2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分30 等比数列及其前n项和

开卷速查(三十)

等比数列及其前 n 项和

A 级 基础巩固练 1.已知等比数列{an}的公比 q=2,且 2a4,a6,48 成等差数列,则 {an}的前 8 项和为( A.127 C.511 ) B.255 D.1 023

解析:∵2a4,a6,48 成等差数列, ∴2a6=2a4+48, ∴2a1q5=2a1q3+48,又∵q=2,∴a1=1, 1×?1-28? ∴S8= =255. 1-2 答案:B 2. 已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a4-2a2 数列{bn} 7+3a8=0, 是等比数列,且 b7=a7,则 b2b8b11 等于( A.1 C.4 B.2 D.8 )

2 解析:∵a4-2a7 +3a8=0,

∴2a2 7=a4+3a8, 即 2a2 7=4a7,∴a7=2,∴b7=2,
3 18 故 b2b8b11=b1qb1q7b1q10=b1 q =(b7)3=8.

答案:D 3.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1 =21,则 m=( A.3 C.5 ) B.4 D.6

解析:由已知得,Sm-Sm-1=am=-16,Sm+1-Sm=am+1=32,故 am+1 a1-amq 公比 q= a =-2,又 Sm= =-11,故 a1=-1,又 am=a1· qm 1 - q m
-1

=-16,故(-1)×(-2)m-1=-16,求得 m=5. 答案:C 5 5 4.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3=2,a2+a4=4,

Sn 则a =(
n

) B.4n-1 D.2n-1 5 2 ? a + a q = 1 1 ? 2,① ∴? 5 3 ? a 1q+a1q = ,② ? 4

A.4n-1 C.2n-1 5 ? a + a = 1 3 ? 2, 解析:∵? 5 ? a 2+a4= , ? 4

1+q2 1 由①除以②可得 3=2,解得 q= ,代入①得 a1= 2,∴an= 2 q+q
?1? 4 2×?2?n-1=2n. ? ? ? ?1? ? 2×?1-?2?n? 1? ? ? ? ?? ?1- n?. ∴Sn= = 4 2? 1 ? 1-2

1? ? 4?1-2n? Sn ? ? ∴a = 4 =2n-1,选 D.
n

2n

答案:D 5.等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+ log3a2+…+log3a10=( A.12 ) B.10

C.8 解析:由题意可知 a5a6=a4a7,

D.2+log35

又 a5a6+a4a7=18 得 a5a6=a4a7=9, 而 log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1· a2· …· a10) =log3(a5a6)5=log395=log3310=10. 答案:B 6.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2,则 2a7+a11 的最小值为( A.16 C.2 2 ) B.8 D.4

解析:由题意知 a4>0,a14>0,a4· a14=8,a7>0,a11>0,则 2a7
?a7· a11=8, ? +a11≥2 2a7· a11=2 2a4· a14=2 16=8,当且仅当? 即 a7 ? ?2a7=a11,

=2,a11=4 时取等号,故 2a7+a11 的最小值为 8,故选 B. 答案:B 7.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,a2+a3=12,则该 数列的前 4 项和为__________. 解析:设等比数列{an}的公比为 q,由 a1=2,a2+a3=12,则 a1q 2×?1-24? +a1q =12,解得 q=2,故 S4= =30. 1-2
2

答案:30 8 .若等比数列 {an} 满足 a2 + a4 = 20 , a3 + a5 = 40 ,则公比 q = ________,前 n 项和 Sn=________. a3+a5 40 解析:由题意知 q= = =2. a2+a4 20 由 a2+a4=a2(1+q2)=a1q(1+q2)=20,

2?1-2n? n+1 ∴a1=2.∴Sn= =2 -2. 1-2 答案:2 2n+1-2 15 9 1 9.在等比数列{an}中,若 a7+a8+a9+a10= 8 ,a8· a9=-8,则a 1 1 1 +a +a +a =__________.
8 9 10 7

1 1 a7+a10 1 1 a8+a9 解析:∵a +a = a a ,a +a = a a ,而 a8a9=a7a10, 7 10 7 10 8 9 8 9 15 1 1 1 1 a7+a8+a9+a10 8 5 ∴a +a +a +a = = =- a7a10 9 3. 7 8 9 10 -8 5 答案:-3 10.已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3=a4+6, 且 a1,a4,a13 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+1,求数列{bn}的前 n 项和. 解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0). 3×2d 因为 S3=a4+6,所以 3a1+ 2 =a1+3d+6. 所以 a1=3. 因为 a1,a4,a13 成等比数列, 所以 a1(a1+12d)=(a1+3d)2, 即 3(3+12d)=(3+3d)2. 解得 d=2. 所以 an=2n+1. (2)由题意 bn=22n+1+1,设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,cn=22n+1,

cn+1 22?n+1?+1 * cn = 22n+1 =4(n∈N ),所以数列{cn}为以 8 为首项,4 为公比 的等比数列. 8?1-4n? 22n+3-8 所以 Tn= +n= 3 +n. 1-4 B级 能力提升练

11.已知数列{an}是首项为 a1,公差为 d(0<d<2π)的等差数列, 若数列{cosan}是等比数列,则其公比为( A.1 C.± 1 B.-1 D.2 )

解析:因为数列{cosan}是等比数列, 所以 cos2(a1+d)=cosa1· cos(a1+2d), cos2(a1+d)=cos(a1+d-d)· cos(a1+d+d) =cos2(a1+d)cos2d-sin2(a1+d)sin2d, 所以 sin2d[cos2(a1+d)+sin2(a1+d)]=0, 所以 sin2d=0,sind=0, 因为 0<d<2π,所以 d=π. 公比 q= 答案:B 12.已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+… +am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1· am(n-1)+2· …· am(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论 一定正确的是( ) cos?a1+d? cos?a1+π? cosa1 = cosa1 =-1.

A.数列{bn}为等差数列,公差为 qm B.数列{bn}为等比数列,公比为 q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为 qm2

D.数列{cn}为等比数列,公比为 qmm 解析:∵{an}是等比数列, ∴ amn+m am?n-1?+m =qmn+m-m(n-1)-m=qm.

cn+1 amn+1· amn+2· …· amn+m ∴ c = =(qm)m=qm2. am?n-1?+1· am?n-1?+2· …· am?n-1?+m n 答案:C 13.[2015· 唐山市一中期中考试]在数列{an}中,已知 a1=1,an+1 =2an-n+1,n∈N*. (1)求证:{an-n}是等比数列; an (2)令 bn=2n,Sn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Sn 的表达式. 解析:(1)证明:由 a1=1,an+1=2an-n+1,n∈N*,可得 an+1-(n+1)=2(an-n),a1-1=-2≠0, 所以数列{an-n}是以-2 为首项,以 2 为公比的等比数列. (2)由(1)得:an-n=-2×2n-1=-2n, n 所以 an=n-2n,bn=2n-1,
?1 ? ?2 ? ?n ? 所 以 Sn = b1 + b2 + … + bn = ?2-1? + ?22-1? + … + ?2n-1? = ? ? ? ? ? ?

n? ?1 2 ? + 2+…+ n?-n. 2? ?2 2 1 2 n 令 Tn=2+22+…+2n, 1 1 2 n 则2Tn=22+23+…+ n+1, 2 两式相减得 1 1 1 1 1 n 1 n T n= + 2+ 3+…+ n- n+1=1- n- n+1 2 2 2 2 2 2 2 2

n+2 n+2 所以 Tn=2- 2n ,即 Sn=2- 2n -n. 14.[2015· 贵州七校第一次联考]已知{an}是等差数列,{bn}是等比 数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,a1=b1=1,且 b3S3=36,b2S2=8(n ∈N*). (1)求 an 和 bn;
? 1 ? (2)若 an<an+1,求数列?a a ?的前 n 项和 Tn. ? n n+1?
2 ?d=- ? ? ?q ?3+3d?=36 ?d=2 3 解析:(1)由题意得? ,解得? 或? ?q?2+d?=8 ? ? ?q=2

2

?q=6



?an= ?5-2n? ? ?an=2n-1 3 ? ∴ ,或? n-1 ? b = 2 n-1 ? n ?bn=6

1

.

(2)若 an<an+1,由(1)知 an=2n-1, ∴ 1 1 = anan+1 ?2n-1??2n+1?
? ?

1 ? 1? 1 =2?2n-1-2n+1?, 1 1 1 1 1 ? 1? n ∴Tn=2?1-3+3-5+…+2n-1-2n+1?= . ? ? 2n+1


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