历届数学高考试题精选——等比数列

历届高考中的“等比数列”试题精选
一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分) 1.(2008 福建理)设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1 ? 1 ,a5=16, 则数 列{an}前 7 项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 2.(2007 福建文)等比数列{an}中,a4=4,则 a2·a6 等于( A.4 B.8 C.16 D.32 )

3. (2007 重庆文) 在等比数列{an}中, a2=8, a5=64, 则公比 q 为 ( (A)2 (B)3 (C)4 (D)8



4.(2005 江苏)在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 3 ,前三项和 为 21,则 a3 ?a 4 ?a5 =( ) A.84 B.72 C.33 D.189 5. (2008 海南、 宁夏文、 理)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 , 前 n 项和为 Sn , 则
S4 ?( a2

) B. 4 C.
15 2

A. 2

D.

17 2

6.(2004 全国Ⅲ卷文)等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 ,则 ?an ? 的前 4 项和为( ) A.81 B.120 C.168 D.192 7.(2004 春招安徽文、理)已知数列 {an } 满足 a0 ? 1 , an ? a0 ? a1 ? ?? an?1 ( n ? 1 ),则当 n ? 1 时, an =( ) (A)2n (B)
n(n ? 1) 2

(C) 2 n ? 1

(D) 2 n ?1

8.(2006 辽宁理)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1? 也 是等比数列,则 Sn 等于 ( )
3n

(A) 2

n ?1

?2

(B)

(C)

2n

(D) 3n ? 1

9.(2006 湖北理)若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列, 且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? ( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 10.(2007 海南、宁夏文)已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等于( ) A.3 B.2 C.1 D. ?2 二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 11.(2006 湖南文)若数列 ?a n ? 满足: a1 ? 1, a n?1 ? 2a n .n ? 1 ,2,3?.则 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? . 12.(2004 全国Ⅰ卷文)已知等比数列{ an }中, a3 ? 3, a10 ? 384, 则该数列的通 项 an = . 13.(2005 湖北理)设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为 . 14.(2002 北京文、理)等差数列 {an } 中,a1=2,公差不为零,且 a1, a3,a11 恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等 于_____________. 三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余题目各 14 分) 15.(2006 全国Ⅰ卷文)已知 ?an ? 为等比数列,a3 ? 2, a2 ? a4 ? 的通项式。
20 ,求 ?an ? 3

16.(2007全国Ⅱ文) 设等比数列 {an}的公比q<1,前n项和为Sn.已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.

17.(2004 全国Ⅳ卷文)已知数列{ an }为等比数列, a2 ? 6, a5 ? 162. (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 S n 是数列{ an }的前 n 项和,证明
S n ? S n?2 ? 1. 2 Sn ?1

18.(2002 广东、河南、江苏)设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1= b1 =1, a2+a4 =b3, b2b4=a3.分别求出{an}及{bn}的前 10 项的和 S10 及 T10.

19.(2000 广东)设 ?an ?为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? 2an?1 ? an ,已 知 T1 ? 1 , T2 ? 4 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的首项和通项公式; (Ⅱ)求数列 ?Tn ?的通项公式。

20..(2008 陕西文)已知数列 {an } 的首项 a1 ? , an ?1 ? (Ⅰ)证明:数列 { ? 1} 是等比数列; 和 Sn .
1 an

2 3

2an , n ? 1, 2,3, ?. an ? 1 n (Ⅱ)数列 { } 的前 n 项 an

历届高考中的“等比数列”试题精选 参考答案 一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分)
题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C 9 D 10 B

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 11. 2 n ? 1 ; 12. 3 ? 2 n ?3 ; 13. ? 2 ; 14.4 三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余题目各 14 分) a3 2 15.解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= q = q , a4=a3q=2q 2 20 1 所以 q + 2q= 3 , 解得 q1=3 , q2= 3, 1 1 18 当 q=3时, a1=18.所以 an=18×(3)n-1= n-1 = 2×33-n. 3 2 2 当 q=3 时, a1= 9 , 所以 an=9 ×3n-1=2×3n-3. 16.解:由题设知 a1 ? 0,Sn ?
? a1q 2 ? 2, a1 (1 ? q 2 ) ? 4 . 则 ? a1 (1 ? q ) ? 5 ? 1? q ? 1? q ?

a1 (1 ? q n ) , 1? q



由②得 1 ? q4 ? 5(1 ? q2 ) , (q2 ? 4)(q2 ?1) ? 0 , (q ? 2)(q ? 2)(q ?1)(q ? 1) ? 0 , 因为 q ? 1 ,解得 q ? ?1 或 q ? ?2 . 当 q ? ?1 时,代入①得 a1 ? 2 ,通项公式 an ? 2 ? (?1)n?1 ; 当 q ? ?2 时,代入①得 a1 ? ,通项公式 an ? ? (?2) n ?1 .
1 2 1 2

17.解:(I)设等比数列{an}的公比为 q,则 a2=a1q, a5=a1q4. 依题意, 得方程组 ? ?
?a1 q ? 6
4

a q ? 162 ? ? 1

解此方程组,得 a1=2, q=3. 故数列{an}的通项公式为 an=2·3n-1. (II) S n ?
2(1 ? 3 n ) ? 3 n ? 1. 1? 3

S n ? S n ? 2 3 2 n ? 2 ? (3 n ? 3 n ? 2 ) ? 1 3 2 n ? 2 ? 2 3 n ? 3 n ? 2 ? 1 ? ? ? 1, 2 Sn 3 2 n ? 2 ? 2 ? 3 n ?1 ? 1 3 2 n ? 2 ? 2 ? 3 n ?1 ? 1 ?1 即 S n ? S n?2 ? 1. 2 Sn ?1

18.解:∵ {an}为等差数列,{bn}为等比数列,∴ a2+a4=2a3,b3b4= b32, 而已知 a2+a4=b3,b3b4=a3, ∴ b3=2a3,a3=b32. 1 1 ∵ b3≠0,∴ b3= ,a3= 2 4 1 3 由 a1=1,a3= 知{an}的公差 d=- 4 8 10×9 55 ∴ S10=10a1+ d=- 2 8 1 2 2 由 b1=1,b3= 知{bn}的公比为 q= 或 q=- 2 2 2 2 b1(1-q10) 31 当 q= 时,T10= = (2+ 2) 2 1-q 32 10 2 b1(1-q ) 31 当 q=- 时,T10= = (2- 2) 2 1-q 32 19.(Ⅰ)解:设等比数列 ?an ? 以比为 q ,则 T1 ? a1 , T2 ? 2a1 ? a2 ? a1 (2 ? q) 。???2 分 ∵ T1 ? 1, T2 ? 4 , ∴ a1 ? 1, q ? 2 。 ??5 分 (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 a1 ? 1, q ? 2 ,故 an ? a1q n?1 ? 2 n?1 , 因此, Tn ? n ?1 ? (n ? 1) ? 2 ? ? ? 2 ? 2n?2 ? 1? 2n?1 ,
2 n ?1 n

??

? Tn ? 2Tn ? Tn ? n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2 n?1 ? 1 ? 2 n - [n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 n?2 ? 1 ? 2 n -1 ] 2-2 ? 2 n ? -n ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? -n ? ? -n ? 2 n?1 ? 2 ? ?(n ? 2) ? 2 n?1 1~ 2 解法二:设 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an 。 由(Ⅰ)知 an ? 2 n?1 。

∴ Sn ? 1 ? 2 ? ? ? 2n?1 ? 2n ? 1 ∴

????8 分

Tn ? na1 ? (n ? 1)a 2 ? ? ? 2a n ?1 ? a n ? a 1 ? (a1 ? a 2 ) ? ? ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? a n ) ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ? ( 2 ? 1 ) ? ( 2 n -1 ) ? ? ? ( 2 n -1 ) ? ( 2 ? 2 n ? ? ? 2 n )-n ? ? 2 n?1 ? 2 ? n ????11分 2 ? 2 ? 2n ?n 1? 2 ???14分

20.解:(Ⅰ)? an ?1 ?

2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ?1 2an 2 2 an an ? 1 2 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , ? 3 an ?1 2 an a1 2 1 1 1 ? 数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列. 2 2 an 1 1 1 1 n n 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? n ? n . an?1 2 2 2 an 2 an 2 1 2 3 n 设 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , ① 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ,② 2 2 2 2 2
(1 ? n ) 1 1 1 2 2 ? n ? 1? 1 ? n , 由① ? ②得 Tn ? ? 2 ? ? ? 1n ? n ? n ?1 2 2 2 1 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 1 1

1 n n(n ? 1) . ? Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 2 2 2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n ? ? n . ? 数列 { } 的前 n 项和 S n ? 2 ? n ? 2 2 an 2 2

2


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