高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.3空间中的垂直关系优化训练新人教B版必修2

苏子愀然 ,正襟 危坐, 而问客 曰:“ 何为其 然也? ”客曰 :“‘ 月明星 稀,乌 鹊南飞 。’此 非曹孟 德之诗 乎?西 望夏口 ,东望 武昌, 山川相 缪,郁 乎苍苍 ,此非 孟德之 困于周 郎者乎 ?方其 破荆州 ,下江 陵,顺 流而东 也,舳 舻千里 ,旌旗 蔽空, 酾酒临 江,横 槊赋诗 ,固一 世之雄 也 ,而今安 在哉? 1.2.3 空间中的垂直关系 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么 这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为( ) A.m ? α ,m∩n=B,l⊥n,l⊥m ? l⊥α B.m ? α ,n ? α ,m∩n=B,l⊥m,l⊥n ?l⊥α C.m ? α ,n ? α ,m∩n=B ?l⊥n,l⊥m,l⊥α D.m ? α ,n ? α ,l⊥m,l⊥n ?l⊥α 解析:将文字语言转化为集合符号语言时,比较好的方法是边读题,注意各个要求,边画图, 同时用符号表示出来,它们同步进行,可以避免漏条件.另外由于这是一道选择题,也可以 从选项入手排除错误选项,确定正确答案. 答案:B 2.关于直线 m、n 与平面 α 、β ,有下列四个命题: ①m∥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m∥n;②m⊥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m⊥n; ③m⊥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m⊥n;④m∥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m∥n. 其中真命题的序号是( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 解析:①若 m∥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m∥n 为假命题,可能出现直线相交的情况;④若 m∥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m∥n 为假命题,可能出现直线相交的情况. 在①④的条件下,m、n 的位置关系不确定. 答案:D 3.PA⊥正方形 ABCD 各边,连结 PB、PC、PD、AC,则互相垂直的平面有_____________对. 解析:由已知可得,PA、AB、AD、BC、CD 均是某个平面的垂线,平面 PAB⊥平面 ABCD,平 面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAB⊥平面 PAD,平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PAD⊥平面 PDC,平面 PAC⊥平面 ABCD. 答案:6 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面.下列叙述正确的是( ) A.m⊥α ,n ? β ,m⊥n ?α ⊥β B.α ∥β ,m⊥α ,n∥β ?m⊥n C.α ⊥β ,m⊥α ,n∥β ?m⊥n D.α ⊥β ,α ∩β =m,n⊥m ?n⊥β 解析:此类题采用排除法解题,通过很好地找出反例,从而准确地判断出直线与直线、直线 与平面、平面与平面的位置关系. 答案:B 2.设 a、b 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若 a∥b,a∥α ,则 b∥α B.若 α ⊥β ,a∥α ,则 a⊥β C.若 α ⊥β ,a⊥β ,则 a∥α D.若 a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则 α ⊥β 解析:对于 A,直线 b 可能在平面 α 内;对于 B,直线 a 可能与平面 β 斜交;对于 C,直 线 a 可能在平面 α 内.因此,选 D. 苏子愀然 ,正襟 危坐, 而问客 曰:“ 何为其 然也? ”客曰 :“‘ 月明星 稀,乌 鹊南飞 。’此 非曹孟 德之诗 乎?西 望夏口 ,东望 武昌, 山川相 缪,郁 乎苍苍 ,此非 孟德之 困于周 郎者乎 ?方其 破荆州 ,下江 陵,顺 流而东 也,舳 舻千里 ,旌旗 蔽空, 酾酒临 江,横 槊赋诗 ,固一 世之雄 也 ,而今安 在哉? 答案:D 3.如图 1-2-3-1,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PA=a,PB=PD=2a, 则它的五个面中,互相垂直的面是_____________. 图 1-2-3-1 图 1-2-3-2 解析:由勾股定理逆定理得 PA⊥AD,PA⊥AB,∴PA⊥面 ABCD,PA⊥CD,PA⊥CB.由直线与平面垂 直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论. 答案:平面 PAB⊥平面 PAD,平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD⊥平面 PCD. 4.如图 1-2-3-2,已知 a∥α ,a⊥β .求证:α ⊥β . 解析:已知条件中已经有一条直线 a 与平面 β 垂直,可以想到利用线面平行的性质定理, 过 a 作辅助平面去截平面 α ,从而在平面 α 内找一条与直线 a 平行的直线. 证明:过 a 作一平面 γ ,设 γ ∩α =a′, ∵a∥α ,则 a∥a′. 又∵a⊥β ,则 a′⊥β , 又∵a′ ? α ,由面面垂直的判定定理知 α ⊥β . 5.如图 1-2-3-3,四棱锥 P—ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 是正三角形,且侧面 PAD⊥底面 ABCD,E 是侧棱 PD 的中点. 图 1-2-3-3 (1)求证:PB∥平面 EAC; (2)求证:AE⊥平面 PCD. 解析:(1)要证线面平行,只需在面 EAC 中找一直线与 PB 平行即可. (2)只需在 PCD 中找两条相交直线与 AE 垂直即可. 证明:(1)连结 BD,BD∩AC=O,连结 EO,则 EO 为△PDB 的中位线,则 PB∥EO.所以 PB∥平面 EAC. (2) 平面PAD ? 平面ABCD ? 矩形ABCD ? CD ? AD?? ? CD⊥平面 PAD ?CD⊥AE. EP ? ED? 正?PAD ? ? ? AE⊥PD,则 AE⊥平面 PCD. 6.如图 1-2-3-4 所示,已知

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