河南省中原名校高二下期期末检测数学(文)试题

中原名校 2016—2017 学年期末检测 高二数学(文)试题 第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求.

1. 已知集合 ,集合

,则

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

2. 设复数满足

,则

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】试题分析:

,综上所述, 故

选 A. 考点:复数加减乘除法的运算.

3. 为了判断两个分类变量 X 与 Y 之间是否有关系,应用独立性检验法算得 的观测值为 6,

附:临界值表如下:

则下列说法正确的是

A. 有 95%的把握认为 X 与 Y 有关系 B. 有 99%的把握认为 X 与 Y 有关系

C. 有 99.5%的把握认为 X 与 Y 有关系 D. 有 99.9%的把握认为 X 与 Y 有关系

【答案】A

【解析】依题意,K2=6,且 P(K2≥3.841)=0.05,因此有 95%的把握认为 X 与 Y 有关系,

故选 A

4. 设 ,向量

,且 ,则

A. -4 B.

C.

D. 20

【答案】D 【解析】∵a=(1,x),b=(2,-6)且 a∥b,
∴-6-2x=0,x=-3,∴a=(1,-3),a·b=20,故选 D. 5. 下列四个结论: ①若“ ”是真命题,则 可能是真命题;

②命题“

”的否定是“

”;

③“ 且

”是“

”的充要条件;

④当 时,幂函数

在区间

上单调递减.其中正确的结论个数是

A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】B 【解析】①若 是真命题,则和同时为真命题, 必定是假命题;

②命题“

”的否定是“

”;

③“ 且

”是“

”的充分不必要条件;

6. 已知函数

,则

A. 是偶函数,且在 R 上是增函数 C. 是偶函数,且在 R 上是减函数 【答案】B

B. 是奇函数,且在 R 上是增函数 D. 是奇函数,且在 R 上是减函数

【解析】

,所以函数是奇函数,并且是增函数,

是减函数,根据增函数-减函数=增函数,所以函数是增函数,故选 A.

7. 在单调递减等差数列 中,若

,则

A. 1 B. 2 C. D. 3

【答案】B

【解析】由题知,a2+a4=2a3=2,又∵a2a4=,数列{an}单调递减,

∴a4=,a2=.∴公差

.∴a1=a2-d=2.故选 B.

8. 已知 是定义在 R 上的奇函数,且当

时,

,则函数 的

零点的个数是 A. 1 B. 2 【答案】C

C. 3

D. 4

点睛:本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法,一个是利用二分法求解,另一 个是化原函数为两个函数,利用两个函数的交点来求解.本题转化为函数 y=2 018x 和 y=- log2 x 018 的图象的交点问题,数形结合一目了然.

9. 函数

的图象大致是

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】因为函数 y=f(x)= 可化简为 除答案 C;

,可知函数为奇函数关于原点对称,可排

同时有 y′=
故函数在 x∈(0,)时 >0,则 x∈(0,)上单调递增,排除答案 A 和 D, 故选:B. 点睛:识别函数的一般主要观察以下几点:定义域,奇偶性,单调性,特殊值,端点值,极 限等等.

10. 若将函数

的图象向右平移

的图象,则的最小值为

A. B. C. D.

【答案】D

个单位长度得到函数

【解析】因为 y=sin x+ cos x=2sin

,y=sin x- cos x=2sin

,所

以把 y=2sin 点睛:图象变换
(1)振幅变换

的图象至少向右平移个单位长度可得 y=2sin

的图象.所以选 D。

(2)周期变换

(3)相位变换

(4)复合变换

11. 如果函数 在区间 D 上是增函数,且 在区间上是减函数,则称函数 在区间 D 上是缓

增函数,区间 D 叫做缓增区间.若函数



A.

B.

【答案】D

C.

D.

在区间 D 上是缓增函数,则缓增区间 D

【解析】试题分析:



上是增函数,





是减函数 的缓增区间为 . 考点:1、函数的单调性;2、导数的应用. 【方法点晴】本题考查函数的单调性、导数的应用,涉及函数与方程思想、数形结合思想和 转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难

题型. 首先利用数形结合思想由



上是增函数,

在 上是减函数 的缓增区间为 .

12. 已知函数

,若 是函数 的唯一极值点,则实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】已知

,则

,当 时,

恒成立,即 ,





易知

因此 . 故选 A.

点睛:函数

,若 是函数 的唯一极值点等价于其导函数有唯一的可变

零点,故此题本质还是零点问题,在导函数中不难发现 已经是可变零点,问题转化为当

时,

恒成立,然后通过变量分离的方法,最终归结为函数的最值问题,问题

迎刃而解.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 已知 的定义域为 ,则

的定义域为________________.

【答案】

【解析】因为函数 的定义域为

,所以-1≤log2x≤1,所以

. 故 f(log2x)的

定义域为

.

14. 若曲线 【答案】

的切线过原点,则此切线的斜率为________________.

【解析】y=lnx 的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则

,所以切线方为

y-y0= (x-x0),又切线过点(0,0),代入切线方程得 y0=1,则 x0=e,所以

.

15. 已知 是 R 上的偶函数, 是 R 上的奇函数,且

,若

,则

________________.

【答案】2

【解析】因为 g(-x)=f(-x-1),所以-g(x)=f(x+1).又 g(x)=f(x-1),所以

f(x+1)=-f(x-1),所以 f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则 f(x)是以 4

为周期的周期函数,所以 f(2 018)=f(2)= f(-2)=2.

16. 已知函数

的定义域为 A,不等式

在 时恒成立,则实数的取值

范围为________________. 【答案】(1,2] 【解析】由题易得 A=(1,2),设 f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当 x∈(1,2)时,不等式 (x-1)2<logax 恒成立,只需 f1(x)=(x-1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)=logax 图象的下方即 可.

当 0<a<1 时,显然不成立;

当 a>1 时,如图所示,

要使 x∈(1,2)时 f1(x)=(x-1)2 的图象在 f2(x)=logax 的图象下方,只 f1(2)≤f2(2), 即(2-1)2≤loga2,loga2≥1,所以 1<a≤2,即实数 a 的取值范围是 (1,2].

点睛:函数问题经常会遇见恒成立的问题:

(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;

(2)若

就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为

,若

恒成立,转化为

;

(3)若

恒成立,可转化为

.

(4)数形结合处理.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17. 设函数

,记不等式

的解集为 A.

(1)当 (2)若

时,求集合 A; ,求实数的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】试题分析:(1)当 的不等式组,解之即可. 试题解析:

时解二次不等式得到集合 A;(2)由

(1)当 时,



,即



即 解得 ∴

, .

(2)

,即



∵ ,∴

∴解不等式得





.



,∴

,解得 ,

∴实数的取值范围是

.

,得到关于实数

18. 若二次函数

满足

,且

(1)求 的解析式; (2)若在区间 上,不等式

恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】试题分析:(1)利用待定系数法求 的解析式;(2)

等价于

,变量分离求最值即可.

试题解析:

(1)由

得, . ∴

.



,∴









,解得

.



.

(2)

等价于

,即

要使此不等式在

上恒成立,只需使函数

的最小值大于即可.





上单调递减,







,得

.

∴实数 m 的取值范围是



, 在

19. 如图,在长方体

中, 分别为

(1)证明:平面

平面 ;

(2)证明: 平面 ;

(3)若正方体棱长为 1,求四面体

的体积.

的中点.

【答案】(1)详见解析;(2) 详见解析;(3).

【解析】试题分析:(1)要证平面

平面

,即证 A1B⊥平面 ADC1B1;(2)要证



面 ,即证线线平行;(3)利用等积变换求四面体

的体积.

试题解析:

(1)如图,因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,所以 B1C1⊥平面 ABB1A1.

因为 A1B 平面 ABB1A1,所以 B1C1⊥A1B.

因为 A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,所以 A1B⊥平面 ADC1B1.

因为 A1B 平面 A1BE,所以平面 ADC1B1⊥平面 A1BE

(2)如图,设 AB1∩A1B=O,连接 EF,OE.

由已知条件得 EF∥C1D,且 EF= C1D.B1O∥C1D 且 B1O= C1D, 所以 EF∥B1O 且 EF=B1O,所以四边形 B1OEF 为平行四边形, 所以 B1F∥OE, 因为 B1F?平面 A1BE,OE 平面 A1BE,所以 B1F∥平面 A1BE

(3)

.

点睛:求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问 题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法:求一些不 规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积 法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知 条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的 高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接 计算得到高的数值.

20. 已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为

,且长轴与短轴长的比是

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)设点

在 椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点,当 最小时,点 P 恰好

落在椭圆的右顶点上,求实数的取值范围.

【答案】(1)

;(2) 1≤m≤4.

【解析】试题分析:(1)利用待定系数法求椭圆方程;(2)利用点点距公式表示 在曲线上,转化为二次函数的最值问题. 试题解析:

,借助点

(1)由题意知

解得

所以椭圆方程为

(2)设 P(x0,y0),且

,

所以|PM|2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12

= -2mx0+m2+12= (x0-4m)2-3m2+12(-4≤x0≤4) 所以|PM|2 为关于 x0 的二次函数,开口向上,对称轴为 x0=4m. 由题意知,当 x0=4 时,|PM|2 最小,所以 4m≥4,所以 m≥1. 又点 M(m,0)在椭圆长轴上,所以 1≤m≤4

21. 已知 (1)求函数 在区间 (2)对一切实数

上的最小值; 恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】试题分析:(1)利用导函数求最值;(2) 对一切实数 通过变量分离,转化为新函数的最值问题. 试题解析:

(1)

,当



, 单调递减,当



单调递增.



,t 无解;



,即

时,





,即 时, 在

上单调递增,

恒成立, ,

所以



(2) 设


,则 ,则 , 单调递增,







, 单调递减,

所以 所以

,因为对一切



恒成立,

22. 选修 4-4:参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系 中,直线的参数方程为

(为参数),直线的参数方程为

(为参数),设直线,的交点为 P,当变化时,P 的轨迹为曲线.

(1)写出曲线 C 的普通方程;

(2)以坐标原点 O 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设

,M

为与 C 的交点,求 M 的极径.

【答案】(1)

;(2)的极半径是 .

【解析】试题分析:(1)利用消参法求轨迹方程;(2) 将参数方程转化为一般方程,联立解出 M 点坐标,进而得到极半径. 试题解析: (1)将参数方程转化为一般方程
……①

……②

① ②消可得:

即的轨迹方程为



(2)将参数方程转化为一般方程 ……③

联立曲线和

解得



解得

.即的极半径是 .

23. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数

(1)当 时,求不等式

的解集;

(2)若不等式

的解集包含,求实数的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】试题分析:(1)利用零点分段法解含有绝对值的不等式;(2) 不等式

的解集

包含

等价于



恒成立,借助二次函数图象数形结合处理问

题. 试题解析:

(1)当 时,

,是开口向下,对称轴 的二次函数.





时,令

,解得



上单调递增, 在

上单调递减

∴此时

解集为





时,







时, 单调递减, 单调递增,且



综上所述,

解集



(2)依题意得:



恒成立.





恒成立.

则只须

,解出:

.故取值范围是

.

点睛:f(x)<a 恒成立?f(x)max<a. f(x)>a 恒成立?f(x)min>a. |x-a|+|x-b|≥c(或≤c)(c>0),|x-a|-|x-b|≤c(或≤c)(c>0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解. 零点分区间法的一般步骤 ①令每个绝对值符号的代数式为零,并求出相应的根; ②将这些根按从小到大排列,把实数集分为若干个区间; ③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集; ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.

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