专题三__函数的基本性质

函数的基本性质 一、单调性 1.定义:对于函数,对于定义域内的自变量的任意两个值,当时,都有,那么就说函数在 这个区间上是增(或减)函数。 2.证明方法和步骤: 设元:设是给定区间上任意两个值,且; 作差: ; 变形: (如因式分解、配方等) ; 定号:即; 根据定义下结论。 3.二次函数的单调性:对函数, 当时函数在对称轴的左侧单调减小,右侧单调增加; 当时函数在对称轴的左侧单调增加,右侧单调减小; 例:讨论函数在(-2,2)内的单调性。

4.复合函数的单调性:复合函数在区间具有单调性的规律见下表: 增 ↗ 减 ↘

增 减 增 减

↗ ↘ ↗ ↘

增 减 减 增

↗ ↘ ↘ ↗

以上规律还可总结为: “同向得增,异向得减”或“同增异减” 。 例:函数的单调减区间是 ( A. B. C. ) D.

5.函数的单调性的应用: 判断函数的单调性;比较大小;解不等式;求最值(值域) 。 例 1:奇函数在定义域上为减函数,且满足,求实数的取值范围。

例 2:已知是定义在上的增函数, ,且, , (1)求; (2)满足的实数的范围。 二、奇偶性 1.定义: 如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有,那么函数 f(x)就叫偶函数; 如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有,那么函数 f(x)就叫奇函数。 2.奇、偶函数的必要条件:函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。 若函数为奇函数,且在 x=0 处有定义,则; 3.判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域,看是否关于原点对称; ⑵再判断或 是否恒成立。 例:判断函数 的奇偶性。 分析:解此题的步骤(1)求函数的定义域; (2)化简函数表达式; (3)判断函数的奇偶性

奇偶性的定义的等价形式:对不易找到函数与关系时,常用以下等价形式: ; 。 当时,也可用来判断。 4.奇偶函数图象的性质 奇函数的图象关于原点对称。反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函 数为奇函数。 偶函数的图象关于 y 轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数 为偶函数。 应用:①.判断函数的奇偶性。②.简化函数图象的画法。 例: 作出函数 y=x2-2|x|-3 的图象。

5.常用结论:(1)奇偶性满足下列性质:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶, 奇×偶=奇。 (2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单

调性。 例:设是上的奇函数,且当时, ,求当时的解析式。 两个非零函数的定义域都为,则“都是偶函数”是“为偶函数”的 件。 例 3:已知:函数定义在 R 上,对任意 x,y∈R,有且。 (1)求证: ;(2)求证:是偶函数;



例 4:判断下列函数的奇偶性: (1) (2) (3) (4)

例 5:设函数的定义域为,且对任意的都有。 (1)求的值; (2)判断的奇偶性,并加以证明。

课后专练 若的定义域为 R,对任意有=,当时且 (1)判断在 R 上的单调性; (2)若,求的取值范围。

2.已知函数在上递增,那么的取值范围是________. 3.设函数为 R 上的增函数,令 (1) 、求证:在 R 上为增函数; (2) 、若,求证

4.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+t)=f(5 -t),那么下列式子一定成立的是( ) A.f(-1)<f(9)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1) C.f(9)<f(-1)<f(13) D . f(13) < f(-1)<f(9)

5.已知 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R 且 a+b≤0,则下列不等式中正确的 是( ) A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 6.函数 y=x-2+2 的值域为__ ___. 7.设是上的减函数,则的单调递减区间为 . 8. 函数 f(x) = ax2+4(a+1)x-3 在[2, +∞]上递减, 则 a 的取值范围是__ . 9.已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取值范 围. 10.已知函数 f(x)=ax2+bx+c (a0)是偶函数,那么 g(x)=ax3+bx2+cx 是 ( ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 11.已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则 a=__________ ,b=_________ 12.已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于 ( )A. -26 B. -18 C. -10 D. 10 13.已知 f(x)=(1)判断 f(x)的奇偶性,(2)证明 f(x)>0

14.已知函数 y=|x-a|在区间上是增函数,那么 a 的取值范围是__________. 15. 若函数 ( f x) 为偶函数, 且当-2≤x≤0 时, ( f x) =x+1, 那么当 0<x≤2 时, ( f x) =_________. 16.若在区间上是增函数,则的取值范围是 17.已知在区间上是增函数,则的范围是( ) A B C D 18.当时,求函数的最小值

19.已知在区间内有一最大值,求的值

20.已知函数的最大值不大于,又当,求的值

21.函数对任意,有, ,求


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