北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题(文科)2010.5

北京市西城区 2010 年高三抽样测试数学试题(文科)2010.5 年高三抽样测试数学试题(文科)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一,选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 目要求的. 目要求的. 1. 设集合 A = {2,3, 4} , B = {2, 4, 6} ,若 x ∈ A 且 x B ,则 x 等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

2. 已知命题 p : x ∈ R , cos x ≤ 1 ,则 A. p : x ∈ R , cos x ≥ 1 C. p : x ∈ R , cos x > 1 3. 设变量 x, y 满足约束条件 A. 1 B. 2 B. p : x ∈ R , cos x ≥ 1 D. p : x ∈ R , cos x > 1 )

x + y ≥ 3, 则目标函数 z = y + 2 x 的最小值为( x y ≥ 1,
C. 3 D. 4

4. " ln x > 1 "是" x > 1 "的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C1 A1
1 1

5. 如图,三棱柱 ABC A1 B1C1 的侧棱长和底面边 长均为 2 ,且侧棱 AA1 ⊥ 底面 ABC ,其正(主) 视图是边长为 2 的正方形,则此三棱柱侧(左)视 图的面积为 A. 3 C. 2 2 B. 2 3 D. 4
开始

B1
2

C A B
正(主)视图

6. 在数列 {an } 中,a1 = 1 ,an = an 1 + n ,n ≥ 2 . 为 计算这个数列前 10 项的和,现给出该问题算法的程 序框图(如图所示) ,则图中判断框(1)处合适的语 句是 A. i ≥ 8 B. i ≥ 9 C. i ≥ 10 D. i ≥ 11

i = 0, a = 0, s = 0
(1) 否 是

i = i +1 a = a+i s = s+a

输出 s 结束

7. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a7 > 0 , a8 < 0 ,则下列结论正确的是 A. S7 < S8 B. S15 < S16 C. S13 > 0 D. S15 > 0

第 1 页 共 8 页

8. 给出函数 f ( x ) 的一条性质: "存在常数 M ,使得 f ( x) ≤ M x 对于定义域中的一切实 数 x 均成立." 则下列函数中具有这条性质的函数是 A. y =

1 x

B. y = x

2

C. y = x + 1

D. y = x sin x

小题, 二,填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题 9. i 是虚数单位,

i = _____. 2+i

10. 函数 y = sin x + cos x 的最小正周期是_________,最大值是________. 11. 在抛物线 y 2 = 2 px 上,横坐标为 2 的点到抛物线焦点的距离为 3 ,则 p = ________. 12. 圆心在 x 轴上,且与直线 y = x 切于 (1,1) 点的圆的方程为________. 13. 设 a , b, c 为单位向量, a , b 的夹角为 60 ,则 a c + b c 的最大值为________.

n, n为奇数时, * 14. 我们可以利用数列 {an } 的递推公式 an = a , n为偶数时 ( n ∈ N )求出这个数列各项的值,使得 n 2
这个数列中的每一项都是奇数. 则 a24 + a25 = _________; 研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么第 8 个 5 是该数列的第_____项. 解答题 小题, 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) ( 在 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , cos A = (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 ac = 24 ,求 a, c 的值.

3 ,C = 2A. 4

第 2 页 共 8 页

16.(本小题满分 13 分) ( 在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了 40 名学生的成绩作为样本,这 40 名学生的成绩 全部在 40 分至 100 分之间,现将成绩按如下方式分成 6 组:第一组,成绩大于等于 40 分且小于 50 分; 第二组,成绩大于等于 50 分且小于 60 分;……第六组,成绩大于等于 90 分且小于等于 100 分,据此绘 制了如图所示的频率分布直方图.
频率/组距

在选取的 40 名学生中, (Ⅰ)求成绩在区间 [80,90) 内的学生人数;

0.045

(Ⅱ)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生, 0.020 求至少有 1 名学生成绩在区间 [90,100] 内的概率.
0.015 0.005 0 分数 40 50 60 70 80 90 100

17.(本小题满分 13 分) ( 如图, 已知四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 的底面是菱形, 侧棱 BB1 ⊥ 底面 ABCD ,E 是侧棱 CC1 的中点. (Ⅰ)求证: AC ⊥ 平面 BDD1 B1 ; (Ⅱ)求证: AC // 平面 B1 DE . A1 D1 B1 E C1

D A B

C

第 3 页 共 8 页

18.(本小题满分 14 分) ( 已知椭圆 C : 为6 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y = kx 2 与椭圆 C 交与 A, B 两点,点 P (0,1) ,且 PA = PB ,求直线 l 的方程.

x2 y 2 6 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 ,椭圆 C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和 2 a b 3

19.(本小题满分 14 分) ( 设函数 f ( x ) = x 2 a . (Ⅰ)求函数 g ( x ) = xf ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值; (Ⅱ)当 a > 0 时,记曲线 y = f ( x) 在点 P ( x1 , f ( x1 )) ( x1 >

a )处的切线为 l , l 与 x 轴交于点

A( x2 , 0) ,求证: x1 > x2 > a .

20.(本小题满分 14 分) ( 如果由数列 {an } 生成的数列 {bn } 满足对任意的 n ∈ N 均有 bn +1 < bn ,其中 bn = an +1 an ,则称数列
*

{an } 为" Z 数列".
(Ⅰ)在数列 {an } 中,已知 an = n ,试判断数列 {an } 是否为" Z 数列" ;
2

(Ⅱ)若数列 {an } 是" Z 数列" a1 = 0 , bn = n ,求 an ; , (Ⅲ)若数列 {an } 是" Z 数列" ,设 s, t , m ∈ N* ,且 s < t ,求证: at + m as + m < at as .

第 4 页 共 8 页

年抽样测试参考答案 北京市西城区 2010 年抽样测试参考答案 高三数学试卷( 高三数学试卷(文科)
小题, 一,选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 2010.5

题号 答案
1 2 + i 5 5
3

1 B

2 C

3 D

4 A

5 B

6 C

7 C

8 D

小题, 二,填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题 9. 13. 10. 2π , 2 14. 11. 2 12. ( x 2) + y = 2
2 2

28, 640

注:两空的题目,第一个空 2 分,第二个空 3 分. 解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.) 三,解答题: 15,解: , (Ⅰ)因为 cos A =

3 , 4
2

所以 cos C = cos 2 A = 2 cos A 1

…………………3 分 …………………5 分

3 1 = 2 × ( )2 1 = . 4 8
(Ⅱ)在 ABC 中,因为 cos A =

3 7 ,所以 sin A = , 4 4

…………………7 分

因为 cos C =

1 2 3 7 1 ,所以 sin C = 1 ( ) = , 8 8 8
a c = , sin A sin C

…………………9 分

根据正弦定理 所以

…………………10 分

a 2 = , c 3
…………………12 分

又 ac = 24 ,所以 a = 4, c = 6 .

16,解: , (Ⅰ)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 [80,90) 的频率为

1 (0.005 × 2 + 0.015 + 0.020 + 0.045) × 10 = 0.1 ,

…………………3 分

所以,40 名学生中成绩在区间 [80,90) 的学生人数为 40 × 0.1 = 4 (人). …………………5 分 (Ⅱ)设 A 表示事件"在成绩大于等于 80 分的学生中随机选两名学生,至少有一名学生成绩在区间

[90,100] 内" ,
由已知和(Ⅰ)的结果可知成绩在区间 [80,90) 内的学生有 4 人, 记这四个人分别为 a, b, c, d , 成绩在区间 [90,100] 内的学生有 2 人, …………………7 分

第 5 页 共 8 页

记这两个人分别为 e, f , 则选取学生的所有可能结果为:

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ) , (d , e), (d , f ), (e, f )
基本事件数为 15, …………………9 分

事件"至少一人成绩在区间 [90,100] 之间"的可能结果为:

(a, e), (a, f ), (b, e), (b, f ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ) ,
基本事件数为 9, 所以 P ( A) = …………………11 分 …………………13 分

9 3 = . 15 5

17,证明: ,证明: (Ⅰ)因为 ABCD 是菱形,所以 AC ⊥ BD , 因为 BB1 ⊥ 底面 ABCD , 所以 BB1 ⊥ AC , 所以 AC ⊥ 平面 BDD1 B1 . …………3 分 …………5 分 A1

D1 B1

C1

E F D O B C

(Ⅱ)设 AC , BD 交于点 O ,取 B1 D 的中点 F ,连接 OF , EF ,

1 则 OF // BB1 ,且 OF = BB1 , A 2 1 又 E 是侧棱 CC1 的中点, EC = CC1 , BB1 // CC1 , BB1 = CC1 , 2 1 所以 OF // CC1 ,且 OF = CC1 , …………………7 分 2
所以四边形 OCEF 为平行四边形, OC // EF , 又 AC 平面 B1 DE , EF 平面 B1 DE , 所以 AC // 平面 B1 DE . 18,解: , (Ⅰ)由已知 2a = 6 , 解得 a = 3 , c =
2 2 2

…………………9 分 ………………11 分 ………………13 分

c 6 = , a 3

…………………3 分

6,
…………………4 分 …………………5 分

所以 b = a c = 3 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 + = 1. 9 3

x2 y 2 = 1, + (Ⅱ)由 9 得, (1 + 3k 2 ) x 2 12kx + 3 = 0 , 3 y = kx 2
2 2 直线与椭圆有两个不同的交点,所以 = 144k 12(1 + 3k ) > 0 ,

第 6 页 共 8 页

解得 k >
2

1 . 9

…………………7 分

设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,

12k 3 , x1 x2 = , …………………8 分 2 1 + 3k 1 + 3k 2 12k 4 计算 y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) 4 = k 4= , 2 1 + 3k 1 + 3k 2 6k 2 , ), …………………10 分 所以, A, B 中点坐标为 E ( 2 1 + 3k 1 + 3k 2
则 x1 + x2 = 因为 PA = PB ,所以 PE ⊥ AB , k PE k AB = 1 ,

2 1 1 + 3k 2 所以 k = 1 , 6k 1 + 3k 2 解得 k = ±1 ,



…………………12 分

…………………13 分

经检验,符合题意, 所以直线 l 的方程为 x y 2 = 0 或 x + y + 2 = 0 . (Ⅰ)解: g ( x ) = x ax , g ′( x ) = 3 x a , 19, 解
3 2

…………………14 分 …………………2 分

当 a ≤ 0 时, g ( x ) 为 R 上的增函数, 所以 g ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 g (0) = 0 ; 当 a > 0 时, g ′( x ) 的变化情况如下表: …………………4 分

x
g ′( x)

(∞,

a ) 3

(

a a , ) 3 3

(

a , +∞) 3

+



+

所 以 , 函 数 g ( x ) 在 ( ∞, 减. 当

a a a a ) , ( , +∞) 上 单 调 递 增 , 在 ( , ) 上单调递 3 3 3 3
…………………6 分

a < 1 ,即 0 < a < 3 时, 3 a 2a )= 3a ; 3 9
……………7 分

g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 g (



a ≥ 1 ,即 a ≥ 3 时, g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 g (1) = 1 a . ……8 分 3

综上,当 a ≤ 0 时, g ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 g (0) = 0 ;当 0 < a < 3 时, g ( x ) 的最小值为

第 7 页 共 8 页



2a 3a ;当 a ≥ 3 时, g ( x) 的最小值为 1 a . 9
(Ⅱ) 证明: 证明: 曲线 y = f ( x) 在点 P ( x1 , f ( x1 ))( x1 > 令 y = 0 ,得 x2 =
2 a) 处的切线方程为 y ( x1 a ) = 2 x1 ( x x1 ) ,

x12 + a , 2 x1

…………………10 分

所以 x2 x1 =

a x12 a x12 ,因为 x1 > a ,所以 < 0 , x2 < x1 . ………11 分 2 x1 2 x1

因为 x1 >

a ,所以

x1 a ≠ , 2 2 x1
…………………13 分 …………………14 分
2

所以 x2 =

x12 + a x1 a = + > a, 2 x1 2 2 x1

所以 x1 > x2 >

a.

20,解: , (Ⅰ)因为 an = n , 所以 bn = an +1 an = ( n + 1) + n = 2n 1 , n ∈ N , …………………2 分
2 2
*

所以 bn +1 bn = 2( n + 1) 1 + 2n + 1 = 2 , 所以 bn +1 < bn ,数列 {an } 是" Z 数列". (Ⅱ)因为 bn = n , 所以 a2 a1 = b1 = 1 , a3 a2 = b2 = 2 ,…, an an 1 = bn 1 = ( n 1) , 所以 an a1 = 1 2 ( n 1) = 所以 an = …………………4 分

(n 1)n (n ≥ 2) , 2 (n 1)n * 又 a1 = 0 ,所以 an = ( n ∈ N ). 2

(n 1)n (n ≥ 2) ,…………………6 分 2

…………………8 分

(Ⅲ)因为 as + m as = (as + m as + m 1 ) + + ( as +1 as ) = bs + m 1 + + bs ,

at + m at = (at + m at + m 1 ) + + (at +1 at ) = bt + m 1 + + bt ,
………………10 分 又 s, t , m ∈ N* ,且 s < t ,所以 s + i < t + i , bs +i > bt + i , n ∈ N ,
*

所以 bs + m 1 > bt + m 1 , bs + m 2 > bt + m 2 , , bs > bt , 所以 at + m at < as + m as ,即 at + m as + m < at as .

…………………12 分 …………………14 分

第 8 页 共 8 页


相关文档

北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题(文科)2010[1].5
2010年北京市西城区高三抽样测试数学试题(文科)2010[1].5
北京市丰台区2010年高三抽样测试数学试题(文科)2010.5
北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题(理科)2010.5
北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷(文科)
北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷(文科)[1]
2010年北京市西城区高三年级抽样测试数学文科
2010年北京市西城区高三年级抽样测试_文科数学
北京市西城区2010年高三年级抽样测试_文科数学
北京市西城区2009年高三抽样测试数学试题(文科)2009.01
电脑版