(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 第46课 数列求和(1) 文

第 46 课 数列求和(1)
1.(2012 北京年西城二模)某大楼共有 12 层,有 11 人在第 1 层上了电梯,他们分别要去第 2 至第 12 层, 每层 1 人.因特殊原因,电梯只允许停 1 次,只可使1 人如愿到达,其余 10 人都要步行到达所去的楼层.假 设这 10 位乘客的初始“不满意度”均为 0 ,乘客每向下步行1 层的“不满意度”增量为1 ,每向上步行 1 层 的“不满意度”增量为 2 , 10 人的“不满意度”之和记为 S ,则 S 的最小值是( C ) A. 42 B. 41 C. 40 【解析】C 【解析】设有 x 向上步行,则向下有 10 ? x 人, D. 39

S ? 2(1 ? 2 ? ??? ? x) ? [1 ? 2 ? ??? ? (10 ? x)]

? x(1 ? x) ?

(1 ? 10 ? x)(10 ? x) 2

110 ? 19 x ? 3x 2 ? 2

?

3( x ?

19 2 19 ) ? 110 ? 3 ? ( ) 2 6 6 , 2

* ∵ x ? N ,且 x ? 10 ,∴当 x ? 3 时, Smin ? 40 .

2. (2012 西城一模)已知集合 A ? {x | x ? a0 ? a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? a3 ? 2 } ,其中 ak ?{0,1} (k ? 0,1, 2,3) ,
2 3

且 a3 ? 0 .则 A 中所有元素之和是( A. 120 【答案】C B. 112

) C. 92 D. 84

【解析】∵ ak ?{0,1} (k ? 0,1, 2,3) ,且 a3 ? 0 . , ∴ x ? a0 ? a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? 8 ,
2

当 a0 ? a1 ? a2 ? 0 时, x ? 8 ; 当 a0 ? a1 ? 0, a2 ? 1 时, x ? 12 ; 当 a0 ? a2 ? 0, a1 ? 1 时, x ? 10 ; 当 a0 ? 1, a1 ? a2 ? 0 时, x ? 9 ; 当 a0 ? a1 ? 1, a2 ? 0 时, x ? 11 ; 当 a0 ? a2 ? 1, a1 ? 0 时, x ? 13 ; 当 a0 ? 0, a1 ? a2 ? 1 时, x ? 14 ; 当 a0 ? a1 ? a2 ? 1 时, x ? 15 ; ∴ A ? {8,9,10,11,12,13,14,15} ∴ A 中所有元素之和是

8(8 ? 15) ? 92 . 2


n 3. (2012 新课标高考)数列 {an } 满足 a n ?1 ? (?1) a n ? 2n ? 1,则 {an } 的前 60 项和为(

A.3690 【答案】D

B.3660

C.1845

D.1830

1

【解析】∵ a n ?1 ? (?1) n a n ? 2n ? 1, ∴ an ?1 ? (?1) n ?1 an ? 2n ? 1 , ∴ an ? 2 ? (?1) an ?1 ? 2n ? 1
n

? (?1)n [(?1)n ?1 an ? 2n ? 1] ? 2n ? 1
? ?a n ? (?1) n (2n ? 1) ? 2n ? 1 ,
n ∴ a n ? 2 ? a n ? (?1)(2n ? 1 ? 2n ? 1 , )

∴ an ?3 ? an ?1 ? (?1)n ?1 2n ? 1 ? 2n ? 3 , ( ) ∴ a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? a n ?3 ? ?2(?1) n ? 4n ? 4 , 设 k 为整数,∴ a4 k ?1 ? a4 k ? 2 ? a4 k ?3 ? a4 k ? 4

? ?2(?1)4 k ?1 ? 4(4k ? 1) ? 4 ? 16k ?` , 10
∴ S60 ?

K ?0

? (a4k ?1 ? a4k ?2 ? a4k ?3 ? a4k ?4 ) ? ? (16k ?`10) ? 1830 .
K ?0

14

14

4 .( 2012 四 川 高 考 ) 设 函 数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是 公 差 为
2 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a5 ? (

? 的 等 差 数 列 , 8

) D.

A. 0 【答案】D

B.

1 2 ? 16

C. ? 2

1 8

13 2 ? 16

【解析】∵数列 {an } 是公差为

? 的等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a5 ) ? 5? 8

∴ 2(a1 ? a2 ? ? ? a5 ) ? (cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 ) ? 5? ∴ (cos a1 ? cos a 2 ? ? ? cos a5 ) ? 0,

2 ? ∴ (a1 ? a 2 ? ? ? a5) 2 ? 5a3 ? 5? ,∴ a3 ?
2

?
2

, a1 ?

?
4

, a5 ?

3? 4

∴ [ f (a3 )] ? a1a3 ? (2a3 ? cos a3 ) ? a1 a5 ? ? ?
2 2

3? 2 13? 2 ? . 16 16

5. (2012 门头沟一模) 已知等差数列 {an } 中,a2 ? a4 ? 10 ,a5 ? 9 , 数列 {bn } 中,b1 ? a1 ,bn ?1 ? bn ? an . (1)求数列 {an } 的通项公式,写出它的前 n 项和 S n ;

2

(2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)若 cn ?

2 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . an ? an ?1

【解析】 (1)设 an ? a1 ? (n ? 1)d , ∵?

?a2 ? a4 ? 10 ? 2a1 ? 4d ? 10 ,∴ ? , ? a1 ? 4d ? 9 ?a5 ? 9

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,∴ an ? 2n ? 1, ∴ Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d ? n2 . 2

(2) b1 ? a1 ? 1 , bn ?1 ? bn ? an ? bn ? 2n ? 1 , ∴ b2 ? b1 ? 1 , b3 ? b2 ? 3 ? b1 ? 1 ? 3 ,

bn ? b1 ? 1 ? 2 ? ??? ? (2n ? 3) ? 1 ? (n ? 1)2 ? n2 ? 2n ? 2 ( n ? 2 )
又 n ? 1 时, n ? 2n ? 2 ? 1 ? a1 ,
2

∴数列 {bn } 的通项 bn ? n ? 2n ? 2 .
2

(3) cn ?

2 2 1 1 ? ? ? , an ? an ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

Tn ? c1 ? c2 ? ? ? c

1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 1 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1 1 2n . ? 1? ? 2n ? 1 2 n ? 1

3

6. (2012 广州一模)等比数列 {an } 的各项均为正数, 2a4 , a3 , 4a5 成等差数列,且 a3 ? 2a2 .
2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

2n ? 5 a ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ? 2n ? 1?? 2n ? 3? n

【解析】 (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ,依题意,有

2a4 ? 4a5 ? , ? a3 ? a4 ? 2a5 , ? ? a3 ? 即? 2 ? 2 ? a3 ? 2a2 . ? ? a ? 2a 2 . 2 ? 3
? a1q 2 ? a1q 3 ? 2a1q 4 , ? ∴? 2 2 2 ? a1q ? 2a1 q . ?

1 ? ? a1 ? 2 , ? a1 ? 1 , ? ? 由于 a1 ? 0 , q ? 0 ,解之得 ? 或? 2 ? q ? 1 . ? q ? ?1. ? ? ? 2 1 1 又 a1 ? 0, q ? 0 ,∴ a1 ? , q ? , 2 2 1 n * ∴数列 ? an ? 的通项公式为 an ? ( ) ( n ?N ) . 2
(2)由(1)得 bn ?

2n ? 5 ?a ? 2n ? 1?? 2n ? 3? n
2n ? 5 1 ? n ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 2(2n ? 3) ? (2n ? 1) 1 ? . ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2n

?

?
∴ bn ? (

2 1 1 ? )? n 2n ? 1 2n ? 3 2
1 1 ? . n ?1 (2n ? 1)2 (2n ? 3)2n

?

∴ Sn ? b1 ? b2 ? L ? bn

1 1 1 1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) ?L ?[ ? ]? ? . 2 n ?1 n 3 5? 2 5? 2 7 ? 2 3 ? 2n ? 3 ? 2 n ? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 3 ? 2
∴数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ?

1 1 ? . 3 ? 2n ? 3 ? 2 n
4

5


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