2013自主招生数学讲义03

不及硅步,无以至千里

2013 自主招生考试专题二: 数列
【知识要点】 1. 等差、等比数列的性质; 2. 递推数列; 3. 数列的通项与前 n 项和; 4. 数列与不等式; 5. 数列的应用 【例题讲解】 1. 在等差数列 {an } 中, S m = n, S n = m ,其中 m, n ? N* , m ? n ,则 S m + n = ____ 。

2. (2008,清华)试指出在 [ a, b], a, b ? N 内,分母为 3 的所有不可约的有理数有多少个?并
*

求它们的和。

3. n ( n ? 4) 个正数排成如下形式:
2

a11 a31

a12 a32

a13 a23 a33 a43

a21 a22 a41 a42

a24 L a2 n a44 L a4 n a34 L a3n
其中每行成等差数列, 每列成等比数列, 并且所有的公比相等,

a14 L a1n

L L an1 an 2

L an 3

L L L an 4 L ann

已知 a24 = 1, a42 =

n 1 3 , a43 = , 求 ? akk . 8 16 k =1

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2 4.2007, ( 复旦) 给定正整数 n 和正数 M, 对于满足 a12 + an +1 ? M 的所有等差数列 a1 , a2 , a3 ,L ,

试求 S = an +1 + an + 2 + ... + a2 n +1 的最大值。

5.解递推数列: 1) a1 = c, an +1 = pan + q ( p ? 0) ; 2) a1 = 1, an +1 = 3an - 2n 2 + 4 n + 4 ; 3) a1 = 24, an +1 = -2an + 4 × 3n -1 ; 4) a1 = 3, a2 = 8, an + 2 = 2an +1 + 2an ;

6. (2009,科大)正数数列 {xn },{ yn } 满足: xn + 2 = 2 xn +1 + xn , yn + 2 = yn +1 + 2 yn , n ? N* , 证明:存在正整数 n0 ,对任意 n > n0 ,有 xn > yn 成立。

7. (2007,武大)设二次函数 y = f ( x ) 过点 (0, 0) ,且满足 -3 x 2 - 1 ? f ( x) ? 6 x + 2 。数列

1 {an } 满足: a1 = , an +1 = f (an ) 。 3
(1)确定 f ( x ) 的表达式; (2)证明: an +1 > an ; (3)证明:

? 0.5 - a
i =1

n

1

? 3n +1 - 3.

i

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8. 设等差数列 {an } 中包含 1 和 2 ,证明:数列 {an } 中任三项不成等比数列。

9. (2011,华约)已知函数 f ( x ) = (1) 求数列 { xn } 的通项公式; (2) 证明: x1 x2 L xn >

2x , f (1) = 1, ax + b

1 ?1? 2 f ? ÷ = ,令 x1 = , xn +1 = f ( xn ) 。 2 è2? 3

1 。 2e

【巩固练习】 : 1.(2009, 复旦) 已知 x - (tan q + cot q ) x + 1 = 0(0 < q < p ) , 且满足 x + x + x + L =
2
3 5

3 , 2

则 q 的值为( A.

) B.

p 5p , 6 6

p p , 6 3

C.

p 2p , 3 3

D.

p 2p p 5p , , , 3 3 6 6

2. (2012,复旦)设 x0 = 0, x1 = 1, xn +1 = 3. (2005,复旦) 1 + 3 + 6 + L + 4. ê

xn + xn -1 ,则数列 { xn } 的极限为_______________。 2

n( n + 1) = __________________ 。 2

é 80 1 ù ? ú = ________________ 。 ? i =1 i ?

5. (2007,交大)

? k × k ! = ______________ 。
k =1

n

1,

2, 3, 4, L , n + 1 6. 求 3, 4, 5, L , n + 2 这 n 2 个数的和。 L L n, n + 1, n + 2, L , 2n - 1

2, 3, L ,

n

6. (2007,交大)已知等差数列 {an } 的首项为 a ,公差为 b ,等比数列 {bn } 的首项为 b ,公 比为 a ,其中 a, b ? N* ,且 a1 < b1 < a2 < b2 < a3 。
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(1)求 a 的值; (2)若对于 {an },{bn } ,存在关系式 am + 1 = bn ,求 b 的值; (3)对于满足(2)中的关系式的 am ,求 a1 + a2 + L + am 。

7. (2009,湖北)证明:方程 2 x + 5 x - 2 = 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增的
3

正整数数列 {an } ,使得

2 = r a1 + r a2 + L + r an + L 。 5

8. 设 f ( n) =
3

1

( n + 1)

2

+ n -1 +
3 2

3

( n - 1)

2

,求 f (1) + f ( 3) + L + f ( 999999 ) 的值。

9. (2009, 华南) 已知 a 2 + a - 1 = 0, b 2 + b - 1 = 0, a < b , a1 = 1, a2 = b, an +1 + an - an -1 = 0 , 设

bn = an +1 - a × an 。
(1)证明: {bn } 为等比数列; (2)求 an ; (3)设 c1 = c2 = 1, cn + 2 = cn +1 + cn ,证明:当 n ? 3 时,有 (-1) n (cn - 2 a + cn b) = b n -1 。

10. (2009,南开)N 个圆至多将平面分成多少个部分?N 个球至多将空间分成多少个部分?

11. 证明:可以把正整数集分拆成 2 个子集 A 和 B,使得 A 中任意 3 个数都不成等差数列,且 不存在 B 中的无穷多个数构成的等差数列。

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