2014高职(普高)单招考试数学真题模拟

2014 高职(普高)单招模拟试卷
2014.03.07

一、 选择题(每小题 5 分,满分 50 分)

第二部分(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分)

1

11.P 为抛物线 y2 ? 4x 上任意一点,P 在 y 轴上的射影为 Q,点 M(4,5) ,则

PQ 与 PM 长度之和的最小值为:



焦点 F (1, 0) PM ? PQ = PM ? PF ? 1 ,而 PM ? PF 的最小值是 MF ? 34 ,所以答案为
34 ?1

12、设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,有下列正确命题的 序号是 . (2)若 m ? ? , m ? n 则 n / /?

(1)若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n,

(3)若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则 ? ? ? ;(4)若 m ? ? , ? // ? ,则 m // ? 13. 定 义在 R 上 f ( x) 满 足 : f ( x ? 2) f ( x) ? 1 , 当 x ? ( 0, 2 )时, f ( x) = ( ) x , 则 = f ( 2 0 1 1) .
1 2

?x ? y ? 2 ? 0 14.过平面区域 ? 内一点 P 作圆 O : x2 ? y 2 ? 1 的两条切线, 切点分别为 ?y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

A, B ,记 ?APB ? ? ,则当 ? 最小时 cos? ?



15、直线 y ? kx ? 1 与圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 相交于 A、B 两点,若 AB ? 4 ,则 k 的取 值范围是____________________. 16、 顶点在圆 x2+y2=9 上, 焦点为 F( ? 5,0)的双曲线方程为
b 满 足 (a ? 2b ) ? a, (b? 17 、 已 知 非 零 向 量 a ,
2a )? , b 则向量 a

. 与 b 的夹角为

______.

2

18. 第二象限点 A(2,y)到直线 x-2y-5=0 的距离为 3,则 y 的值为 三、解答题

.

19. 某地区举办科技创新大赛,有 50 件科技作品参赛,大赛组委会对这 50 件 作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级 采用 5 分制,若设“创新性”得分为 x ,“实用性”得分为 y ,统计结果如 下表: 作 品 数 量
y

实用性 1分 2分 3分 4分 3 0 1
b

x

5分 1 1 3
a

1分 1 创 新 性 2分 分 1 3分 2 4分 1 5分 0

1 7 0 6 1

0 5 9 0 1

0

3

频率 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

15 25 35

45

55

65 年龄

3

(Ⅰ)求“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率; (Ⅱ)若“实用性”得分的数学期望为 167 ,求 a 、 b 的值.
50

20 、 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 函 数
f ( x? ) 2 c xo s ? xs i ? A n (
5? A ? ) x x ?s iR 处取得最大值 n ( ) . 在 12

(1)当 x ? (0, ) 时,求函数 f ( x) 的值域;
2

?

(2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?

13 3 ,求 ?ABC 的面积. 14

21、 (本题满分 16 分, 设函数 f ? x ? ?
? 1 ? 2x ? 3 ? x ? 0 ? ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? f ? ? n ? N * , 且n ? 2 . 3x ? an ?1 ?

?

?

⑴求数列 ?an ? 的通项公式;

4

22 (本题满分 16 分) 已知各项均为整数的数列 {an } 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数 列,从第 5 项起依次成等比数列. (I)求数列 {an } 的通项公式;

23.在三棱锥 P ? ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ?ACB ? 90?, PC ? AC, H 为 PA 的 中点, M 、N 分别为棱 PA, PB 上的点,且 PN ? 3NB 。 (1)求证: PA ? 平面 BCH ; (2)若 MN / / 平面 HBC ,则 PM : MA

的值。

24. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 上任意一点到点 M (0, ) 的距离与 到直线 y ? ? 的距离相等. (Ⅰ)求曲线 C 的方程;
5

1 2

1 2

(Ⅱ)设 A1 ( x1 ,0) , A2 ( x2 ,0) 是 x 轴上的两点 ( x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 0) ,过点 A1, A2 分别 作 x 轴的垂线,与曲线 C 分别交于点 A1? , A2? ,直线 A1? A2? 与 x 轴交于点
A3 ( x3 ,0) , 这 样 就 称 x1 , x2 确 定 了 x3 . 同 样 , 可 由 x2 , x3 确 定 了 x4 . 现 已 知

x1 ? 6, x2 ? 2 ,求 x4 的值

6

参考答案: 19. 【答案】 解:(Ⅰ)从表中可以看出,“创新性为 4 分且实用性为 3 分” 的作品数量为 6 件, ∴“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率为
6 ? 0.12 50

(Ⅱ)由表可知“实用性”得分 y 有 1 分、2 分、3 分、4 分、5 分五个等 级, 且每个等级分别有 5 件,b+4 件,15 件,15 件,a+8 件. ∴“实用性”得分 y 的分布列为:
y

1
5 50

2
b?4 50

3
15 50

4
15 50

5
a ?8 50

P

又∵“实用性”得分的数学期望为 167 ,
50

∴ 1?

5 ? 2 ? b ? 4 ? 3 ? 15 ? 4 ? 15 ? 5 ? a ? 8 ? 167 50 50 50 50 50 50

∵作品数量共有 50 件,∴ a ? b ? 3 解得 a ? 1 , b ? 2

7

20. 22.解:(I) 设数列前6项的公差为 d ,则 a5 ? ?1 ? 2d , a6 ? ?1 ? 3d ( d 为整数) 又 a5 , a 6 , a 7 成等比数列,所以 (3d ? 1)2 ? 4(2d ? 1) , 即 9d 2 ? 14d ? 5 ? 0 ,得 d ? 1 . ??????????????????????4 分 当 n ? 6 时, an ? n ? 4 , ?????????????????????????6 分 所以 a5 ? 1 , a6 ? 2 ,数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2, 所以,当 n ? 5 时, an ? 2n?5 .
?n ? 4,(n ? 4) an ? ? n ?5 ???????????????????????? ?2 ,(n ? 5)



?

1 ?3 ? 1 ? an ?1 2 ? an ?1 ? , ? n ? N * , 且n ? 2 ? ,所 21 解:⑴因为 an ? f ? ?? 1 3 ? an ?1 ? 3? an ?1 2?

以 an ? an ?1 ? . 因为 a1 ? 1 , 所以数列 ?an ? 是以 1 为首项, 公差为 的等差数列.
8

2 3

2 3

所以 an ? 23.

2n ? 1 . 3

24.【答案】解:(Ⅰ)因为曲线 C 上任意一点到点 M (0, ) 的距离与到直线
y?? 1 的距离相等, 2 1 2 1 2

1 2

根据抛物线定义知,曲线 C 是以点 M (0, ) 为焦点,直线 y ? ? 为准线的抛 物线, 故其方程为 x2 ? 2 y
1 2 ( x2 ? x12 ) 1 1 1 ? ( x2 ? x1 ) , (Ⅱ)由题意知, A1? ( x1 , x12 ) , A2? ( x2 , x2 2 ) ,则 k A1? A2? ? 2 2 2 x2 ? x1 2

故 lA A : y ? x2 2 ? ( x2 ? x1 )( x ? x2 )
1? 2?

1 2

1 2

令 y ? 0 ,得 ? 同理,

1 x

1 1 1 1 1 1 1 ? ,即 ? ? ? ? x1 x2 x3 x1 x2 6 2

1 1 1 1 1 1 7 ? ? ? ? ? ? , x4 x2 x3 2 6 2 6
6 7

于是 x4 ?

9


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