北京市西城区2009年高三4月一模数学(理科)试题(WORD精校版)

北京市西城区 2009 年抽样测试 高三数学试卷(理科)
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2009.4

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本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.
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题号
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15 16 17


18 19 20

总分

分数 第Ⅰ卷(共 40 分)
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一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项.
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1. 已知全集 U = {1,2,3,4,5} ,集合 A = {3, 4}, = {2, 3, 5} ,那么集合 A ? ? U B 等于 B ( )
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?

?

A. {1, 2,3, 4,5} C. {1,3,4}
o

B. {3, 4} D. {2,3,4,5}
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2. 设 i 是虚数单位,复数 z = tan 45 - i × 60 ,则 z 等于( sin
o

2



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A.

7 ? 3i 4 7 C. ? 3i 4
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1 ? 3i 4 1 D. ? 3i 4
B.

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3. 若数列 {an } 是公比为 4 的等比数列,且 a1 = 2 ,则数列 {log 2 an } 是( A. 公差为 2 的等差数列 C. 公比为 2 的等比数列
2



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B. 公差为 lg 2 的等差数列 D. 公比为 lg 2 的等比数列

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4. 设 a 为常数,函数 f ( x) = x - 4 x + 3 . 若 f ( x + a) 为偶函数,则 a 等于(



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A. -2 C. -1

B. 2 D. 1

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5. 已知直线 a 和平面 a ,那么 a // a 的一个充分条件是( A. 存在一条直线 b, a // b, b ? a C. 存 在 一 个 平 面 ? , a ? ? , ? // ?
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B. 存在一条直线 b, a ^ b, b ^ a

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D. 存 在 一 个 平 面 ? , a ? ? , ? ? ?

6. 与 直 线 x - y - 4 = 0 和 圆 x + y + 2 x - 2 y = 0 都 相 切 的 半 径 最 小 的 圆 的 方 程 是 ( )
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2

2

A. ( x + 1) + ( y + 1) = 2 C. ( x - 1) + ( y + 1) = 2
2 2

2

2

B. ( x + 1) + ( y + 1) = 4 D. ( x - 1) + ( y + 1) = 4
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2

2

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2

2

7.设 a, b ? R, 且 b(a + b + 1)<0 , b(a + b - 1)<0 ,则 ( A. a ? 1 C. ?1 ? a ? 1 B. a ? ?1 D. | a |? 1
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)
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8. 函数 f (x)的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数 . 设函数 f (x)在[0, 1]上为非减函数, 且满足以下三个条件:
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1 ○ f (0) = 0 ; 则 f ( ) + f ( ) 等于( A.

2 ○ f ( 3) = )
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x

1 f ( x) ; 2

3 ○ f (1-

x) = 1- f ( x) .

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1 3

1 8

3 4

B.

1 2
2 3

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C. 1

D.

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2009.4

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第Ⅱ卷(
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共 110 分)

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二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上 .

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x 2 - 3x + 2 9. lim 的值等于___________. x2 - 4 x? 2
10. ( x +

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2 5 ) 的 展 开 式 中 x 2 的 系 数 是 ___________ ; 其 展 开 式 中 各 项 系 数 之 和 为 2 x
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________.(用数字作答)

11. 不等式 | 2x - 1|> | x | 的解集为_____________.

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? 12. 设 O 为坐标原点,向量 OA ? (1, 2) . 将 OA 绕着点 O 按逆时针方向旋转 90 得到

??? ?

??? ?

向量 OB , 则 2OA ? OB 的坐标为____________. 13. 给出下列四个函数:
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??? ?

??? ??? ? ?

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① y = sin x + cos x ; ③ y = sin x cos x ; 其中在 (0, 论的序号)
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② y = sin x - cos x ; ④ y?

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?
2

sin x . cos x

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) 上既无最大值又无最小值的函数是_________________.(写出全部正确结

14. 已知函数 f ( x) 由下表给出:

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x
f ( x)

0

1

2

3

4

a0

a1

a2
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a3

a4

其中 ak (k = 0,1, 2,3, 4) 等于在 a0 , a1 , a2 , a3 , a4 中 k 所出现的次数.

则 a4 =______________; a0 + a1 + a2 + a3 = ___________.
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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分)
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某个高中研究性学习小组共有 9 名学生,其中有 3 名男生和 6 名女生. 在研究学习过程 中,要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报) ,每次汇报都从这 9 名学生中随机选 1 人作为代表发言. 设每人每次被选中与否均互不影响.
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(Ⅰ)求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率;

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(Ⅱ)设 x 为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值,求 x 的分布列和数学期望.
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16.(本小题满分 12 分)

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如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 x 轴正半轴上,直线 AB 的倾斜角为 |OB|=2, 设 ? AOB

3p , 4

p 3p q, q ( , ) . 2 4

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(Ⅰ)用 q 表示点 B 的坐标及 | OA | ; (Ⅱ)若 tan q = 学科网

B
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y

uur uuu r 4 OB ,求 OA × 的值. 3

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O
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A

x

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17.(本小题满分 14 分)

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如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, ? BCD
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90o , AB // CD, 又
P



AB = BC = PC = 1, PB =

2, CD = 2, AB ^ PC .
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(Ⅰ)求证: PC ^ 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B-PD-C 的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 PAD 的距离.
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D A B

C

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18.(本小题满分 14 分) 设 a?R,函数 f ( x) ? ?( x ? 1) ? 2(a ? 1) ln( x ? 1) .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = 4 x - 1 ,求 a 的值; (Ⅱ)当 a<1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性.

19.(本小题满分 14 分)

y2 已知椭圆 C : x ? ? 1 ,过点 M(0, 3)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、B. 4
2

(Ⅰ)若 l 与 x 轴相交于点 N,且 A 是 MN 的中点,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点, 且 OA ? OB ? ? OP (O 为坐标原点). 求当 | AB |? 3 时, 实数 ? 的取值范围.

??? ??? ? ?

??? ?

20.(本小题满分 14 分) 设 m > 3 ,对于有穷数列 {an } ( n = 1,2,L , m ), 令 bk 为 a1 , a2 ,L , ak 中的最大值,称数 列 {bn } 为 {an } 的“创新数列”. 数列 {bn } 中不相等项的个数称为 {an } 的“创新阶数”. 例如 数列 2,1,3,7,5 的创新数列为 2,2,3,7,7,创新阶数为 3. 考察自然数 1, 2,L , m(m > 3) 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 {cn } . (Ⅰ)若 m=5, 写出创新数列为 3,4,4,5,5 的所有数列 {cn } ; (Ⅱ) 是否存在数列 {cn } , 使它的创新数列为等差数列?若存在, 求出所有的数列 {cn } , 若不存在,请说明理由; (Ⅲ)在创新阶数为 2 的所有数列 {cn } 中,求它们的首项的和.

北京市西城区 2009 年抽样测试参考答案 高三数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 C 6 C 7 D 8 A 2009.4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

1 4

10. 10, 243

11. {x | x > 1 或 x < }

1 3

12. (0,5)

13. ○○ 2 4

14.

0, 5
注:两空的题目,第一个空 3 分,第二个空 2 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:记 “2 次汇报活动都是由小组成员甲发言” 为 事 件 A.

-----------------------------1 分 由题意,得事件 A 的概率 P( A) = 即 2

1 1 ? 9 9

1 , 81 1 . 81

次 汇 报 活 动 都 是 由 小 组 成 员 甲 发 言 的 概 率 为

---------------------------5 分 ( Ⅱ ) 解 : 由 题 意 , ξ 的 可 能 取 值 为 2,0,

----------------------------6 分 每次汇报时, 男生被选为代表的概率为

1 2 3 1 女生被选为代表的概率为 1- = . = , 3 3 9 3

1 1 1 1 5 1 1 4 P(x = 2) = C0 ( ) 2 (1- )0 + C2 ( )0 (1- ) 2 = ; P(x = 0) = C1 ( )1 (1- )1 = ; 2 2 2 3 3 3 3 9 3 3 9
所以, x 的分布列为:

x
P

2

0

5 9

4 9
---------------------------10 分

x











Ex = 2?

5 9

0?

4 9

10 9

.

---------------------------12 分 16.(本小题满分 12 分) ( Ⅰ ) 解 : 由 三 角 函 数 的 定 义 , 得 点 B 的 坐 标 为 (2cos q,2sin q) . ---------------------------1 分

p p 3p , ? B p- - q= - q, 4 4 4 2 | OA | 由正弦定理,得 | OB | = | OA | ,即 , = p sin ?B 2 sin( 3p - q) sin 4 4 2 3p 所 以 | OA |= 2 2 sin( - q) 4
在 VAOB 中,|OB|=2, ? BAO ---------------------------5 分

.

注:仅写出正弦定理,得 3 分. 若用直线 AB 方程求得 | OA |= 2(sin q + cos q) 也得 分. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 OA ?OB

uur uur u 3p | OA | 鬃 | cosq=4 2 sin( - q) cos q , ---------7 分 | OB 4 4 p 3p 因为 tan q = - , q ( , ), 3 2 4 4 3 所以 sin q = , cos q = - , ----------------------------9 分 5 5 3p 3p 3p 又 sin( - q) = sin ?cos q cos sin q 4 4 4
= 2 3 2 4 ?( ) - () 2 5 2 5
2 , 10
---------------------------11 分

uur uur u

=
uur uur u

所以 OA ?OB

2 3 12 . 4 2 鬃 (- ) = 10 5 25

---------------------------12 分

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:在 VPBC 中, BC = PC = 1, PB =

2,

\ BC 2 + PC 2 = PB2 , \ ? PCB 90o ,即 P ^ B , C C
---------------------------1 分

Q AB ^ PC , AB I BC = B ,

\ PC ^ 平面 ABCD .
(Ⅱ)方法一: 解:由(Ⅰ)知 PC ^ BC , 又 BC ^ CD, PC I CD = C ,

---------------------------4 分

\ BC ^ 平面 PCD ,
如图,过 C 作 CM ^ PD 于 M,连接 BM,

---------------------------5 分

\ CM 是 BM 在平面 PCD 内的射影, \ BM ^ PD ,
又 CM ^ PD

\

CMB 为二面角 B-PD-C 的平面角.
90o , PC=1, CD = 2 ,
5,

---------------------------7 分

在 VPCD 中, ? PCD

\ PD =

PC 2 + CD 2 =

P M

又 CM ^ PD , \ PD ?CM

PC CD ,
---------------8 分 D C

\ CM =

PC × CD 2 5 . = PD 5

在 VCMB 中, ? BCM

90o , BC=1, CM = 2 5 , 5

A

B

\ tan ? CMB

BC 5 , = CM 2

\ 二面角 B-PD-C 的大小为 arctan
方法二:

5 . 2

---------------------------9 分

解:如图,在平面 ABCD 内,以 C 为原点, CD、CB、CP 分别为 x、y、z 轴, 建立空间直角坐标系 C-xyz, 则 ---------------------------5 分 过 C 作 CM ^ DP 于 M,连接 BM,设 M ( x, y, z) , x D uuu r uuuu r uuu r 则 MC = (- x, - y, - z ), DM = ( x - 2, y, z ), DP = (- 2,0,1) , A
uuu uuu r r Q MC ^ DP ,

z M P ,

C (0,0,0), B(0,1,0), D(2,0,0), P(0,0,1), A(1,1,0)

C B y

uuu uuu r r \ MC ?DP

2x - z = 0 ;

1 ○

uuuu uuu r r Q DM , DP 共线,

x- 2 2 = z, ○ - 2 2 4 由○○,解得 x = , y = 0, z = , 1 2 5 5 uuu r uuu r 2 4 2 4 2 4 \ M 点的坐标为 ( , 0, ) , MB = (- , 1, - ) , MC = (- , 0, - ) , 5 5 5 5 5 5 uuu uuu 4 r r 4 Q MB ?DP + 0- = 0 , 5 5 \ y = 0,

\ MB ^ DP ,
又 CM ^ DP ,

\

CMB 为二面角 B-PD-C 的平面角. uuu r uuu r 2 4 2 4 Q MC = (- , 0, - ) , MB = (- , 1, - ) , 5 5 5 5
uuu uuu r r MB ×MC 2 uuu uuu = , r r | MB | ×| MC | 3

---------------------------7 分

\ cos ? CMB

2 \ 二面角 B-PD-C 的大小为 arccos . 3
(Ⅲ)解:设点 B 到平面 PAD 的距离为 h,

--------------------------9 分

Q AB ^ BC , \ AC =

AB 2 + BC 2 =

2,

Q PC ^ 平面 ABCD, \ PC ^ AC ,
\ PA = AC 2 + PC 2 = 3,

在直角梯形 ABCD 中, AB = 1, BC = 1, CD = 2 ,
\ AD = BC 2 + (CD - AB ) 2 = 2.

在 VPAD 中, Q AD =

2 , PA =

3, PD =

5,

\ AD2 + PA2 = PD2 ,
\ ? PAD 90o ,

\ VPAD 的面积 SV PAD =

1 AD ?PA 2

6 , 2

---------------------------10 分

Q 三棱锥 B-PAD 的体积 VB- PAD = VP- ABD ,

\


1 1 鬃VPAD h = 鬃V ABD PC , S S 3 3
6 ?h 2

---------------------------12 分

1 6 , ( 创 1) 1 ,解得 h = 1 2 6 6 . \ 点 B 到平面 PAD 的距离为 6

---------------------------14 分

18.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:函数 f ( x) 的定义域为 (- 1, +

),

---------------------------1 分

f ? x) = - 2 x + 2 + (

2a - 2 x+ 1
---------------------------4 分

=

- 2 x 2 + 2a . x+ 1

因为 f ?(0) ? 4 ,所以 a ? 2 . (Ⅱ)解:当 a < 0 时,因为 x + 1 > 0, - 2 x 2 + 2a < 0 , 所以 f ? x) < 0 ,故 f ( x) 在 (- 1, + ( ------------------------7 分 当 a=0 时,当 x ? ( 1,0) 时, f ? x) = (

---------------------------5 分

) 上是减函数;

- 2x2 < 0 ,故 f ( x) 在 (- 1,0) 上是减函数, x+ 1

当 x ? (0,

) 时, f ? x) = (

- 2x2 < 0 ,故 f ( x) 在 (0,+? ) 上是减函数, x+ 1

因为函数 f ( x) 在 (- 1, + 所以 f ( x) 在 (- 1, +

) 上连续,
---------------------------9 分

) 上是减函数;

当 0<a<1 时 , 由 f ? x) = ( --------------------------10 分

- 2 x 2 + 2a = 0 , 得 x= x+ 1

a , 或 x= -

a .

x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化如情况下表:

x

(?1, ? a )
?

0

a

(-

a, a)
+ 0

a

( a , ??)
?

f ?( x) f ( x)
]

极小值 f (? a )

Z

极大值 f ( a )

]

所以 f ( x) 在 (- 1, -

a ) 上为减函数、在 ( a ,+
为 增

) 上为减函数; f ( x) 在
函 数 .

(-

a, a)



------------------------13 分 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (- 1, + 当 0<a<1 时,f ( x) 在 (- 1, 在
(a, a)
) 上是减函数;

在 a ) 上为减函数、 ( a , + 为 增 函

) 上为减函数;f ( x)
数 .



------------------------14 分 19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:设 A(x1, y1), 因为 A 为 MN 的中点,且 M 的纵坐标为 3,N 的纵坐标为 0, 所以 y1 ?

3 , 2

---------------------------1 分

又因为点 A(x1, y1)在椭圆 C 上

y12 7 所以 x ? , ? 1 ,即 x12 ? 9 ? 1 ,解得 x1 ? ? 4 4 16
2 1





A









(

7 3 , ) 4 2



(?

7 3 , ) 4 2



-------------------------3 分 所 以 直 线 --------------------------5 分 (Ⅱ)解:设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 3 或 x ? 0 ,A(x1, y1),B(x2, y2), P( x3 , y3 ) , 当 AB l 的 方 程 为 6 7 x ? 7 y ? 21 ? 0 或 6 7 x ? 7 y ? 21 ? 0 .

| 的 方 程 为 x ? 0 时 , | AB ?

?4

3 , 与 题 意 不 符 .

--------------------------6 分 当 AB 的方程为 y ? kx ? 3 时:

? y ? kx ? 3 ? 由题设可得 A、B 的坐标是方程组 ? 的解, y2 x2 ? ?1 ? ? 4
消去 y 得 (4 ? k ) x ? 6kx ? 5 ? 0 ,
2 2

所以 ? ? (6k ) 2 ? 20(4 ? k 2 ) ? 0, 即 k ? 5 ,
2



x1 ? x2 ?

?6k 5 24 , , x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? (kx1 ? 3) ? (kx2 ? 3) ? 2 2 4?k 4?k 4 ? k2

---------------------------8 分
2 2 因为 | AB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?

3,

所以 1 ? k 2 ? ( 所以 5 ? k ? 8 .
2

16 ?6k 2 20 ) ? ? 3 ,解得 ? ? k 2 ? 8 , 2 2 4?k 4?k 13
--------------------------10 分

因为 OA ? OB ? ? OP ,即 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ? ( x3 , y3 ) , 所 以 当

??? ??? ? ?

??? ?

? ?0







??? ??? ? ? ? OA ? OB ? 0





x1 ? x2 ?

?6k 24 ? 0, y1 ? y2 ? ?0, 2 4?k 4 ? k2
上述方程无解,所以此时符合条件的直线 l 不存在;

--------------------11 分 当 ? ? 0 时, x3 ?

x1 ? x2

?

?

y ? y2 ?6k 24 , y3 ? 1 , ? 2 ? (4 ? k ) ? ? (4 ? k 2 )

因为点 P( x3 , y3 ) 在椭圆上, 所 -------------------------12 分 化简得 ? 2 ?
2



[

?6k ]2 ? 2 ? (4 ? k )

1 [ 4 ?

2

2

?k (
2

?

] 4

4



1

)

36 , 4 ? k2
2

因为 5 ? k ? 8 ,所以 3 ? ? ? 4 , 则 ? ? (?2, ? 3) ? ( 3, 2) . 综 上 , 实 数

?













(?2, ? 3) ? ( 3, 2)

.

---------------------------14 分 20.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由题意,创新数列为 3,4,4,5,5 的数列 {cn } 有两个,即: (1) 数列 3, 1, 2; 4, 5, 分 ---------------------------2

(2)数列 3,4,2,5,1. 注:写出一个得 2 分,两个写全得 3 分. (Ⅱ)答:存在数列 {cn } ,它的创新数列为等差数列. 解:设数列 {cn } 的创新数列为 {en }(n = 1, 2,L , m) , 因为 em 为 c1 , c2 ,L , cm 中的最大值. 所以 em = m .

---------------------------3 分

由题意知: ek 为 c1 , c2 ,L , ck 中最大值, ek + 1 为 c1 , c2 ,L , ck , ck + 1 中最大值, 所以 ek ? ek + 1 ,且 ek ? {1, 2,L , m} . 若 {en } 为 等 差 数 列 , 设 其 公 差 为 d , 则 d = ek + 1 - ek -----------------5 分 当 d=0 时, {en } 为常数列,又 em = m , 所以数列 {en } 为 m, m,L , m , 此时数列 {cn } 是首项为 m 的任意一个符合条 件的数列; 当 d=1 时,因为 em = m , 所 以 数 列 {en } 为 1, 2,3,L , m , 此 时 数 列 {cn } 是 1, 2,3,L , m ; --------------------7 分 当 d ? 2 时,因为 em = e1 + (m - 1)d ? e1 又 m > 3, e1 > 0 ,所以 em > m , 这与 em = m 矛盾,所以此时 {en } 不存在,即不存在 {cn } 使得它的创新数列 为 d ? 2 的等差数列. 综上, 当数列 {cn } 为: 首项为 m 的任意符合条件的数列; 数列 1, 2,3,L , m (1) (2) 时 , 它 的 创 新 数 列 为 等 差 数 列 .

0 ,且 d? N,

(m - 1)? 2

2m - 2 + e1 ,

---------------------------9 分 注:此问仅写出结论(1) (2)者得 2 分.

(Ⅲ)解:设 {cn } 的创新数列为 {en }(n = 1, 2,L , m) , 由(Ⅱ)知, em = m , 由题意,得 e1 = c1 , 所以当数列 {cn } 的创新阶数为 2 时, {en } 必然为 c1, c1,L , c1 , m, m,L , m (其中 , c1 < m )

---------------------10 分 由排列组合知识, 得创新数列为 k , k ,L , k , m, m,L , m(k < m) 的符合条件的 {cn } 的 个数为
m 1 Cm-- 1k 鬃m-- kk-- 1 Akk-- 1 = Am 1

1 m 1 Am-- 1k ?Akk-- 1 m- k

1 (m - 1)!, m- k

----------------12 分 所以,在创新阶数为 2 的所有数列 {cn } 中,它们的首项的和为

邋k ?
k= 1

m- 1

(m - 1)! m- k

m- 1

(m - 1)!
k= 1

k m- k

.

---------------------------14 分


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