2013自主招生数学讲义04

不及硅步,无以至千里

2013 自主招生考试专题三: 不等式
【知识要点】 1. 比较大小; 2. 解不等式; 3. 不等式的证明; 4. 均值不等式; 5. 柯西不等式; 6. 含绝对值的不等式; 7. 最值问题; 8. 凸函数及其应用; 9. 最优化问题。 【例题讲解】
? n ?? n ? ? n ? 例 1. 证明柯西不等式: ? ? ai2 ÷? ? bi2 ÷ ? ? ? ai bi ÷ 。 è i =1 ?è i =1 ? è i =1 ?
2

例 2. 已知二次函数 f ( x ) = ax + bx + c 满足: x ? 1 时, f ( x ) ? 1 。
2

求证:(1) x ? 1 时, ax + b ? 2 ; (2) x ? 1 时, 2ax + b ? 4 ; (3) x ? 1 时, cx 2 + bx + a ? 2 ; (4)

f ( 2) ? 7 ;

(5) x ? 2 时, f ( x ) ? 7 。

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例 3. (2008,浙大) x

> 0, y > 0, a = x + y, b = x 2 + xy + y 2 , c = m xy ,问:是否

存在正数 m ,使得对于任意正数 x, y ,以 a, b, c 为边可构成三角形?如果存在,求出 m 的值, 不存在,说明理由。

例 4. (2009,南开)P 为△ABC 内一点,它到三边 BC, CA, AB 的距离分别为 d1 , d 2 , d 3 ,S 为△

a b c (a + b + c) 2 + ? . ABC 的面积。求证: + d1 d 2 d3 2S

例 5. (2010, 浙大) 有小于 1 的正数 x1 , x2 ,L , xn 满足 x1 + x2 + L + xn = 1 。 求证:

?x -x
i =1 i

n

1

3 i

> 4。

例 6. 设 x, y, z 为 3 个不全为零的实数,求

xy + 2 yz 的最大值。 x + y2 + z2
2

例 7. 已知非负实数 x, y , z , w 满足 x 2 + y 2 + z 2 + w2 + x + 2 y + 3 z + 4 w =

17 ,试求 2

x + y + z + w 的最大最小值。

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例 8. (2012, 华约)已知实数 xi ? [ -6,10] , i = 1, 2,L ,10, 有多少个—6?

? xi = 50 。当 ? xi2 取得最大值时,
i =1 i =1

10

10

例 9. 设 0 < a1 < a2 < L < a9 ,证明:

a1 + a2 + L + a9 < 3。 a3 + a6 + a9

例 10. 实 数 ai , bi , i = 1, 2,3 满 足 a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 , a1a2 + a2 a3 + a3 a1 = b1b2 + b2b3

+b3b1 , min {a1 , a2 , a3 } ? min {b1 , b2 , b3 } ,求证: max {a1 , a2 , a3 } ? max {b1 , b2 , b3 } 。

【巩固练习】 : 1. (2007,复旦)给定正整数 n 和正常数 a ,对于满足不等式 a1 + an +1 ? a 的所有等差数
2 2

列 {an } ,和式

2 n +1

i = n +1

?a

i

的最大值为(

)

A.

10a ( n + 1) 2

B.

10a n 2

C.

5a ( n + 1) 2

D.

5a n 2

1 ì 2 x + 2 ax + 5 ? , ? ? 3 2. (2009,交大)已知不等式组 í 有唯一解,则 a = _____________ 。 7 2 ? x + 2ax + 5 ? ? ? 2
3. (2009,清华)已知 x, y, z > 0, a, b, c 是 x, y, z 的一个排列。求证:

a b c + + ? 3。 x y z

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4. 正数 a, b, c 满足 a + b + c = 1 ,求 (a + ) 2 + (b + ) 2 + (c + ) 2 的最小值。

1 a

1 b

1 c

5. (2008,浙大)设 a > 0, b > 0 ,求证:

? a + kb <
k =1

n

1

n 1 2n + 1 (a + b)(a + b) 2 2



6. 设 m, n ? N + ,m < 2n ,证明:

m 1 ? ? < 2 ?1 - 2 ÷ 。 n è 4n ?

7. (2000,交大)已知正数数列 {an } 对于大于 1 的 n ,有

? ai =
i =1

n

n 3 n +1 ,试证: n, ? ai = 2 i =1 2

a1 , a2 ,L , an 中至少有一个小于 1.

8. (2008,浙大)在△ABC 中,证明: cos B + cos C +

2a A ? 4sin . b+c 2

9. (2009,北大)已知对 "x ? R , a cos x + b cos 2 x ? -1 恒成立,求 (a + b) max 。

10. (2012,清华)在 V AOB 内(含边界) ,其中 O 为原点,A 在 y 轴正半轴上,B 在 x 轴 正半轴上,且 OA = OB = 2 。 (1) 用方程表示 V AOB 的区域; (2) 求证:在 V AOB 内的任意 11 个点,总可以分成两组,其中一组的横坐标之和不大于 6, 另一组的纵坐标之和不大于 6。
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