【创新设计】2015-2016学年高中数学 1.1.2集合间的基本关系学案 新人教A版必修1

1.1.2

集合间的基本关系

[学习目标] 1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系,并能正确判断.2.了解 Venn 图的 含义,会用 Venn 图表示两个集合间的关系.3.了解空集的含义及其性质.

[知识链接] 1.已知任意两个实数 a,b,如果满足 a≥b,b≥a,则它们的大小关系是 a=b. 2.若实数 x 满足 x>1,如何在数轴上表示呢? x≥1 时呢? 3.方程 ax -(a+1)x+1=0 的根一定有两个吗? [预习导引] 1.Venn 图 (1)定义:在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图,这种表 示集合的方法叫做图示法. (2)适用范围:元素个数较少的集合. (3)使用方法:把元素写在封闭曲线的内部. 2.子集的概念 文字语言 集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中 的元素,就说这两个集合有包含关 系,称集合 A 是集合 B 的子集 符号语言 图形语言
2

A? B(或 B? A)

3.集合相等与真子集的概念 定义 集合 相等 真子 集 4.空集 (1)定义:不含任何元素的集合叫做空集. (2)用符号表示为:?. 如果 A? B 且 B? A,就说集合 A 与 B 相等 如果集合 A? B,但存在元素 符号表示 图形表示

A=B

x∈B,且 x?A,称集合 A 是 B 的
真子集

A?B(或 B?A)

1

(3)规定:空集是任何集合的子集. 5.子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即 A? A. (2)对于集合 A,B,C,如果 A? B,且 B? C,那么 A? C.

要点一 有限集合的子集确定问题 例 1 写出集合 A={1,2,3}的所有子集和真子集. 解 由 0 个元素构成的子集:?; 由 1 个元素构成的子集:{1},{2},{3}; 由 2 个元素构成的子集:{1,2},{1,3},{2,3}; 由 3 个元素构成的子集:{1,2,3}. 由此得集合 A 的所有子集为?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}. 在上述子集中,除去集合 A 本身,即{1,2,3},剩下的都是 A 的真子集. 规律方法 1.求解有限集合的子集问题,关键有三点: (1)确定所求集合; (2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出; (3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身. 2.一般地,若集合 A 中有 n 个元素,则其子集有 2 个,真子集有 2 -1 个,非空真子集有 2 -2 个. 跟踪演练 1 已知集合 M 满足{2,3}? M? {1,2,3,4,5},求集合 M 及其个数. 解 当 M 中含有两个元素时,M 为{2,3}; 当 M 中含有三个元素时,M 为{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5}; 当 M 中含有四个元素时,M 为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5}; 当 M 中含有五个元素时,M 为{2,3,1,4,5}; 所以满足条件的集合 M 为{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5}, {2,3,4,5},{2,3,1,4,5},集合 M 的个数为 8. 要点二 集合间关系的判定 例 2 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|x 是等边三角形},B={x|x 是等腰三角形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N },N={x|x=2n+1,n∈N }.
* *

n

n

n

2

解 (1)集合 A 的代表元素是数, 集合 B 的代表元素是有序实数对, 故 A 与 B 之间无包含关系. (2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故 A?B. (3)集合 B={x|x<5},用数轴表示集合 A,B 如图所示,由图可知 A?B.

(4)由列举法知 M={1,3,5,7,?},N={3,5,7,9,?},故 N?M. 规律方法 对于连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的一种图示

法.注意在数轴上,若端点值是集合的元素,则用实心点表示;若端点值不是集合的元素, 则用空心点表示. 跟踪演练 2 集合 A={x|x +x-6=0},B={x|2x+7>0},试判断集合 A 和 B 的关系.
? 7? 解 A={-3,2},B=?x|x>- ?. 2? ?
2

7 7 ∵-3>- ,2>- , 2 2 ∴-3∈B,2∈B∴A? B 又 0∈B,但 0?A,∴A?B. 要点三 由集合间的关系求参数范围问题 例3 围. 解 ∵B? A, (1)当 B=?时,m+1≤2m-1,解得 m≥2. -3≤2m-1, ? ? (2)当 B≠?时,有?m+1≤4, ? ?2m-1<m+1, 解得-1≤m<2,综上得{m|m≥-1}. 规律方法 1.(1)分析集合间的关系时,首先要分析、简化每个集合.(2)利用数轴分析法, 将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误. 2.涉及字母参数的集合关系时,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用. 跟踪演练 3 已知集合 A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}. (1)若 A?B,求 a 的取值范围; (2)若 B? A,求 a 的取值范围. 解 (1)若 A?B,由图可知 a>2. 已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且 B? A,求实数 m 的取值范

(2)若 B? A,由图可知 1≤a≤2.

3

1.集合 A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数为( A.4 B.7 C.8 D.16 答案 B

)

解析 可知 A={0,1,2},其真子集为:?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},即共有 2 -1=7(个). 2.设集合 M={x|x>-2},则下列选项正确的是( A.{0}? M B.{0}∈M C.?∈M D.0? M 答案 A 解析 选项 B、C 中均是集合之间的关系,符号错误;选项 D 中是元素与集合之间的关系,符 号错误. 3.已知 M={-1,0,1},N={x|x +x=0},则能表示 M,N 之间关系的 Venn 图是(
2 3

)

)

答案 C 解析 M={-1,0,1},N={0,-1},∴N?M. 4.已知集合 A={2,9},集合 B={1-m,9},且 A=B,则实数 m=________. 答案 -1 解析 ∵A=B,∴1-m=2,∴m=-1. 5.已知??{x|x -x+a=0},则实数 a 的取值范围是________. 1 答案 a≤ 4 解析 ∵??{x|x -x+a=0}. ∴{x|x -x+a=0}≠?. 即 x -x+a=0 有实根. 1 2 ∴Δ =(-1) -4a≥0,得 a≤ . 4
2 2 2 2

1.对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,即由 x∈A,能推出 x∈B,这是判断 A? B 的常用方法. (2)不能简单地把“A? B”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合”,因为若 A=?时,则 A
4

中不含任何元素;若 A=B,则 A 中含有 B 中的所有元素. (3)在真子集的定义中,A、B 首先要满足 A? B,其次至少有一个 x∈B,但 x?A. 2.集合子集的个数 求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依次写出符合要求的子集.集合 的子集、真子集个数的规律为:含 n 个元素的集合有 2 个子集,有 2 -1 个真子集,有 2 -2 个非空真子集.
n n n

一、基础达标 1.下列命题中,正确的有( ①空集是任何集合的真子集; ②若 A?B,B?C,则 A?C; ③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集; ④如果不属于 B 的元素也不属于 A,则 A? B. A.①② 答案 C 解析 ①空集只是空集的子集而非真子集,故①错;②真子集具有传递性,故②正确;③若 一个集合是空集,则没有真子集,故③错;④由 Venn 图易知④正确. 2.已知集合 A? {0,1,2},且集合 A 中至少含有一个偶数,则这样的集合 A 的个数为( A.6 B.5 C.4 D.3 答案 A 解析 集合{0,1,2}的子集为:?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},其中含 有偶数的集合有 6 个. 3.设集合 P={x|y=x },Q={(x,y)|y=x },则 P 与 Q 的关系是( A.P? Q C.P=Q 答案 D 解析 集合 P 是指函数 y=x 的自变量 x 的取值范围, 集合 Q 是指所有二次函数 y=x 图象上 的点,故 P,Q 不存在谁包含谁的关系. 4.已知集合 A={x|-1<x<4},B={x|x<a},若 A?B,则实数 a 满足( A.a<4 答案 D 解析 由 A?B,结合数轴,得 a≥4. B.a≤4 C.a>4 D.a≥4 )
2 2 2 2

)

B.②③ C.②④

D.③④

)

)

B.P? Q D.以上都不对

5

5.集合{-1,0,1}共有________个子集. 答案 8 解析 由于集合中有 3 个元素,故该集合有 2 =8 个子集. 6.设集合 M={x|2x -5x-3=0},N={x|mx=1},若 N? M,则实数 m ________. 1 答案 {-2,0, }. 3 1 1 1 解析 集合 M={3, - }. 若 N? M, 则 N={3}或{- }或?.于是当 N={3}时, m= ; 当 N={- 2 2 3 1 1 }时,m=-2;当 N=?时,m=0.所以 m 的取值集合为{-2,0, }. 2 3 7.已知集合 A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出 A 的所有子集. 解 ∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, ∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}. ∴A 的子集有:?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1), (2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. 二、能力提升 8.已知集合 A={x|ax +2x+a=0,a∈R},若集合 A 有且仅有 2 个子集,则实数 a 的取值 是( )
2 2 3

的取值集合为

A.1 B.-1 C.0,1 D.-1,0,1 答案 D 解析 因为集合 A 有且仅有 2 个子集,所以 A 仅有一个元素,即方程 ax +2x+a=0(a∈R) 仅有一个根. (1)当 a=0 时, 方程化为 2x=0,此时 A={0},符合题意. (2)当 a≠0 时, 由 Δ =2 -4·a·a=0,即 a =1, ∴a=±1. 此时 A={-1},或 A={1},符合题意. ∴a=0 或 a=±1. 9.已知集合 A=?x|x= ,k∈Z?,B=?x|x= ,k∈Z?,则( 3 6 ? ? ? ? A.A?B C.A=B B.B?A D.A 与 B 关系不确定
?
2 2 2

k

?

?

k

?

)

6

答案 A

k m m 1 解析 对 B 集合中,x= ,k∈Z, 当 k=2m 时,x= ,m∈Z; 当 k=2m-1 时,x= - ,m∈Z, 6 3 3 6
故按子集的定义,必有 A?B. 10.设集合 A={1,3,a},B={1,a -a+1},且 A? B,则实数 a 的值为________. 答案 -1 或 2 解析 A? B,则 a -a+1=3 或 a -a+1=a,解得 a=2 或 a=-1 或 a=1,结合集合元素 的互异性,可确定 a=-1 或 a=2. 11.已有集合 A={x|x -4x+3=0},B={x|mx-3=0},且 B? A,求实数 m 的集合. 解 由 x -4x+3=0,得 x=1 或 x=3. ∴集合 A={1,3}. (1)当 B=?时,此时 m=0,满足 B? A.
?3? (2)当 B≠?时,则 m≠0,B={x|mx-3=0}=? ?. ?m?
2 2 2 2 2

3 3 ∵B? A,∴ =1 或 =3,解得 m=3 或 m=1.

m

m

综上可知,所求实数 m 的集合为{0,1,3}. 三、探究与创新 12. 已知集合 A={x|x<-1 或 x>4}, B={x|2a≤x≤a+3}, 若 B? A, 求实数 a 的取值范围.

解 当 B=?时,只需 2a>a+3, 即 a>3. 当 B≠?时,根据题意作出如图所示的数轴,可得
?a+3≥2a, ? ? ? ?a+3<-1 ?a+3≥2a, ? 或? ? ?2a>4.

解得 a<-4 或 2<a≤3.

综上,实数 a 的取值范围为{a|a<-4 或 a>2}. 13.若集合 A={x|ax +2x+1=0,x∈R}至多有一个真子集,求 a 的取值范围. 解 ①当 A 无真子集时,A=?, 即方程 ax +2x+1=0 无实根,
?a≠0, ? 所以? ? ?Δ =4-4a<0,
2 2

所以 a>1.

②当 A 只有一个真子集时,A 为单元素集,这时有两种情况: 1 当 a=0 时,方程化为 2x+1=0,解得 x=- ; 2

7

当 a≠0 时,由 Δ =4-4a=0,解得 a=1. 综上,当集合 A 至多有一个真子集时,

a 的取值范围是 a=0 或 a≥1.

8


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