北京市西城区北京四中2015届高三摸底测试卷数学(文)

北京市西城区北京四中 2015 届高三摸底测试卷 数学(文) 试卷满分 150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1, 2},那么集合 ? UA为 A. {3} B. {3, 4} C. {1, 2} D. {2,3} 2.已知 ABCD 为平行四边形,若向量 AB ? a , AC ? b ,则向量 BC 为 A. a ? b B. a + b C. b ? a D. ?a ? b 3.圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,该圆圆心到直线 y ? x ? 2 的距离为 A. 6 2 B. 3 6 2 C. 2 2 D. 3 2 2 4.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 0 , bn ? log2 an ,则数列 {bn } 的前 10 项和等于 A. 130 B. 120 C. 55 D. 50 5. ?ABC 中,若 ?ABC ? A. ? 4 , AB ? 2 , BC ? 3 ,则 sin ?BAC ? 10 10 B. 10 5 C. 3 10 10 D. 5 5 1 ,则成绩为 2 1 1 1 及格;若飞标到圆心的距离小于 ,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大于 且小于 ,则成绩 4 4 2 6.某游戏规则如下:随机地往半径为 1 的圆内投掷飞标,若飞标到圆心的距离大于 为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 A. 3 16 B. 1 4 C. 3 4 D. 1 16 7.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 的对称轴为 x ? ?3 ,且当 x ? ?3 时, f ( x) ? 2x ? 3 .若函数 f ( x) 在区 间 (k ? 1, k ) ( k ? Z )上有零点,则 k 的值为 A. 1 或 ?8 B. 2 或 ?8 C. 1 或 ? 7 D. 2 或 ?7 8.某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,最大的是 A. 4 3 C. 4 7 B.8 D. 8 3 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9.复数 z ? (2 ? i)i 的实部是 . ? x ? y ? 1 ? 0, ? 10.若实数 x, y 满足 ? x ? 2, ,则 z ? y ? x 的最大值是 ?y ? 3 ? . 11.如图是甲、乙两名同学进入高中以来 5 次体育测试成绩的茎叶图,则甲 5 次测试成绩的平均数是 ,乙 5 次测试成绩的平均数与中位数之差 是 . 12.若关于实数 x 的不等式 x ? 5 ? x ? 3 ? a 无解,则实数 a 的取值范围是 . 13.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则 m ? ,圆锥曲线 x 2 ? y2 ? 1的离心率是 m . 14. 函数 f ( x) 的定义域为 D , 若对于任意 x1 , x2 ? D , 当 x1 ? x2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数 . 设函数 f ( x) 在 [0,1] 上为非减函数,且满足以下三个条件: ① f (0) ? 0 ; x 1 1 ② f ( ) ? f ( x) ;③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) ,则 f ( ) ? 3 2 6 1 1 , f ( )? f ( ) ? 4 7 . 三、填空题:本大题共 6 小题,共 80 分 15.(本小题满分 13 分) 已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , A ? (Ⅰ)求 sin B ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. ? 3 , cos C ? 3 , a ? 3, 3 16. (本小题满分 13 分) 一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班 5 名同学的数学与物理成绩如下表: 学生 数学 物理 A1 A2 A3 A4 A5 89 87 91 89 93 89 95 92 97 93 (Ⅰ) 分别求这 5 名同学数学与物理成绩的平均分与方差, 并估计该班数学与物理成绩那科更稳定; (Ⅱ)从以上 5 名同学中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分的 概率. 17.(本小题满分 14 分) 已知如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC , AC ? BC ? BB1 ? 2 , D 为 AB 的中点, (Ⅰ)求证: BC1 ∥平面 A1CD ; (Ⅱ)求证: BC1 ? 平面 AB1C ; (Ⅲ)求三棱锥 D ? A1 AC 的体积. A1 B1 C1 A D B C 18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 , a, b ? R , 1 (Ⅰ)若曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ? ,求实数 a , b 的值; 2 (Ⅱ)若 b ? 1 ,求函数 f ( x) 的最大值. 19. (本小题满分 14 分) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 ( 3,0) ,右顶点为 (2, 0) , (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 l :y ? kx ? 2 与椭圆 C 恒有两个不同的交点 A 和 B , 且O AO ?B 求 k 的取值范围. , ? 2(其中 O 为原点) 20. (本小题满分 13 分) 已知集合 A ? {a1 , a2 ,?, an } 中的元素都是正整数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ,集合 A 具有性质 P :对任意 的 x, y ? A ,且 x ? y ,有 x ? y ? xy , 25 (

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