2017-2018学年高中数学北师大版必修5名师讲义:第一章: 1-4 数列在日常经济生活中的应用 含答案 精品

数列在日常经济生活中的应用 预习课本 P32~36,思考并完成以下问题 (1)日常生活中银行存款计息的单利和复利各指什么? (2)“零存整取”储蓄业务的含义是什么? (3)“定期自动转存”储蓄业务的含义是什么? (4)什么是“分期付款”? [新知初探] 单利与复利 (1)单利与复利的计算方法: 名称 单利 复利 名称 单利 复利 息和(简称本利和) 计算方法 仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,即利息=本金×利 率×存期 把上期末的本利和_作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额不同 计算公式 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利 S=P(1+nr) S=P(1+r)n (2)单利与复利的计算公式: [小试身手] 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“零存整取”储蓄业务的数学模型是等差数列.( ) ) ) (2)“定期自动转存”储蓄业务的数学模型是等比数列.( (3)同一笔钱用单利计息和复利计息的收益是一样的.( 答案:(1)√ (2)√ (3)× 2. 按活期存入银行 1 000 元, 年利率是 0.72%, 那么按照单利, 第 5 年末的本利和是( ) A.1 036 元 C.1 043 元 B.1 028 元 D.1 026 元 解析:选 A 本利和为 1 000+0.72%×5×1 000=1 036. 1 3.计算机的成本不断降低,若每隔 3 年计算机价格降低 ,现在价格为 8 100 元的计算 3 机,9 年后的价格可降为( A.900 元 C.2 400 元 1 2 首项为 a1,公比为 1- = , 3 3 2?3 求 a4,则 a4=8 100×? ?3? =2 400. 4.年利率 10%,每年复利一次,希望在 6 年后得到本利和 1 000×1.16 元,则本金应 是________元. 解析:设本金是 a 元,则 a(1+10%)6=1 000×1.16, ∴a=1 000. 答案:1 000 ) B.1 800 元 D.3 600 元 解析:选 C 把每次降价看做一个等比数列, 单利计算问题 [典例] 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从 8 月 1 号开始,每个 月的 1 号都存入 100 元,存期三年.已知当年“教育储蓄”存款的月利率是 2.7‰. 问到期 时,李先生一次可支取本息多少元? [解] 100×36+100×2.7‰× ?36+1?×36 =3 779.82(元). 2 ∴到期时,李先生一次可支取本息 3 779.82 元. 等差数列模型解读 (1)单利的计算是仅在原有本金上计算利息,而本金所产生的利息不再计算利息,其公 式为 利息=本金×利率×存期, 本利和=本金×(1+存期×利率). 零存整取是等差数列求和在经济方面的应用. (2)在数列应用题中,若 an+1 与 an 的关系满足 an+1-an=d(d 为常数)时,则可以应用等 差数列模型解决. [活学活用] 本例中:若已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是 1.725‰. 问李先生办理 “教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元?(注:零存整取要收 20%的利息税) ?36+1?×36 解:100×36+100×1.725‰× ×(1-20%)=3 691.908(元). 2 3 779.82-3 691.908=87.912(元). ∴“教育储蓄”比“零存整取”多收益 87.912 元. 复利计算问题 [典例] 某家庭打算以一年定期的方式存款,计划从 2016 年起,每年年初到银行新存 入 a 元,年利率 p 保持不变,并按复利计算,到 2026 年年初将所有存款和利息全部取出, 共取回多少元? [解] 设从 2016 年年初到 2025 年年初每年存入 a 元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10). 则 a1=a(1+p)10,a2=a(1+p)9,…,a10=a(1+p),故数列{an}(1≤n≤10)是以 a1=a(1 +p)10 为首项,q= 1 为公比的等比数列. 1+p 所以 2026 年初这个家庭应取出的钱数为 1 a?1+p?10?1-?1+p?10? S10= ? ? 1 1- 1+p a = [(1+p)11-(1+p)](元). p 等比数列模型解读 (1)复利的计算是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是 不同的.复利的计算公式为:本利和=本金×(1+利率)n. 定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的应用. an+1 (2)在数列应用题中,通过阅读题目题意,发现 an+1 与 an 之间的关系满足 a =q (q 为 n 常数,且 q≠0),则数列{an}为等比数列.故这一类题目可用等比数列的模型解决. [活学活用] 某牛奶厂 2016 年初有资金 1 000 万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率 可达到 50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产.这家牛奶厂每年 应扣除多少消费基金,才能实现经过 5 年资金达到 2 000 万元的目标? 解:设这家牛奶厂每年应扣除 x 万元消费基金. 2016 年底剩余资金是 1 000(1+50%)-x; 2017 年底剩余资金是[1 000(1+50%)-x]· (1+50%)-x=1 000(1+50%)2-(1+50%)x -x; …… 5 年后达到资金 1 000(1+50%)5-(1+50%)4x-(1+50%)3x-(1+50%)2x-(1+50%)x=2 000, 解得 x≈459(万元). 故这家牛奶厂每年应扣除 459 万元的消费基金. 分期付款问题 [典例] 陈老师购买安居工程集资房 92 平方米,单价为 1 000 元/平方米,一次性国家 财政补贴 28 800 元,学校补贴 14 400 元,余款由个人负担.房地产开发

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