2017年春季学期新人教A版高中数学必修5学案 3.4 基本不等式(第1课时)

3.4 学习目标 基本不等式:(第 1 课时) 1.了解代数与几何两方面背景,用数形结合的思想理解基本不等式. 2.掌握从不同角度探索基本不等式的方法. 3.从基本不等式的证明过程中进一步体会不等式证明的常用思路. 合作学习 一、设计问题,创设情境 第 24 届国际数学家大会于 2002 年在北京召开,右面是大会的会标,其中的图案大家见过 吗?在此图中有哪些几何图形 ?你能发现图形中隐含的不等关系吗 ?若我们设图中直角三角形 的直角边分别为 x,y,你能用 x,y 表示四个直角三角形的面积和吗?你能用 x,y 表示大正方形的 面积吗?根据图形,比较四个直角三角形的面积和与大正方形的面积的不等关系,写出不等式. 二、信息交流,揭示规律 问题 1:当四个直角三角形边长可以变化时,四个直角三角形的面积和与大正方形的面积 有没有可能相等?相等时,图形产生了怎样的变化? x,y 有什么关系? 问题 2:以上结论我们是在几何图形中的面积关系获得的 .同学们能否运用代数的方法对 这个结论进行证明? 问题 3:同学们对结论中的“当且仅当”如何理解?如果我们使用两个正数 a,b 分别代替 x ,y ,那么,以上结论我们可以写成什么形式? 2 2 问题 4:对这个结论,我们能否进行证明? 问题 5:结论(1)我们是在赵爽弦图中发现的,那么,我们能不能找到结论(2)的几何解释呢? 同学们来看这个问题:如图 AB 是圆 O 的直径,点 C 是线段 AB(除 A、 B 外)上任意一点,过点 C 作 垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD,BD.试以 a,b 表示 CD,OD 的长度并比较两者的大小. 问题 6:什么时候等号成立?做出怎样的解释呢? 问题 7:对于一个公式,我们首先要观察结构、进行记忆。同学们观察基本不等式两边,你 想到了原来学过的哪些知识? 三、运用规律,解决问题 【例 1】下列各式错误的是( A.(a>0,b>0) B.x+≥2(x>0) D.(0<x<1) ) C.+sinx≥4(0<x<π ) 【例 2】已知 x,y 都是正数,求证≥2. 四、变式训练,深化提高 变式训练:已知实数 a,b>0,试比较的大小关系,并给出证明. 五、反思小结,观点提炼 1.本节课你学到了哪些数学知识和数学方法? 2.本节课你能感受到哪些数学思想? 参 考 答 案 一、设计问题,创设情境 见过.这是赵爽弦图.在初中曾用它证明过勾股定理.直角三角形和正方形.三边的不等关 系. x +y ≥2xy 或 x +y >2xy. 问题 1:有可能相等;四个直角三角形的直角顶点会重合;此时 x=y. 结论(1):重要不等式:对任意实数 x,y,我们有 x +y ≥2xy,当且仅当 x=y 时,等号成立. 2 2 2 2 2 2 问题 2:证明:(作差法)因为 x +y -2xy=(x-y) ≥0, 所以 x +y ≥2xy. 当且仅当 x=y 时,等号成立. 问题 3:当 x=y 时,并且只有 x=y 时,等号成立. 结论(2):基本不等式:若 a>0,b>0,可得 a+b≥2,通常记为,当且仅当 a=b 时,等号成立. 问题 4:能. 问题 5:CD=,OD=,由图可得:CD=≤OD=. 问题 6: a=b 时,等号成立;圆内半弦不超过半径. 问题 7:有的同学会回答平均数;有的同学可能会回答等比中项、等差中项. 是我们平时求平均数的方法 ,我们称之为算数平均数 ;我们称为几何平均数 .基本不等式 我们可以解释为几何平均数不大于算术平均数,这是它的代数解释. 三、运用规律,解决问题 【例 1】C 【例 2】证明:因为 x,y 都是正数, 所以≥2=2. 当且仅当,即 x=y 时,等号成立. 四、变式训练,深化提高 变式训练:解:显然成立. 因为 a +b ≥2ab,所以≥ab,故. 因为≤0, 所以. 综上可知,当且仅当 a=b 时,等号成立. 五、反思小结,观点提炼 1.重要不等式、基本不等式;作差法证明不等式. 2.化归思想、数形结合思想. 2 2 2 2 2 2 2

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