立体几何之内切球与外接球求法(经典习题)

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圆梦教育中心 立体几何之内切球与外接球

一、球与棱柱的组合体问题

1. (2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱

的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为



答案 14π

2.(2006 山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )

A. 1∶ 3

B. 1∶3

C. 1∶3 3

D. 1∶9

答案 C
3.已知正方体外接球的体积是 32 ? ,那么正方体的棱长等于( ) 3

A.2 2

23
B.
3

42
C.
3

43
D.
3

4.(吉林省吉林市 2008 届上期末)设正方体的棱长为23 3,则它的外接球的表面积为( )

A. 8 ? 3
答案 C

B.2π

C.4π

D. 4 ? 3

5.(2007 全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm2.

答案 2 ? 4 2

6.(2008 海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边

形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 9 ,底面周长为 3, 8

则这个球的体积为



答案 4? 3

7.(2012 辽宁文)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方

形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球

8.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考)

棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个

球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中

三角形(正四面体的截面)的面积是

. 答案 2

P

9. ( 2006 辽 宁 ) 如 图 , 半 径 为 2 的 半 球 内 有 一 内 接 正 六 棱 锥

P ? A B C D E,F则此正六棱锥的侧面积是________. 答案 6 7

B A

C

D

E F

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10. (陕西理?6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上,则该正三棱锥的体积是( )

A. 3 3 4

B. 3 3

C. 3 4

D. 3 12

答案 B

11.(2009 枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( )

A. 3?

B. 2?

C. 16? 3

D.以上都不对

答案 C

12.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 内接于半径为 2 的球,

若 ?ABC的边长为2 2 ,则正三棱柱的体积为

.答案 8

2014 高三补充题:

(1)已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 4,8, h ,且它的 8 个顶点都在同一个球面上,这个球面的

表面积为 100? ,则 h ? ________ (答: 2 5 ) (2)三棱锥 P ? ABC的四个顶点都在半径为 4 的球面上,且三条侧棱
两两互相垂直,则该三棱锥侧面积的最大值为__________(答案:32)

(3)一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点

都在同一个球面上,则这个球的表面积是

.(答:16? )

(4)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 垂直底面, ?ACB ? 90 0 , ?BAC ? 30 0 , BC ? 1,
且三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 3,则三棱柱 ABC ? A1B1C1 的外接球表面积为______(答:16? )
(5) 在四面体 ABCD 中, AB ? CD ? 6, AC ? BD ? 4, AD ? BC ? 5, 则四面体 ABCD 的外接球表面积为______(答:即长方体的外接球表面积: 77? ) 2
(6)四棱锥 P ? ABCD的底面是边长为 4 2 的正方形,侧棱长都等于 4 5 ,则经过该棱锥五个顶点的
球面面积为________(答:100? ) (7)正三角形 ABC的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 1,此时四面体 ABCD
外接球表面积为______(答: 13? ) 3
( 8 ) 已 知 O 的 直 径 PQ ? 4, A, B,C 是 球 O 球 面 上 的 三 点 , ?ABC 是 正 三 角 形 , 且 ?APQ ? ?BPQ ? ?CPQ ? 30 0 , 则三棱锥 P ? ABC的体积为( B )

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A. 3 3 4

B. 9 3 4

C. 3 3 2

D. 27 3 4

(9)(长春第四次调研试题)已知空间 4 个球,它们的半径分别为 2,2,3,3,,每个球都与其他三个球外切,

另有一个小球与这 4 个球都外切,则这个小球的半径为( B )

A. 7 11

B. 6 11

C. 5 11

D .4 11

(10)(辽、哈、东北师大一联模)球 O 的球面上有四点 S, A, B,C, 其中 O, A, B,C 四点共面, ?ABC是

边长为 2 的正三角形,面 SAB ? 面 ABC,则棱锥 S ? ABC 的体积的最大值为(D )

A. 3

B. 1

C. 3

D. 3

3

2

3

(11) (快乐考生预测卷一)已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的各顶点都在同一个球面上,若四面体

A ? B1CD1 的表面积为 8 3 , 则球的体积为 _________(答: 4 3? )
(12)(快乐考生预测卷四)如图,一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长

为2锐角60 0 的菱形,则此几何体的内切球表面积为( )

A. 8?

B. 4?

C. 3?

D. 2?

??
( 13 )( 快 乐 考 生 预 测 卷 五 ) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , AB? BC ? 0 ,

?2

?2

2 AB ? BD ? 6 ,若将 ?ABD沿 BD折成直二面角 A ? BD ? C ,则三棱锥 A ? BCD 外接球的表

面积为 ________(答:6? )

(14)已知矩形 ABCD的顶点都在半径为4的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3, 则棱锥 O ? ABCD

的体积为 ________(答:8 3 )

(15)点 A,B,C,D 在同一个球的球面上,AB ? BC ? 2, AC ? 2, 若四面体 ABCD 体积的最大值为 2 ,则这 3

个球的表面积为

(答:C)

125?
A.
6

B. 8?

25?
C
4

25?
D.
16


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