2013-2014学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷

2013-2014 学年江苏省苏州市高二(上)期末数学 试卷
一.填空题 1.直线 x﹣y+3=0 的倾斜角为_________. 2.抛物线 y =4x 的准线方程是_________. 3.若直线 2x+(m+1)y+4=0 与直线 mx+3y+4=0 平行,则 m=_________. 4.已知 f(x)=xcosx,则 f′(x)=_________. 5.平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为 _________. 6.函数 f(x)=x﹣2e 的单调减区间是_________. 7.若直线 y=﹣3x+b 是曲线 y=x ﹣3x +2 的一条切线,则实数 b 的值是_________. 8.若圆 x +y =m (m>0)与圆 x +y +6x﹣8y﹣11=0 相交,则实数 m 的取值范围是_________. 9.已知 α,β 是不重合的平面,m,n 是不重合的直线,下列命题正确的序号为_________ ① m∥ n,n∥ α?m∥ α; ② m⊥ α,m⊥ β?α∥ β; ③ α∩β=n,m∥ α,m∥ β?m∥ n; ④ α⊥ β,m⊥ α,n⊥ β?m⊥ n. 10.双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 16,一条渐近线方程为 ,则双曲线方程为_________.
2 2 2 2 2 3 2 x 2

11.设 P,A,B,C 是球 O 表面上的四点,满足 PA,PB,PC 两两相互垂直,且 PA=PB=1,PC=2,则球 O 的表面 积是_________.

12.点 P 是椭圆

上的动点,F1 为椭圆的左焦点,定点 M(6,4) ,则 PM+PF1 的最大值为_________.
3 2 2 2

13.13.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c(a,b,c∈R) ,若函数 f(x)在区间[﹣1,0]上是单调减函数,则 a +b 的 最小值为_________. 14.已知函数 则整数 k 的最大值为_________. 二.解答题 15.圆 C 的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为 A(1,﹣1) ,B(3,5) ; (I)求圆 C 的方程 (II)若过点 M(﹣2,0)的直线与圆 C 有且只有一个公共点,求直线 l 的方程. ,当 x>1 时,不等式 k(x﹣1)<xf(x)+2g′(x)+3 恒成立,

1

16.在三棱锥 P﹣ABC 中,已知 PA=PB,∠ ABC 为直角,点 D,E 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ )求证:AD⊥ 平面 PBC; (Ⅱ )若 F 在线段 AC 上,且 ,求证:AD∥ 平面 PEF.

17.已知一种圆锥型金属铸件的高为 h,底面半径为 a,现要将它切割为圆柱体模型(如图所示) ,并要求圆柱的体 积最大,求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高.

18.如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB=3AD,E,F 为 AB 的两个三等分点,AC,DF 交于点 G; (I)建立适当的平面直角坐标系,证明:EG⊥ DF; (II)设点 E 关于直线 AC 的对称点为 E',问点 E'是否在直线 DF 上,并说明理由.

19.已知椭圆

过点 A(﹣1,1) ,离心率为

(I)求椭圆 C 的方程 (II)设点 B 是点 A 关于原点的对称点,P 是椭圆 C 上的动点(不同于 A,B) ,直线 AP,BP 分别与直线 x=3 交于 点 M,N,问是否存在点 P 使得△ PAB 和△ PMN 的面积相等,若存在,求出点 P 的坐标,若不存在请说明理由.

2

20.函数 f(x)=x﹣1﹣alnx(a∈R) (I)求函数 f(x)的极值; (II)若 a<0,对于任意 x1,x2∈(0,1],且 x1≠x2,都有 取值范围. 三、理科附加题(每题 10 分) 21. (10 分)求曲线 y=2sin3x 在 处的切线方程. ,求实数 a 的

22. (10 分)在平面直角坐标系中,已知 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,求满足 PA ﹣PB =4 且在圆 x +y =4 上的点 P 的 坐标. 23. (10 分)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥ AC,AB=AC=2A1A=4,点 D 是 BC 的中点; (I)求异面直线 A1B,AC1 所成角的余弦值; (II)求直线 AB1 与平面 C1AD 所成角的正弦值.

2

2

2

2

24. (10 分)如图,设抛物线 x =2py(p>0) ,M 为直线 y=﹣2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B.求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列.

2

3

2013-2014 学年江苏省苏州市高二(上)期末数学 试卷
参考答案与试题解析
一.填空题 1. (3 分)直线 x﹣y+3=0 的倾斜角为 45° . 考点: 专题: 分析: 解答: 点评: 直线的倾斜角. 计算题. 求出直线的斜率,即可得到直线的倾斜角. 解:直线 x﹣y+3=0 的斜率为 1;所以直线的倾斜角为 45° . 故答案为 45° . 本题考查直线的有关概念,直线的斜率与直线的倾斜角的关系,考查计算能力.
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2. (3 分) (2014?陕西)抛物线 y =4x 的准线方程是 x=﹣1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 抛物线的简单性质. 计算题. 先根据抛物线的标准方程形式求出 p,再根据开口方向,写出其准线方程. 解:∵ 2p=4, ∴ p=2,开口向右, ∴ 准线方程是 x=﹣1. 故答案为 x=﹣1.
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2

点评:

根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程, 一定要先化为标准形式, 求出 的值, 再确定开口方向, 否则,极易出现错误.

3. (3 分)若直线 2x+(m+1)y+4=0 与直线 mx+3y+4=0 平行,则 m= ﹣3 . 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 计算题;直线与圆. 由题意可得

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,解之即可得到答案.

解:∵ 直线 2x+(m+1)x+4=0 与直线 mx+3y+4=0 平行, ∴ 由 , ,

解得 m=﹣3,或 2, 又 1,∴ m≠2,

点评:

∴ m=﹣3, 故答案为:﹣3. 本题考查两直线平行的关系,当两直线方程为一般式时,可根据系数关系列不等式组解决.

4

4. (3 分)已知 f(x)=xcosx,则 f′(x)= cosx﹣xsinx. . 考点: 专题: 分析: 解答: 点评: 导数的运算. 导数的综合应用. 利用导数的运算法则即可得出. 解:f′(x)=cosx﹣xsinx. 故答案为:cosx﹣xsinx. 本题考查了导数的运算法则,属于基础题.
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5. (3 分)平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为 5 . 考点: 专题: 分析: 解答: 棱柱的结构特征. 数形结合. 有两条平行直线确定一个平面,和两条相交直线确定一个平面可知,有 BC,DC,BB1,AA1,D1C1, 解:如图,满足条件的有 BC,DC,BB1,AA1,D1C1, 故答案为 5
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点评:

本题考查确定立体几何的公理三,及其三条推论,是对基本概念的应用
x

6. (3 分)函数 f(x)=x﹣2e 的单调减区间是 (ln ,+∞) .

考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数研究函数的单调性. 导数的综合应用.
x x

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由 y′=1﹣2e ≤0,解得 x 的取值范围即可. 解:由 y′=1﹣2e <0,解得 x>ln . ∴ 函数 f(x)=x﹣2e 的单调递减区间是(ln ,+∞) . 故答案为: (ln ,+∞) .
x

点评:

熟练掌握原理导数研究函数的单调性的方法是解题的关键.
3 2

7. (3 分)若直线 y=﹣3x+b 是曲线 y=x ﹣3x +2 的一条切线,则实数 b 的值是 3 . 考点: 圆的切线方程.

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5

专题: 分析: 解答:

圆锥曲线的定义、性质与方程. 利用导数运算法则可得切线的斜率,进而得到切点. 解:∵ y=x ﹣3x +2, 2 ∴ y′=3x ﹣6x. 2 设切点为 M(m,n) ,则切线的斜率 k=3m ﹣6m=﹣3,解得 m=1. ∴ n=﹣1﹣3+2=0. 得到切点 M(1,0) ,代入直线可得 0=﹣3+b,解得 b=3. 故答案为:3. 本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程,属于基础题.
2 2 2 2 2 3 2

点评:

8. (3 分)若圆 x +y =m (m>0)与圆 x +y +6x﹣8y﹣11=0 相交,则实数 m 的取值范围是 (1,11) . 考点: 专题: 分析: 解答: 直线与圆的位置关系. 直线与圆. 利用相交两圆的充要条件:R﹣r<|O1O2|<R+r, (R>r>0 分别为两圆的半径,|O1O2|为两圆的圆心距 离)即可得出.
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解:由圆 x +y =m (m>0)可得圆心 M(0,0) ,半径 r=m; 2 2 2 2 由圆 x +y +6x﹣8y﹣11=0 化为(x+3) +(y﹣4) =36, 得到圆心 N(﹣3,4) ,半径 r=6. ∴ |MN|=
2 2 2

2

2

2

=5.
2 2

点评:

由于圆 x +y =m (m>0)与圆 x +y +6x﹣8y﹣11=0 相交, ∴ |m﹣6|<5<6+m, 解得 1<m<11. ∴ 实数 m 的取值范围是(1,11) . 故答案为: (1,11) . 本题考查了相交两圆的充要条件,属于基础题. ② ③ ④

9. (3 分)已知 α,β 是不重合的平面,m,n 是不重合的直线,下列命题正确的序号为 ① m∥ n,n∥ α?m∥ α; ② m⊥ α,m⊥ β?α∥ β; ③ α∩β=n,m∥ α,m∥ β?m∥ n; ④ α⊥ β,m⊥ α,n⊥ β?m⊥ n. 考点: 专题: 分析:

空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 空间位置关系与距离. 根据线面平行的判定定理来判断① 是否正确; 根据垂直于同一直线的两个平面平行来判断② 是否正确; 借助图形,如图过 m 作两个相交平面,分别与 α,β 相交于直线 a,b,可证 a∥ b,从而可证 a∥ n,进 而可证 m∥ n,由此判断③ 是否正确;
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取直线 m、n 的方向向量 , ,根据 α⊥ β,则 解答:

,可判断④ 是否正确.

解:对① ,缺少条件 m?α,∴ ① 错误; 对② ,根据垂直于同一直线的两个平面平行,∴ ② 正确; 对③ ,如图过 m 作两个相交平面,分别与 α,β 相交于直线 a,b,可证 m∥ a,m∥ b,∴ a∥ b, 可证 a∥ β,α∩β=n,∴ a∥ n,∴ m∥ n,故③ 正确; 对④ ,∵ m⊥ α,n⊥ β,α⊥ β,∴ 故答案是② ③ ④ .
6

,∴ m⊥ n,故④ 正确.

点评:

本题考查了线线,线面平行、垂直关系的判断,熟练掌握线面平行、垂直的判定与性质定理是解题的 关键. ,则双曲线方程为

10. (3 分)双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 16,一条渐近线方程为



考点: 专题: 分析:

双曲线的标准方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程.
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由题意可设双曲线的方程为:

. (a>0,b>0) .焦距为 2c.由于焦距为 16,一条渐近线 ,再利用 c =a +b ,即可得出.
2 2 2

方程为 解答:

,可得 2c=16,

解:由题意可设双曲线的方程为:

. (a>0,b>0) .焦距为 2c. ,

∵ 焦距为 16,一条渐近线方程为 ∴ 2c=16,
2 2 2



又 c =a +b , 联立解得 a=6,b=

. .

所求的双曲线方程为:

故答案为: 点评:



本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题.

11. (3 分)设 P,A,B,C 是球 O 表面上的四点,满足 PA,PB,PC 两两相互垂直,且 PA=PB=1,PC=2,则球 O 的表面积是 6π . 考点: 专题: 分析: 解答: 球的体积和表面积. 计算题. 根据 PA,PB,PC 两两相互垂直,且 PA=PB=1,PC=2,构造一个以 PA,PB,PC 为棱的长方体, 则长方体的体对角线等于球的直径,建立方程关系即可求解球的表面积. 解:∵ PA,PB,PC 两两相互垂直,
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7

∴ 构造一个以 PA,PB,PC 为棱的长方体. ∵ P,A,B,C 是球 O 表面上的四点, ∴ 长方体的体对角线等于球的直径, 设球半径为 R,长方体的体对角线为 l, ∵ PA=PB=1,PC=2, ∴ l= 则 l=2R= 解得 R= , , =6π. ,

∴ 球 O 的表面积是 4

点评:

故答案为:6π. 本题主要考查球的表面积的计算,根据点 P,A,B,C 的位置关系构成长方体是解决本题的关键, 要正确利用球的直径与长方体的体对角线长度之间的关系.

12. (3 分)点 P 是椭圆

上的动点,F1 为椭圆的左焦点,定点 M(6,4) ,则 PM+PF1 的最大值为 15 .

考点: 专题: 分析:

椭圆的简单性质;函数的最值及其几何意义. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 如图所示,由椭圆
2 2

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可得:a =25,b =16,

.由|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣

解答:

|PF2|≤2a+|MF2|,当且仅当三点 M、F2、P 共线时取等号. 解:如图所示, 由椭圆 ∴ a=5,b=4, ∴ F2(3,0) , 可得:a =25,b =16. . =5.
2 2

∴ |PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2×5+|MF2|=15, 当且仅当三点 M、F2、P 共线时取等号. 故答案为:15.

点评:

本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、最大值问题的转化为三角形的三边关系,属于难题.

8

13. (3 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c(a,b,c∈R) ,若函数 f(x)在区间[﹣1,0]上是单调减函数,则 a +b 的最小值为 .

3

2

2

2

考点: 专题: 分析:

函数的单调性与导数的关系. 计算题. 由函数在区间[﹣1,0]上是单调递减,得到导函数小于等于 0 恒成立即 f′(﹣1)≤0 且 f′(0)≤0 代
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入得到一个不等式组, 可以把而 a +b 可视为平面区域 则由点到直线的距离公式求出即可得到最小值; 2 解: (1)依题意,f′(x)=3x +2ax+b≤0,在[﹣1,0]上恒成立. 只需要 即可, 也即

2

2

内的点到原点的距离的平方,

解答:

, 而 a +b 可视为平面区域

2

2



的点到原点的距离的平方, 由点到直线的距离公式得 d =( ∴ a +b 的最小值为 故答案为: . 点评: 考查学生利用导数研究函数的单调性的能力,理解点到直线的距离公式,理解二元一次不等式组与 平面区域的关系. ,当 x>1 时,不等式 k(x﹣1)<xf(x)+2g′(x)+3 恒 4 .
2 2 2

)= ,

2



14. (3 分)已知函数 成立,则整数 k 的最大值为 考点: 专题: 分析:

解答:

利用导数研究函数的单调性. 导数的综合应用. k(x﹣1)<xf(x)+2g′(x)+3 恒成立,等价于 k(x﹣1)<xlnx+2(x﹣2)+3 对一切 x∈(1,+∞) 恒成立,分离参数,从而可转化为求函数的最小值问题,利用导数即可求得,即可求实数 a 的取值范 围. 解:因为当 x>1 时,不等式 k(x﹣1)<xf(x)+2g′(x)+3 恒成立, 即 k(x﹣1)<xlnx+2(x﹣2)+3 对一切 x∈(1,+∞)恒成立,
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亦即 k<

=

对一切 x∈(1,+∞)恒成立, 对任意 x>1 恒成立.

所以不等式转化为 k<

设 p(x)=

,则 p′(x)=



令 r(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) ,则 r′(x)=1﹣ =

>0

所以 r(x)在(1,+∞)上单调递增. 因为 r(3)=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3<0,r(4)=4﹣ln4﹣2=2﹣2ln2>0, 所以 r(x)=0 在(1,+∞)上存在唯一实根 x0,且满足 x0∈(3,4) , 当 1<x<x0 时,r(x)<0,即 p′(x)<0; 当 x>x0 时,r(x)>0,即 p′(x)>0.
9

所以函数 p(x)=

在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,

又 r(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,所以 lnx0=x0﹣2. 所以[p(x)]min=p(x0)= = =x0﹣1+2∈(4,5) ,

点评:

所以 k<[p(x)]min=x0﹣1+2∈(4,5) 故整数 k 的最大值是 4. 故答案为:4 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题.

二.解答题 15. (14 分)圆 C 的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为 A(1,﹣1) ,B(3,5) ; (I)求圆 C 的方程 (II)若过点 M(﹣2,0)的直线与圆 C 有且只有一个公共点,求直线 l 的方程. 考点: 专题: 分析: 解答: 直线和圆的方程的应用. 直线与圆. (I)求出圆心坐标与半径,可得圆 C 的方程 (II)直线与圆 C 有且只有一个公共点,可得圆心到直线的距离等于半径,由此可求直线 l 的方程.
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解: (I)由题意,圆心 C(2,2) ,圆的直径为 AB= 所以圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣2) =10; (II)显然直线 l 不可能垂直 x 轴,设直线 l 的方程为 y=k(x+2) , 因为直线 l 与圆 C 有且只有一个公共点, 所以圆心到直线的距离 d= = ,
2 2

=2



解得 k=3 或 k=﹣ , 所以直线 l 的方程为 3x﹣y+6=0 或 x+3y+2=0. 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.

点评:

16. (14 分)在三棱锥 P﹣ABC 中,已知 PA=PB,PA⊥ BC,∠ ABC 为直角,点 D,E 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ )求证:AD⊥ 平面 PBC; (Ⅱ )若 F 在线段 AC 上,且 ,求证:AD∥ 平面 PEF.

考点:

直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
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专题: 分析: 解答:

空间位置关系与距离. (Ⅰ )因为∠ ABC 为直角,即 AB⊥ BC.再利用线面垂直判定定理,即可证出 AD⊥ 平面 PBC; (Ⅱ )连结 DC,交 PE 于点 G,利用线线平行的性质定理,证出 AD∥ FG 即可得到 AD∥ 平面 PEF. 解: (Ⅰ )∵ ∠ ABC 为直角,即 AB⊥ BC, 又 PA⊥ BC, ∴ BC⊥ 平面 PAB, ∵ AD?平面 PAB ∴ AD⊥ BC ∵ PA=PB,点 D 为 BC 的中点 ∴ AD⊥ PB 又∵ PB∩BC=B,∴ AD⊥ 平面 PBC. (Ⅱ )如图,连结 DC,交 PE 于点 G, ∵ 点 D,E 分别为 PB,BC 的中点, ∴ G 为△ PBC 的重心,∴ 又 ,∴ AD∥ FG,

点评:

又 AD?平面 PEF,FG?平面 PEF, ∴ AD∥ 平面 PEF. 本题着重考查了线面垂直的定义与判定、线面平行性质定理等知识,属于中档题.

17. (14 分)已知一种圆锥型金属铸件的高为 h,底面半径为 a,现要将它切割为圆柱体模型(如图所示) ,并要求 圆柱的体积最大,求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高.

考点: 专题: 分析: 解答:

旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ;棱柱、棱锥、棱台的体积. 导数的综合应用. 根据条件求出圆柱的体积,利用导数研究函数的最值即可. 解:设圆柱的半径为 r,高为 x,体积为 V,
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则由题意可得 ∴ x=

, , , , ,

∴ 圆柱的体积为 V(r)= 即 V(r)= 则 V'(r)=

11

由 V'(r)= 列表如下: r V'(r) V(r)

=0,得 r=



(0, + 递增



. 0 极大值

( ﹣ 递减 ,此时 r=

,a)

∴ 圆柱的最大体积为 点评:

,x=



本题主要考查导数在生活中的优化问题,利用条件建立体积函数是解决本题的关键,考查导数的应 用.

18. (16 分)如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB=3AD,E,F 为 AB 的两个三等分点,AC,DF 交于点 G; (I)建立适当的平面直角坐标系,证明:EG⊥ DF; (II)设点 E 关于直线 AC 的对称点为 E',问点 E'是否在直线 DF 上,并说明理由.

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的一般式方程与直线的垂直关系. 直线与圆. (I)建立适当的平面直角坐标系,求出直线 EG 和 DF 的方程,利用斜率之间的关系证明:EG⊥ DF; (II)求出点 E 关于直线 AC 的对称点为 E'的坐标,判断 E'的坐标是否满足 DF 的方程即可证明. 解: (I)以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AD 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系如图,设 AD 的 长度为 1, 则 A(0,0) ,D(0,1) ,E(1,0) ,F(2,0) ,C(3,1) ,
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∴ 直线 AC 的方程为 直线 DF 的方程为 由① ② 解得交点坐标 G(

,① ,② ) , ,

∴ EG 的斜率 kEG=2,DF 的斜率 ∴ ﹣ ,

即 EG⊥ DF; (II)设点 E'的坐标为(x1,y1) , 则 EE'的中点 M( ) ,

由题意得



12





∴ E'( ∵

) , ,

∴ E'在直线 DF 上.

点评:

本题主要考查直线方程的求法,建立平面之间坐标系是解决本题的关键,考查学生的运算能力.

19. (16 分)已知椭圆

过点 A(﹣1,1) ,离心率为

(I)求椭圆 C 的方程 (II)设点 B 是点 A 关于原点的对称点,P 是椭圆 C 上的动点(不同于 A,B) ,直线 AP,BP 分别与直线 x=3 交于 点 M,N,问是否存在点 P 使得△ PAB 和△ PMN 的面积相等,若存在,求出点 P 的坐标,若不存在请说明理由.

考点: 专题: 分析:

直线与圆锥曲线的综合问题. 圆锥曲线中的最值与范围问题.
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(Ⅰ )由已知条件推导出

,由此能求出椭圆 C 的方程.

(Ⅱ )B 点坐标为(1,﹣1) ,假设存在这样的点 P(x0,y0) ,设出直线 AP 的方程和直线 BP 的方程, 由直线 AP,BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,得△ PMN 的面积= ,△ PAB

的面积=|x0+y0|,由此能确定存在点 P 使得△ PAB 和△△ PMN 的面积相等,并能求出点 P 坐标. 解答: 解: (Ⅰ )∵ 椭圆 过点 A(﹣1,1) ,离心率为 ,

13



,解得 a =4,b = ,

2

2

∴ 椭圆 C 的方程为



(Ⅱ )如图,B 点坐标为(1,﹣1) ,假设存在这样的点 P(x0,y0) , 则直线 AP 的方程为 y﹣1= ,

直线 BP 的方程为 y+1=



∵ 直线 AP,BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N, ∴ 令 x=3,得 , ,

∴ △ PMN 的面积

|yM﹣yN|(3﹣x0)

= 又∵ AB=2

, ,直线 AB 的方程为 x+y=0, ,

∴ 点 P 到直线 AB 的距离 d= ∴ △ PAB 的面积 S△ PAB= ∵ 点 P 不同于 A,B, ∴ |x0+y0|=0, ∴ (3﹣x0) =| 解得
2

=|x0+y0|,

|, , ) .

,从而 y0=±

∴ 存在点 P 使得△ PAB 和△△ PMN 的面积相等,点 P 坐标为( ,

点评:

本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的点是否存在的确定,综合性强,难度大,具有一定的确定

20. (16 分)函数 f(x)=x﹣1﹣alnx(a∈R) (I)求函数 f(x)的极值;
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(II)若 a<0,对于任意 x1,x2∈(0,1],且 x1≠x2,都有 取值范围. 考点: 专题: 分析: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的极值. 综合题;导数的综合应用. (I)求导函数,分类讨论,确定函数的单调性,即可求函数 f(x)的极值;
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,求实数 a 的

(II) + =x﹣1﹣alnx+ ,则
2

,即 f(x2)+4×

≤f(x1)+4×

,设 h(x)=f(x)

,等价于函数 h(x)在区间(0,1]上

是减函数,求导函数,即使 x ﹣ax﹣4≤0 在(0,1]上恒成立,然后利用分离法将 a 分离出来,从而求 出 a 的范围. 解答: 解: (I)由题意,x>0,f′(x)=1﹣ . 若 a≤0 时,f′(x)>0 恒成立,所以函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,函数 f(x)不存在极值; 当 a>0 时,∵ x>a 时,f′(x)>0,∴ 函数 f(x)在(a,+∞)上是增函数;0<x<a 时,f′(x)<0, 所以函数 f(x)在(0,a)上是减函数, ∴ x=a 时,函数 f(x)有极小值 f(a)=a﹣1﹣alna; (II)当 a<0 时,由(I)知函数 f(x)在(0,1]上是增函数,又函数 y= 在(0,1]上是减函数 不妨设 0<x1≤x2≤1 则|f(x1)﹣f(x2)|=f(x2)﹣f(x1) , ∴ 设 h(x)=f(x)+ =x﹣1﹣alnx+ , 则 ,等价于函数 h(x)在区间(0,1]上是减函数 ,即 f(x2)+4× ≤f(x1)+4×

∵ h'(x)=1﹣ ﹣

=

,∴ x ﹣ax﹣4≤0 在(0,1]上恒成立,

2

即 a≥x﹣ 在(0,1]上恒成立,即 a 不小于 y=x﹣ 在(0,1]内的最大值. 而函数 y=x﹣ 在(0,1]是增函数,∴ y=x﹣ 的最大值为﹣3 ∴ a≥﹣3, 又 a<0,∴ a∈[﹣3,0) . 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及恒成立问题的应用,同时考查了计算能力, 转化与化归的思想,属于中档题.

点评:

三、理科附加题(每题 10 分) 21. (10 分)求曲线 y=2sin3x 在 处的切线方程.

考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数研究曲线上某点切线方程. 导数的综合应用. 求出原函数的导函数,求出切点坐标,直接由点斜式得切线方程. 解:由 y=2sin3x,得 y′=6cos3x.
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15

∴ 当 又当

时, 时,

. ,切点为 . ,即 .

∴ 所求直线方程为 点评:

本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在曲线上某点处的导数即为该点处的切线的斜 率,是中档题.
2 2 2 2

22. (10 分)在平面直角坐标系中,已知 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,求满足 PA ﹣PB =4 且在圆 x +y =4 上的点 P 的 坐标. 考点: 专题: 分析: 解答: 圆的标准方程. 直线与圆. 2 2 先求出满足 PA ﹣PB =4 的点 P 的轨迹方程,再与圆的方程联立,即可取得 P 的坐标. 解:设 P(x,y) ,
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∵ PA ﹣PB =4, 2 2 2 2 ∴ (x+1) +y ﹣x ﹣(y﹣1) =4, 即 x+y﹣2=0. 由 ,

2

2

可得





点评:

∴ 所求 P 的坐标为(0,2)或(2,0) . 本题考查点的轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于基础题.

23. (10 分)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥ AC,AB=AC=2A1A=4,点 D 是 BC 的中点; (I)求异面直线 A1B,AC1 所成角的余弦值; (II)求直线 AB1 与平面 C1AD 所成角的正弦值.

考点: 专题: 分析:

异面直线及其所成的角;直线与平面所成的角. 空间位置关系与距离. (I)以 < , , ,

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为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 A﹣xyz,可得



的坐标,可得 cos

>,可得答案; =(2,0,﹣4) ,
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(II)由(I)知,

=(1,1,0) ,设平面 C1AD 的法向量为 =(x,y,z) ,



可得 =(1,﹣1, ) ,设直线 AB1 与平面 C1AD 所成的角为 θ,则 sinθ=|cos<



>|= 解答:

,进而可得答案. , , 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 A﹣xyz,

解: (I)以

则可得 B(2,0,0) ,A1(0,0,4) ,C1(0,2,4) ,D(1,1,0) , ∴ =(2,0,﹣4) , , >= =(0,2,4) , =

∴ cos<

∴ 异面直线 A1B,AC1 所成角的余弦值为: ; (II)由(I)知, =(2,0,﹣4) , =(1,1,0) ,

设平面 C1AD 的法向量为 =(x,y,z) , 则可得 ,即 ,取 x=1 可得 =(1,﹣1, ) ,

设直线 AB1 与平面 C1AD 所成的角为 θ,则 sinθ=|cos< ∴ 直线 AB1 与平面 C1AD 所成角的正弦值为: 点评:

, >|=

本题考查异面直线所成的角,以及直线与平面所成的角,建立空间直角坐标系是解决问题的关键,属 中档题.
2

24. (10 分)如图,设抛物线 x =2py(p>0) ,M 为直线 y=﹣2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B.求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列.

考点: 专题: 分析: 解答:

抛物线的应用. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 设出 A,B 的坐标,对抛物线的方程进行求导,求得 AM 和 BM 的斜率,因此可表示出 MA 的直线 方程和直线 MB 的方程,联立求得 2x0=x1+x2.判断出三者的横坐标成等差数列.
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证明:由题意,设 A( 由 x =2py 得
2

) ,B(

) (x1<x2) ,M(x0,﹣2p) .

,得 y′= ,
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所以



. ,直线 MB 的方程为 .

因此直线 MA 的方程为

所以,

① ,



由① 、② 得

,因此

,即 2x0=x1+x2.

点评:

所以 A,M,B 三点的横坐标成等差数列. 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题,考查学生知识的灵活运用的能力和基本的计算的能力, 属于中档题.

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