馈

解析

利用柯西不等式,(x+y+z)

1+4+9 xyz



x·1 + x

y·2 + y

z·3 z

2=36,

∴1+4+9≥36,当且仅当 x2=1y2=1z2,即 x=1,y=1,z

xyz

49

63

=1时等号成立. 2

答案 C

预习反馈
3.设 a、b、c 是正实数,且 a+b+c=9,则2a+2b+2c的最小值

是________.

解析

∵(a+b+c)

2+2+2 abc

2

2

2

=[( a)2+( b)2+( c)2] a 2+ b 2+ c 2





2+ b· a

2+ c· b

2 c 2=18.

∴2+2+2≥2. abc

答案 2

预习反馈

4.设 a,b,c 为正数,则(a+b+c)(4+9+36)的最小值 ab c
为________.

解: 由 a ,b, c 为正数,

??a

?

b

?

c????

4 a

?

9 b

?

36 c

? ??

? ? ? ? ? ? ?

? ??

2
a?

2
b?

c

2

? ??

?? ?? ???

2 a

?2 ? ?

?

? ? ?

3 b

?2 ? ?

?

? ? ?

6 ?2 ?

c

? ?

? ??

2

?

? ?

?

a? 2 ? a

b? 3 ? b

c?

6?

c

? ?

? 121

预习反馈

5.若 a21+a22+…+a2n=1,b21+b22+…+b2n=4,则 a1b1

+a2b2+…+anbn 的取值范围是( )

A.(-∞,2)

B.[-2,2]

C.(-∞,2]

D.[-1,1]

【解析】 ∵(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+ a2b2+…+anbn)2,
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4, ∴|a1b1+a2b2+…+anbn|≤2, 即-2≤a1b1+a2b2+…+anbn≤2,

预习反馈
当且仅当 ai=12bi(i=1,2,…,n)时,右边等号成立; 当且仅当 ai=-12bi(i=1,2,…,n)时,左边等号成立, 故选 B.
【答案】 B

1.三维形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R ,则(a21+a22+a23)(b21+b22+ b23)≥____________.当且仅当 b1=b2=b3=0 或存在一个数 k,使 得______________时,等号成立.

2.一般形式的柯西不等式 定理:设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数, 则(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥__________.当且仅当 bi =0(i=1,2,…,n)或存在一个数 k,使得________(i=1,2,…, n)时,等号成立.
1.(a1b1+a2b2+a3b3)2 a1=kb1,a2=kb2, 答
a3=kb3 案
2.(a1b1+a2b2+…+anbn)2 ai=kbi

1.三维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来 理解和记忆,一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯 西不等式来理解和推广,这样易于记忆不等式的结构特征,对 不等式等号成立的条件加深理解.

2.一般形式的柯西不等式 定理称为柯西不等式的一般形式,它主要用来证明不等式 和解决一些实际应用的最值问题.在使用柯西不等式时需要掌 握一些方法技巧,如:巧拆常数,重新安排某些项的次序,适 当的拼凑项、添项等,以构造出符合柯西不等式的形式及条件, 达到使用柯西不等式证明的目的. 对于许多不等式问题,应用柯西不等式来解往往简单快捷, 要正确理解柯西不等式,只有掌握了它的结构特征,才能灵活 应用.

探究 1.如何理解柯西不等式的结构特征?
【提示】 归纳类比二维形式、三维形式和一般形式的 柯西不等式的结构特征,可知柯西不等式的结构特点为:左 边为平方和的积,右边是积的和的平方.
探究 2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件 记为 ai=kbi(i=1,2,3…,n),可以吗?
【提示】 不可以.若 bi=0 而 ai≠0,则 k 不存在.

【例 1】 已知 a,b,c∈R+,

求证:

a+b+c bca

b+c+a abc

≥9.

【分析】 利用柯西不等式证明其他不等式时,关键是构

造两组数,向着柯西不等式的形式转化.本例中对应三维柯西

不等式,记 a1=

ab,a2=

bc,a3=

ac,b1=

b, a

b2=

bc,b3=

a,而 c

a1b1=a2b2=a3b3=1,因而得证.

【证明】 由柯西不等式知

左边=

a

b

c

b 2+ c 2+ a 2 ×

b

c

a

a 2+ b 2+ c 2



ba·

a+ b

bc·

c+ b

=(1+1+1)2=9.

∴原不等式成立.

ac·

a c2

规律技巧 本例也可用基本不等式证明,但用柯西不等式 证明更简单.

【变式训练 1】 已知 x,y,z∈R+,且 x+y+z=1.

求证:1x+4y+9z≥36.

证明 证法一:(利用基本不等式)

1+4+9=1(x+y+z)+4(x+y+z)+9(x+y+z)

xyzx

y

z

=14+

y+4x xy



z+9x xz



4z+9y yz

≥14+4+6+12=36.

当且仅当 y=2x,z=3x,且 x+y+z=1,

∴x=1,y=1,z=1时等号成立. 632

证法二:(利用柯西不等式)

(x+y+z)

1+4+9 xyz





1+ y· x

4+ z· y

9 z2

=(1+2+3)2=36,

当且仅当 x2=1y2=1z2, 49

即 x=1,y=1,z=1时等号成立. 632

【例 2】 设 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=3,求证: 2a+1 + 2b+1+ 2c+1≤3 3.
【分析】 利用柯西不等式的向量形式,目标式的左边应 是两个向量的数量积.由于变量 a,b,c 的系数都相等,由整 体性可构造向量 m=( 2a+1, 2b+1, 2c+1),n=(1,1,1).利 用|m·n|<|m||n|可得证.

【证明】 令 m=( 2a+1, 2b+1, 2c+1),n=(1,1,1), 则 m·n= 2a+1+ 2b+1+ 2c+1.
而|m|= ?2a+1?+?2b+1?+?2c+1? = 2?a+b+c?+3=3. 又|n|= 3, 由|m·n|≤|m||n|,得 ∴ 2a+1+ 2b+1+ 2c+1≤3 3. 当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立.

规律技巧 利用柯西向量形式证明不等式,根据不等式的 结构特点,构造恰当的向量 m,n,且|m·n|≤|m||n|所表达的正 是待证不等式.

【变式训练 2】 已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,求 4a+1+ 4b+1+ 4c+1的最大值.
解 方法一:由柯西不等式,得 ( 4a+1+ 4b+1+ 4c+1)2=(1× 4a+1+1× 4b+1 +1× 4c+1)2 ≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1) =3[4(a+b+c)+3]=21. 当且仅当 a=b=c=1时,取等号.
3 故 4a+1+ 4b+1+ 4c+1的最大值为 21.

方法二:令 m=( 4a+1, 4b+1, 4c+1). n=(1,1,1), 则|m|= 4a+1+4b+1+4c+1 = 4?a+b+c?+3= 7, |n|= 12+12+12= 3. m·n= 4a+1+ 4b+1+ 4c+1,
由|m·n|≤|m||n|,得 4a+1+ 4b+1+ 4c+1≤ 21.
故 4a+1+ 4b+1+ 4c+1的最大值为 21,当且仅当 a =b=c=13时,取等号.

【例 3】 已知 x1,x2,x3,x4 为实数,且 x1+x2+x3+x4 =6,x21+x22+x23+x24=12.
求证:0≤xi≤3,i=1,2,3,4. 【分析】 由于 x1,x2,x3,x4 的对称性,只需证明一个 x, 其他可以同理得到.充分利用已知的等式,将 x2,x3,x4 用 x1 表示,从而得到只含 x1 的式子,进一步求解.

【证明】 由柯西不等式,得(x2+x3+x4)2≤(1+1+1)·(x22+ x23+x24).
由题设条件,得 x2+x3+x4=6-x1, x22+x23+x24=12-x21. ∴(6-x1)2≤3(12-x21). ∴4x21-12x1≤0. ∴0≤x1≤3. 同理可证 0≤xi≤3.i=2,3,4.

【变式训练 3】 设实数 a,b,c,d,e 满足 a+b+c+d +e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求 e 的最大值.

解 将条件改写为 8-e=a+b+c+d, 16-e2=a2+b2+c2+d2, 由柯西不等式,得 (a+b+c+d)2≤(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2), 将条件代入上式,得 (8-e)2≤4(16-e2).

即 64-16e+e2≤64-4e2.

即 5e2-16e≤0,∴0≤e≤16. 5

当且仅当 a=b=c=d=6时,e 取最大值16.

5

5

【例 4】 已知 a1,a2,…,an 都是正实数,且 a1+a2+… +an=1,求证:a1+a21a2+a2+a22a3+…+an-a12n+-1 an+an+a2na1≥12.

【证明】 左边= a21 + a22 +…+ a2n-1 + a2n =

a1+a2 a2+a3

an-1+an an+a1

[(a1 + a2) + (a2 + a3) + … + (an - 1 + an) + (an +

a1

a2

an-1

a1)]× a1+a2 2+ a2+a3 2+…+ an-1+an 2+

an

an+a1 2

×

1 2



[(

a1+a2 )2 + (

a2+a3 )2 + … +

a1

a2

( an-1+an)2+( an+a1)2]× a1+a2 2+ a2+a3 2

an-1 +…+ an-1+an 2+

an

an+a1

2

×1≥ 2

a1+a2·

a1 + a1+a2

a2+a3·

a2 +…+ a2+a3

an-1+an·

an-1 + an-1+an

an+a1·

an an+a1



1 2



(a1



a2







an)2×12=12=右边,所以原不等式成立.

【变式训练 4】 设 a1>a2>…>an>an+1,求证:a1-1 a2+a2-1 a3 +…+an-1an+1+an+11-a1>0.

证明 为了运用柯西不等式,我们将 a1-an+1 写成

a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1),于是[(a1-a2)

+ (a2 - a3) + … + (an - an +

1 + 1 +…+ 1

1)]·a1-a2 a2-a3

an-an+1 ≥n2>1.

1 + 1 +…+ 1

即(a1-an+1)·a1-a2 a2-a3

an-an+1 >1,





1 a1-a2



1 a2-a3







1 an-an+1

>

1 a1-an+1





1 a1-a2



a2-1 a3+…+an-1an+1+an+11-a1>0.

随堂检测

1.已知 a,b,c 大于 0,且 a+b+c=1,则 a2+b2+c2

的最小值为( )

A.1

B.4

C.13

D.12

【解析】 根据柯西不等式,有(a2+b2+c2)(12+12+

12)≥(a+b+c)2=1,

∴a2+b2+c2≥1. 3
【答案】 C

随堂检测

2.若 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,则 3a+1+ 3b+1

+ 3c+1的最大值为( )

A.3

B.3 2

C.18

D.9

【解析】 由柯西不等式得:( 3a+1+ 3b+1+ 3c+1)2≤(1+1+1)(3a+1+3b+1+3c+1)
=3[3(a+b+c)+3],

随堂检测

又∵a+b+c=1,∴( 3a+1+ 3b+1+ 3c+1)2≤3×6

=18,

∴ 3a+1+ 3b+1+ 3c+1≤3 2,当且仅当 a=b=c

=1时等号成立.故选 3

B.

【答案】 B

随堂检测
3.已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解 集为[-1,1].
(1)求 m 的值; (2)若 a,b,c∈R+,且1+ 1 + 1 =m,求证:a+2b+
a 2b 3c 3c≥9.

随堂检测

【解】 (1)因为 f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0 等价于|x|≤m.

由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.

又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1.

(2)证明:由(1)知1+ 1 + 1 =1,又 a,b,c∈R+,由柯 a 2b 3c

西不等式得 a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a+21b+31c)≥(

a·1 + a

2b·1 + 3c·1 )2=9.

2b

3c

随堂检测

4.已知 x+4y+9z=1,求 x2+y2+z2 的最小值.
【解】 由柯西不等式,知 (x+4y+9z)2≤(12+42+92)(x2+y2+z2) =98(x2+y2+z2). 又 x+4y+9z=1, ∴x2+y2+z2≥ 1 ,(*)
98 当且仅当 x=y=z时,等号成立.
49 ∴x=918,y=429,z=998时,(*)取等号. 因此,x2+y2+z2 的最小值为 1 .
98

随堂检测

5.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a2+2b2+

3c2+6d2=5,试求 a 的范围.

【解】 由 a+b+c+d=3,得 b+c+d=3-a ① 由 a2+2b2+3c2+6d2=5,得 2b2+3c2+6d2=5-a2,② (2b2+3c2+6d2)(1+1+1)≥(b+c+d)2,
236 即 2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2. 由条件可得,5-a2≥(3-a)2,解得 1≤a≤2. 所以实数 a 的取值范围是[1,2].

本课小结
|— 三维形式
一般形式的柯西不等式— — 一般形式 — 一般形式的应用


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