新人教A版高中数学(选修4-5)《绝对值不等式的解法》ppt课件_图文

2 绝对值不等式的解法

我们知道, 对于不等式| x |? 1,由绝对值的 几何意义, 它的解集是数轴上到原 点距离 小于 1 的点的集合,即 ?? 1,1 ? ; 对于不等式 | x |? 1 ,由绝对值的几何意义 , 它的解集是 数轴上到原点距离大于 1 的点的集合, 即 ?? ?,1? ? ?1,??? .

一般地, 如果a ? 0, 那么从绝对值的几何意 义看, | x |? a表示数轴上到原点距离 小于a的点的集合, | x |? a表示到原点距离大于 a的点的集合,因而 | x |? a ? ? a ? x ? a; ??? | x |? a ? x ? ? a或x ? a.

因此 , 不等式 | x |? a 的解集是?? a, a ?; 不等式 | x | ? a 的解集是?? ?,? a ? ? ?a,???.在数轴上表示如 下 ?图 1.2 ? 8 ? :
?a
O

a

x

| x |? a
图1.2 ? 8

?a

| x |? a

O

a

x

???, 是解其他绝对值不等式 上述绝对值不等式 的基础, 即其他绝对值不等式的 解一般可以通过转化为 上述不 等式而得到.例如, a 是一个正实数, 对于绝对值不等式 | x ? x1 |? a ( 或 | x ? x1 |? a ) , 我们有
| x ? x1 |? a ? ?a ? x ? x1 ? a ? x1 ? a ? x ? x1 ? a ; | x ? x1 |? a ? x ? x1 ? ?a, 或x ? x1 ? a ?

由于绝对值| x ? x1 | 的几何意义是数轴上坐 标为x 的点与坐标为 x1的点的距离 , 所以,以上不等式的解 可以在数轴上表示出来 , 如图1.2 ? 9 所示 .
x1 ? a
x1

x ? x1 ? a, 或x ? x1 ? a .

x1 ? a

x

x1 ? a

x1

x1 ? a

x

| x ? x1 |? a

图1.2 ? 9

| x ? x1 |? a

利用上述???式及绝对值的几何意义 , 可以解一些含有绝对值 的不等式 .

?1? | ax ? b |? c和 | ax ? b |? c
型不等式的解法

例3 解不等式| 3 x ? 1 |? 2 .

解 由| 3 x ? 1 |? 2 , 得 ? 2 ? 3 x ? 1 ? 2, 解得 1 ? ? 1 ? ? x ? 1 , 因此 , 原不等式的解集为? x ? ? x ? 1 ? . 3 3 ? ?
从几何上看, 如果将 | 3 x ? 1 |? 2两边除以3, 得 1 2 1 x ? ? , 它的解集是数轴上到坐标为 的点的距 3 3 3 2 离不大于 的点的集 3 O x 1 1 ? 1 合, 如图1.2 ? 10所示. 3 3
图1.2 ? 10

例4 解不式| 2 ? 3 x |? 7 .
解 由| 2 ? 3 x |? 7 得| 3 x ? 2 |? 7,

所以3 x ? 2 ? ?7, 或3 x ? 2 ? 7, 5 从而 x ? ? 或 x ? 3 , 3 所以原不等式的解集为
? ? 5 ?x x ? ? 或 x ? 3 ?. 3 ? ?

探究 你能给出上述绝对值不 等式的 解的几何解释吗 ?

?2? | x ? a | ? | x ? b |? c和 | x ? a | ? | x ? b |? c 型不
等式的解法 例5 解不等式| x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5 . 分析 这个绝对值不等式 A1 A B B1 比较复杂 , 我们从它的几何 - 3 - 2 - 1 O 1 2 x 意义来分析 .如图1.2 ? 11, 设 图1.2 ? 11 数轴上与? 2 ,1 对应的点分 别是A, B, 那么不等式的解就是数 轴上到A, B两 点的距离之和不小于 5的点所对应的实数 .所以, 我们只要在数轴上确定 出具有上述特点的点的 位置, 就可以得出不等式的解 .

解法一 如图1.2 ? 11, 设数 A1 A B B1 x O -3 -2 -1 1 2 轴上与 ? 2 ,1 对应的点分别 图1.2 ? 11 为A, B那么 A, B两点的距离 是3,因此区间 ?? 2,1?上的数都不是原不等式 的解. 为了求出不等式的解 , 关键要在数轴上找出与 点 A, B 的距离之和为 5 的点.将点 A 向左移动 1个单 位到点 A1 , 这时有 | A1 A | ? | A1 B |? 5 ; 同理, 将点 B 向右移动 1个单位到点 B1 , 这时也有 | B1 A | ? | B1 B |? 5 ;

从数轴上可以看到 , 点A1与点B1之间的任何点到 点A, B的距离之和都小于 5; 点A1的左边或点 B1的

右边的任何点到 A, B的距 A1 A B B1 x O 离之和都大于 5 . -3 -2 -1 1 2 所以, 原不等式的解集是 图1.2 ? 11 ?? ?,?3? ? ?2,? ?? . 分析 上 述 解法, 可以发现 , 解 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? 5 时, 数轴上与? 2 ,1 对应的点A , B 把 实数 集分成 了三个区间?? ?,?2? , ?? 2,1? , ?1,??? , 先 分别在这 三个区间上讨论不等式 的 解 的情 况 , 然 后 把 它 们综合在一起就得到不 等式的解集. 事实上,以点A, B为分界点 , 将数轴分为三个区间 , 在这三个区间上 , 绝对值不等式可以转化 为不含 绝对值的不等式 .因此我们有如下解法 .

解法二 当x ? ?2时, 原不等式可以化为 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2? ? 5 , 解得x ? ?3, x ? ?2 , 即不等式组 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? 5
的解集是 ?? ?,?3 ?.

当? 2 ? x ? 1时, 原不等式可以化为 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2? ? 5 , 即3 ? 5 , 矛盾.
? 2 ? x ? 1, 所以不等式组 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5

的解集为 ? .

当x ? 1 时, 原不等式可以化为 ?x ? 1? ? ?x ? 2? ? 5 , 解得x ? 2, x ? 1, 即不等式组 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5 的解集是 ?2,???. 综上所述 , 原不等到的解集是 ?? ?,?3? ? ?2,???.
在学习函数知识 时我们知道,由函数 y ? f ? x ?的 零点与方程 f ? x ? ? 0 的根 的关系, 可以利用函数 ?近似?根.类似地, 我们也可以从函 图象求方程的 数的观点, 利用函数图象求不等式 的解集.

解法三 将原不等式转化 为 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?5 ? 0. 构造函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?5.即 ? 2 x ? 6 , x ? ?2 ; y ? ? 2, ? 2 ? x ? 1; 2x ? 4 , x ? 1.
?3
?2 ?1

y
3
2
1

O
-1
-2

1

2

x

图1.2 ? 12

作出函数的图象 ?图1.2 ? 12? ,它是分段线性函数 , 函数的零点是 ? 3,2 .从图象可知 ,当x ? ?? ?,?3? ? ?2,? ??时, 有y ? 0, 即 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?5 ? 0.所以原 不等式的解集是 ?? ?,?3? ? ?2,? ???.

思考 例5 中给出了三种解绝对值 不等式的方法 , 你能概括一下它们各自 的特点吗?

从例 5 的解题过程可以看到 , 上述三种方法各 有特点. 解法一利用了绝对值不 等式的几何意义 , 体现 了数形结合思想 .从中可以发现 , 理解绝对值的 几何意义, 给予绝对值不等式以准 确的几何解 释是解题关键 . 解法二利用| x ? 1 |? 0, | x ? 2 |? 0 的解, 将数轴分 成三个区间 , 然后在这三个区间上将 原不等式 转化为不含绝对值的不 等式而解之, 体现了分

类讨论思想 .从中可以发现 ,以绝对值的 " 零点" 为分界点 , 将数轴分为几个区间的 目的是为了 确定各个绝对值中的多 项式的符号 , 进而去掉 绝对值符号 .
解 法 三 通过 构 造函数, 利用函数图象 , 体现了 函数和方程的思想 .从中可以发现 , 正确求出函 数的零点并画出函数图 象(有时需要考察函数 的增减性)是解题的关键 .
探究 | x ? a | ? | x ? b |? c 型不等式的解法与 | x?a|? | x ? b |? c型不等式的解法完全类 似, 你能用一个具体 例子说明吗?


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