湖南省浏阳一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷(带解析)

湖南省浏阳一中 2013-2014 学年高一下学期期中考试数学试卷 (带解析)

1.tan(-600°)的值是( A. ?

) C. ? 3 D. 3

3 3

B.

3 3

【答案】C 【解析】 试题分析: tan ? 600 ? tan ? 600 ? 2 ? 360 ? tan120 ? ? 3 ,故选 C.
0 0 0 0

?

?

?

?

考点:诱导公式 2.已知 cos ? ? ? A、第一象限 【答案】B 【解析】

3 4 , sin ? ? ,那么 ? 的终边所在的象限为( ) 5 5
B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限.

试题分析: cos? ? 0, sin ? ? 0 ,可知是第二象限,故选 B. 考点:三角函数的定义 3.若三点 P(1,1) ,A(2,-4) ,B(x,-14)共线,则( ) A、x=-1 B、x=3 C、x=4 D、x=51 【答案】C 【解析】

, ? 5? , AB ? ?x ? 2,?10? ,三点共线,可知两向量共线,根据共线的充 试题分析: PA ? ?1
要条件可知: 1? ?- 10? ? -5 ? ?x ? 2? ,解得 x ? 4 ,故选 C. 考点:向量共线的坐标表示 4.不等式 sin( ? ? x )>0 成立的 x 的取值范围为( A、 ?0,

)

??

2? ? B、 ??,
D、 ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ? ?k ? Z ?

C、 ?2k? ,2k? ? ? ??k ? Z ? 【答案】D 【解析】

试题分析: sin ?? ? x ? ? ? sin x ? 0 ,即 sin x ? 0 ,可得 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2? ,故选 D. 考点:解三角不等式

1

5.已知 a ? 4 , b ? 3 ,且 a ? kb ⊥ a ? kb ,则 k 等于( A、 ?

r

r

?

r

r

? ?

r

r

?



4 3

B、 ?

3 4

C、 ?

3 5

D、 ?

4 5

【答案】A 【解析】
2 2 试题分析: a ? k b a ? k b ? a ? k b ? 16 ? 9k ? 0 ,解得 k ? ?

?

??

?

2

2

4 ,故选 A. 3

考点:1.向量的数量积公式;2.两向量垂直的充要条件. 6.已知右图是函数 y ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?
2

) 的图象上的一段,则(



A. ? ?

10 ? ,? ? 11 6

B. ? ?

10 ? ,? ? ? 11 6

C. ? ? 2, ? ? 【答案】C 【解析】

?
6

D. ? ? 2, ? ? ?

?
6

试题分析:如图可知

3 11 ? 3 个周期等于 ? - ? ? ,所以周期等于 ? , ? ? 2 ,利用五点 4 12 6 4

法,当 x ?

?
6

时, 2 ?

?
6

?? ?

?
2

? 2k? , k ? z ,解得 ? ?

?
6

? 2k? ,又因为 ? ?

? ,所以 2

??

?
6

,故选 C.

考点:三角函数的性质 7.函数 y ? tan( A. [?1, 1]

?
2

? x) (?

?
4

?x?

?
4

且x ? 0) 的值域是(
C. (??, 1)

) D. [?1, ? ?)

B. (??, ? 1] ? [1,??)

2

【答案】B 【解析】 试题分析: -

?
4

?x?

?
4

且 x ? 0 ,所以

?

?? ? ? ?? 3 ? - x ? ? , ? ? ? , ? ? ,根据正切函数的图像 2 ?4 2? ?2 4 ?

可知值域为, x ? 1 或 x ? ?1 ,故选 B. 考点:复合函数的值域 8.如图,BC、DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径, BF ? 2FO ,则 FD ? FE ? ( )

D

B

F O E

C

A. ?

3 4

B. ?

8 9

C. ?

1 4

D. ?

4 9

【答案】B 【解析】 试题分析: ? BF ? 2FO ,r=1,? FO ?

1 3
2

8 ?1? FD ? FE ? FO ? OD ? FO ? OE ? FO ? FO ? OE ? OD ? OD ? OE ? ? ? ? 0 ? 1 ? ? 9 ? 3?
.故选 B. 考点:平面向量数量积的定义

?

??

?

?

?

2

9.对于任意 ? ? R ,下列等式中恒成立的个数有 A. sin(2? ? ? ) ? sin ? C. cos(? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) 【答案】1 【解析】 B. cos(-α )=cosα D. cos ?

个。

?? ? ? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

sin?2? ? ? ? ? sin?? ? ? ? ? sin ? ,A 错; cos?? ? ? ? cos? ,B 试题分析: 根据诱导公式可知:
对;

?? ? cos?? ? ? ? ? ? cos? , cos?2? ? ? ? ? cos? ,C 错; cos? ? ? ? ? sin ? ? ? cos? ,D 错, ?2 ?
3

故只有 B 对. 考点:诱导公式 10.若 tan ? ?

1 sin ? ? cos ? ,则 = 2 2 sin ? ? 3 cos ?

.

【答案】【解析】

3 4

tan? ? 1 ? 试题分析:上下同除以 cos? ,原式= 2 tan? ? 3
考点:同角基本关系式 11.函数 y ? cos ? 3 x ?

1 ?1 3 2 ?? . 1 4 2? ? 3 2

? ?

??

? 的图象可以先由 y=cosx 的图象向 3?
为原来的

平移

个单位,然

后把所得的图象上所有点的横坐标 【答案】左, 【解析】

倍(纵坐标不变)而得到。

? 1 , 缩短, . 3 3
? 个单位,然后周期变 3

试题分析:根据先平行后伸缩,可知:左加右减,所以先向左平行

小,把所得图像上的所有点的横坐标缩短为原来的 考点:三角函数的图像变换

1 . 3

知a ? (1,2), b ? (3,4), c ? (5,6), 将c用 a, b表 示 的 表 达 式 为 c? 12. 已
【答案】 c ? ?a ? 2b 【解析】 试题分析: c ? xa ? yb ? x?1,2? ? y?3,4? ? ?5,6? ,可得 ? 表达式为:

?x ? 3 y ? 5 ? x ? ?1 ,解得 ? ,所以 ?2 x ? 4 y ? 6 ?y ? 2

c ? ?a ? 2b .
考点:1 向量的坐标表示;2.向量的加减公式. 13.在△ABC 中,已知 tanA=1,tanB=2,则 tanC= 【答案】3 【解析】 .

4

1
试题分析: tanC ? tan 180 ? ? A ? B ? ? ? tan? A ? B ? ? ?
0

?

?

1? 2 tan A ? tan B ?? ?3 1 ? tan A tan B 1? 2

考点:两角和的正切公式 14.函数 y= -8cosx 的单调递减区间为 【答案】 ??2k ? 1?? ,2k? ??k ? Z ? 【解析】

.

试题分析: y ? ?8 cos x 的单调性与 y ? cos x 的单调性相反,所以 - ? ? 2k? ? x ? 2k? , 写成区间形式,

??2k ? 1?? ,2k? ??k ? Z ? .
考点:三角函数的单调区间 15. 已知非零向量 a , b, c 满足 a ? b ? c ? 0, 向量 a , b 的夹角为 120 , 且 | b| ?2| |a , 则向量 a 与 c 的夹角为 【答案】 90 【解析】 试 题 分 析 :
2
?



c ? ? a?b
2

? ?
2 2

,
0





c

? ? ? ? a ? ab ? a, c o ?? s? ac a ? ?a ? b ? a ?a ? b ?
ac ?a?a?b
0

2

?

-a ? a b c 1

o 2 ?0

s

0

a a ? b ? 2ab

所以夹角为 90

考点:1.向量的数量积公式;2.夹角公式.

16.已知角 ? 的终边与单位圆交于点 P( (1)写出 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 值;

4 3 , ). 5 5

sin(? ? ? ) ? 2sin(
(2)求

?

2 2 cos(? ? ? )

? ?)
的值.

【答案】 (1) sin ? = 【解析】

3 4 3 5 ; cos ? = ; tan ? = ; (2) - . 5 5 4 8

试题分析: ( 1 ) 因 为 是 单 位 圆 , 所 以 r ?1 , 根 据 三 角 函 数 的 定 义 可 得

5

sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ?

y . x

(2)根据诱导公式进行化简,代入上一问的结果,即可求值. 解: (1)已知角 ? 的终边与单位圆交与点 P(

4 3 , ). 5 5
6分

sin ? =

3 4 3 ; cos ? = ; tan ? = ; 5 5 4

sin(? ? ? ) ? 2sin(
(2)

?

2 2 cos(? ? ? )

??)

=

? sin ? ? 2 cos ? ?2 cos ? 5 . 8

10 分

原式= ?

12 分

考点:1.三角函数的定义;2.诱导公式. 17.设 OA ? (3,1) ,OB ? (?1,2) , OC ? OB , BC ∥ OA ,试求满足 OD ? OA ? OC 的

OD 的坐标(O 为坐标原点) 。

, 6? 【答案】 ?11
【解析】 试 题 分 析 : 先 设

OC ? ?x, y ?

,

BC ? ?x ? 1, y ? 2?





OC ? OB , x?? 1? ? 2 y ? 0 , BC // OA , x ? 1 ? 3( y ? 2) 代入坐标公式,即可求出 C 点的
坐标,然后根据 OD ? OC ? OA ,求出点 D 的坐标. 解:设 OC ? ( x, y) ,由题意得: ?

? ?OC ? OB ? 0

?( x, y ) ? (?1.2) ? 0 ?? (8 分) ( x, y ) ? (?1,2) ? ? (3,1) ? ? BC ? ? OA ?
(10 分)

?x ? 2 y ? x ? 14 ? ? ? x ? 1 ? 3? ? ? ? OC ? (14,7) y ? 7 ? ?y ? 2 ? ? ?

OD ? OC ? OA ? (11 ,6)
考点:1.向量的平行与垂直;2.向量的坐标运算.

(12 分)

6

18.设 e1 与 e 2 是两个单位向量,其夹角为 60°,且 a ? 2e1 ? e2 , b ? ?3e1 ? 2e2 , (1)求 a ? b; (2)分别求 a, b 的模; (3)求 a, b 的夹角。 【答案】(1) ?

7 0 ;(2) 7 ;(3) 120 2

【解析】 试题分析:(1)根据向量的数量积公式和运算律展开,即可求值; (2) a ?

a ,然后根据向量的数量积公式展开;

2

(3)根据向量的夹角公式 cos? ?

a ?b ab

,代入前两问的结果,即可求出夹角.

解: (1)a·b==(2e1+e2) ·(-3e1+2e2,)=-6e1 + e1·e2+2e2 =-

2

2

7 , (4 分) 2

2 2 2 2 2 (2)∵a=2e1+e2,∴|a| =a =(2e1+e2) =4e1 +4e1·e2+e2 =7,∴|a|= 7 。 (6 分)

同理得|b|= 7 。 (8 分) (3)设 a, b 的夹角为 ? 。则 cosθ =

a· b | a || b |

(7 分)

7 2 =- 1 , = 2 7? 7 ?

(10 分)

∴θ =120°、 (12 分) 考点:1.向量的数量积公式;2.运算律;3.模与夹角公式. 19.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,其图象上相邻的两个最低点 间的距离为 2? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 ? ? ? ?

?? 1 2? ? ? ? ? ?? ? , ?,f ? ? ? ? ? , 求 sin ? 2? ? ? 的值. 3? 3 3 ? ? 3 2? ? ?
? ?

【答案】(1) f ? x ? ? sin ? x ?

??

4 ? ? cos x ;(2) 9 2 . 2?
7

【解析】 试题分析:(1)函数为偶函数,所以 ? ?

?
2

,相邻图像的两个最低点间的距离为一个周期,

所以可以求出 ? 的值,即可求出函数的解析式; (2)由已知 cos? ? ?

? ?

??

1 2 ? ?? ? ?? ? ? ? ? , sin? 2? ? ? ? ? 2 sin?? ? ? cos?? ? ? ,代入求值. 3? 3 3 ? 3? ? 3? ? ?

解: (1)因为周期为 2? , 所以 ? ? 1 ,又因为 0 ? ? ? ? , f ? x ? 为偶函数, 所以 ? ?

?
2

,则 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??

? ? cos x . 2?

6分

(2)因为 cos ? ? ?

? ?

?? 1

? ? 5? ? ? ,又 ? ? ? ? 0, 3? 3 3 ? 6

?? 2 2 ? ? , ? ,所以 sin ? ? ? ? ? 3? 3 ? ?
13 分

又因为 sin ? 2? ?

? ?

2? 3

2 2 1 4 2 ?? ? ?? ? ? ? ? . ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 2 ? 3 3 9 3? 3? ? ? ?

考点:1.三角函数的图像;2.三角函数的求值. 20. 已知向量 a ? ( 3 sin ?x, cos?x),b ? (cos?x,? cos?x),(? ? 0) , 函数 f ( x ) ? a ? b ?

1 2

的图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 ? 的值; (2)若 x ? (

? . 4

7? 5? 3 , ) , f ( x) ? ? ,求 cos 4 x 的值; 24 12 5 1 , x ? (0, ?) ,且 f ( x) ? m 有且仅有一个实根,求实数 m 的值. 2 3 2 1 3; (3) m ? 1或m ? ? . 2 10 5

(3)若 cos x ?

【答案】(1) ? ? 2 ;(2) 【解析】

试题分析:(1)根据数量积公式将 f ?x ? 进行化简,得到 f ?x ? ? sin ? 2?x ?

? ?

??

? ,两相邻对称 6?

轴之间的距离为半个周期,所以根据周期公式

2? 1 ? ? ? ,得到 ? 的值; 2? 2 4

8

(2)根据第一问 ? ? 2 ,可得 sin? 4 x ?

? ?

??

3 ? ?? ? ? ? ? ,所以 cos 4 x ? cos? 4 x ? ? ? ,用已 6? 5 6 6? ?

知角表示未知角,根据 x 的范围,求出 4 x ? 的值; (3)画出 f ?x ? , x ? ? 0,

? ? ?? ? 的范围,最后求 cos 4 x ? cos? 4 x ? ? ? 6 6 6? ?

? ?? ? 的图像,令 y ? m ,与其只有一个交点,即可求出 m 的值. ? 3?
3 sin ?x ? cos ?x ? cos 2 ?x ? 1 3 1 ? cos2?x 1 ? sin 2?x ? ? 2 2 2 2

解:由题意, f ( x) ?

?

? 3 1 sin 2?x ? cos2?x ? sin( 2?x ? ) , 6 2 2
? , 4
4分

(1)∵两相邻对称轴间的距离为

∴T ?

2? ? ? , ∴? ? 2 . 2? 2

(2)由(1)得, f ( x) ? sin( 4 x ?

?

3 )?? , 6 5

∵ x?(

7? 5? ? 3 , ) , ∴ 4 x ? ? (? , ? ) , 24 12 6 2

∴ cos( 4 x ?

?
6

)??

4 , 5

∴ cos 4 x ? cos( 4 x ?

?
6

?

?
6

) ? cos( 4 x ?

?
6

) cos

?
6

? sin( 4 x ?

?
6

) sin

?
6

4 3 3 1 2 3 3 ? (? ) ? ? (? ) ? ? ? ? . 5 2 5 2 5 10
(3) Q cos x ?

8分

1 ? ,且余弦函数在 (0, ? ) 上是减函数, ∴ x ? (0, ] , 2 3 1 ? = sin( 4 x ? ) , g ( x) ? m ,在同一直角坐标系中作出两个函数的图象, 2 6

令 f ( x) ? a ? b ?

9

可知 m ? 1或m ? ?

1 . 2

13 分

考点:1.三角函数的化简求值;2.函数图像. 21.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足 OC ? (1)求证:A、B、C 三点共线;

uuu r

u r 1 uur 2 uu OA ? OB 3 3

uuu r AC (2)求 uur 的值; CB
(3) 已知 A ?1, cos x ? , B ?1 ? cos x, cos x ? , x ? ?0,

uur uuu r ? u r 2 ? uu ? ?? f x ? OA ? OC ? 2 m ? AB , 的 ? ? ? ? 3? ? 2? ? ?

最小值为 ?

3 ,求实数 m 的值. 2 7 . 4

【答案】 (1)详见解析; (2)2; (3) 【解析】

试 题 分 析 :( 1 ) 要 证 A, B, C 三 点 共 线 , 即 证 AC ? ? AB , 根 据

O C ?

O ?A

OC C? OB ? BC 化简; ,A

(2)根据第一问,三点共线,可化简为 AC ? ?CB ; ( 3 ) 根 据 向 量 的 数 量 积 与 模 的 公 式 可 将 函 数 化 简 ,

? ?? 2 f ?x? ? ?cos x ? m? ? 1 ? m2 , x ? ?0, ? ,然后分 m ? 0, 0 ? x ? 1 , m ? 1 三种情况进行 ? 2?
讨论,求最小值. 解: (1)由已知 OC ? OA ?

uuu r

uur

u r uur uuu r 2 uu u r 2 uu OB ? OA ,即 AC ? AB , 3 3

?

?

∴ AC ∥ AB . 又∵ AC 、 AB 有公共点 A ,∴A、B、C 三点共线. (2)∵ AC ?

4分

uuu r

u r 2 uuu r uur r 2 uur 2 uu 1 uuu AB ? AC ? CB ,∴ AC ? CB 3 3 3 3

?

?

uuu r 2? ? AC f ? x ? ? OA ? OC ? ? 2m ? ? ? AB ? AC ? 2CB ,∴ uur ? 2 。 ∴ 3? ? CB AC

7分

10

(3)∵C 为 AB 的定比分点,λ =2,∴ C ?1 ?

? ?

r 2 ? uuu cos x, cos x ? , AB ? ? cos x, 0 ? 3 ?

2? ? f ? x ? ? OA ? OC ? ? 2m ? ? ? AB ? 3? ?

∵ x ? ?0,

? ?? ,∴ cos x ??0,1? ? 2? ?

当 m ? 0 时,当 cos x ? 0 时,f(x)取最小值 1 与已知相矛盾; 当 0 ? m ? 1 时, 当 cosx ? m 时, f(x)取最小值 1 ? m ,得 m ? ?
2

10 (舍) 2

7 当 m ? 1 时,当 cos x ? 1 时,f(x)取得最小值 2 ? 2 m ,得 m ? ? 1 , 4 7 为所求. 4

综上所述, m ?

13 分

考点: 1.向量共线的充要条件; 2.向量的加减法; 3.向量数量积的化简; 4.二次函数求最值.

11


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