河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.3.2函数的奇偶性1,2两课时课件 新人教A版必修1 _图文

课题导入 观察下列两组函数 (1)f(x)=x2 与 f(x)=|x|; (2)f(x)=-x 与 f(x)=1x. [问题 1] 试分别作出它们的图象. [提示] [问题 2] 它们的图象有什么特征? [提示] f(x)=x2,f(x)=|x|的图象关于 y 轴对称,而 f(x)=-x,f(x)=1x关于原点对称. [问题 3] 对于上述函数 f(-x)与 f(x)有什么关系? [提示] 对于函数 f(x)=x2,f(-x)=x2,f(-x)=f(x) 对于函数 f(x)=|x|,f(-x)=|-x|=|x|,f(-x)=f(x) 对于函数 f(x)=-x,f(-x)=x,f(-x)=-f(x) 对于函数 f(x)=1x,f(-x)=-1x,f(-x)=-f(x). 1.3.2函数的奇偶性 目标引领 1.了解函数奇偶性的含义.(难点) 2.掌握判断函数奇偶性的方法.(重点、难点) 3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系 .(易混点) 独立自学 1.奇函数和偶函数的定义是什么? 2.奇函数与偶函数的对称性是怎样的? 3.如何判断一个函数是奇函数还是偶函数? 引导探究一 1.偶函数的定义: 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内__任__意____ 一个 x,都有__f(_-__x_)_=__f_(x_)__,那么函数 f(x)就叫 做偶函数. 2.奇函数的定义: 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内__任__意____ 一个 x,都有_f_(_-__x_)=__-__f_(_x_)_,那么函数 f(x)就叫 做奇函数. 3.奇、偶函数的图象特征 (1)奇函数的图象关于___原__点____成中心对称图形; 反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中 心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)偶函数的图象关于___y_轴_____对称;反之,如果 一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函 数. 对奇、偶函数的理解 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称,若x是定义 域中的一个数值,则-x也必然在定义域中,因此 函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条 件是定义域关于原点对称. (2)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的 ,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲 ,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性 是函数的“整体”性质. (3)如果奇函数y=f(x)的定义域内有零,则由奇函数 的定义知f(-0)=-f(0),即f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 例 1.下列函数为奇函数的是( ) A.y=-|x| B.y=2-x C.y=x13 D.y=-x2+8 解析: A、D两项,函数均为偶函数,B项中函 数为非奇非偶,而C项中函数为奇函数. 答案: C 例2.已知函数f(x)=x4,则其图象( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 解析: f(-x)=(-x)4=x4=f(x) ∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称. 答案: B 3.已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a= ________. 解析: 由奇函数定义有f(-x)+f(x)=0,得a( -x)2+2(-x)+ax2+2x=2ax2=0,故a=0. 答案: 0 4.已知函数 f(x)=x+mx ,且 f(1)=3. (1)求 m; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 解析: (1)∵f(1)=3,即 1+m=3, ∴m=2. (2)由(1)知,f(x)=x+2x,其定义域是{x|x≠0},关于 原点对称, 又 f(-x)=-x+-2x=-????x+2x????=-f(x),所以此函数 是奇函数. 引导探究二 判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=1x-x; (2)f(x)=|x-2|+|x+2|; (3)f(x)=xx2++22x; ?1+x ?x>0? (4)f(x)=??1-x ?x<0? . [思路点拨] (1)f(x)的定义域为{x|x≠0}, 又 f(-x)=-1x-(-x)=-1x+x=-????1x-x????=-f(x). ∴f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是 R, 又 f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x), ∴f(x)是偶函数. (3)函数 f(x)的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞), 不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原 点对称. 当 x>0 时,-x<0, f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x). 综上可知,对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有 f(-x)=f(x),f(x)为偶函数. 判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法: (1)定义法:若函数定义域不关于原点对称,则 函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对 称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判 断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性. , (2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数 为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为 偶函数. 1.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= x-1+ 1-x; (2)f(x)=|x|+ x2; (3)f(x)=x23+x 3; (4)f(x)= 1-x2+ x2-1. ?x-1≥0 解析: (1)∵??1-x≥0, ∴x=1.定义域为{1}. 不关于原点对称,∴函数 f(x)为非奇非偶函数. (2)f(x)=|x|+ x2=2|x|, 定义域为 R, 关于原点对称,具有 f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x), ∴f(x)为偶函数. (3)f(x)的定义域是 R, 又 f(-x)=?

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