高一期中复习4.27教师

高一期中考试复习 4.27

1 .( 本 小 题 满 分 14

分 ) 已 知 直 线 l1 : (m ? 2) x ? (m ? 3) y ? 5 ? 0 和

l2 : 6 x ? (2m ?1) y ? 5 .
问 m 为何值时,有: (1) l1 ? l2 ?(2) l1 ? l2 ? 【答案】 (1)当 m ? ? 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 两 直 线 a1 x ?
1

9 5 时, l1 ? l2 ; (2)当 m ? ?1 或 m ? ? 时, l1 ? l2 . 2 2

b ?y

1

0 ? c 与 a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 平 行

?

a1 b ? 1? a2 b2

c1 (a2 ? 0, b2 ? 0, c2 ? 0) ; c2

(2)两直线 a1x ? b1 y ? c1 ? 0 与 a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 垂直 ? a1b2 ? a2b1 ? 0 . 试题解析:解:由 (m ? 2)(2m ? 1) ? 6m ? 18 ,得 m ? 4 或 m ? ?

5 ; 2

当 m=4 时,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,即 l1 与 l2 重合,故舍去。 当m??

5 1 1 5 时 , l1 : ? x ? y ? 5 ? 0, l2 : 6 x ? 6 y ? 5, 即 l1 ? l2 ∴ 当 m ? ? 时 , 2 2 2 2

l1 ? l2 .
(2)由 6(m ? 2) ? ( m ? 3)(2 m ?1) ? 0 得 m ? ?1 或 m ? ? ∴当 m ? ?1 或 m ? ?

9 ; 2

9 时, l1 ? l2 . 2

考点: (1)直线的一般式方程与直线的平行关系; (2)直线的一般式方程与直线的垂直 关系. ,,B(7,, 1) D(4, 6) ,点 M 是线段 AB 2. (本题满分 14 分)在平行四边形 ABCD 中, A(11) 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P ,

(1)求直线 CM 的方程 (2)求点 P 的坐标.

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【答案】 (1) 5 x ? 6 y ? 14 ? 0 (2) ? 6, ? 【解析】 试题分析: ( 1 )根据向量相等求出点 C 的坐标,然后根据两点写出直线 CM 的方程

? 8? ? 3?

5 x ? 6 y ? 14 ? 0 ;
(2)由 B, D 两点写出直线 BD 的方程 5 x ? 3 y ? 38 ? 0 ,联立 ? 得到点 P 的坐标. 试题解析: (1)设点 C ?x, y ? ,所以 AB ? ?6,0? , DC ? ?x ? 4, y ? 6? 由 ?6,0? ? AB ? DC ? ?x ? 4, y ? 6? 可得: x ? 10, y ? 6 又因为点 M 是线段 AB 的中点,所以 M ?4,1? ,所以 kCM ? 所以直线 CM 的方程为: 5 x ? 6 y ? 14 ? 0 . 由题意可得:直线 BD 的方程为: 5 x ? 3 y ? 38 ? 0

?5 x ? 3 y ? 38 ? 0 即可 ?5 x ? 6 y ? 14 ? 0

5 , 6

所以联立 ?

?5 x ? 3 y ? 38 ? 0 ? 8? 可得点 P 的坐标为 ? 6, ? ? 3? ?5 x ? 6 y ? 14 ? 0

考点:直线的方程及两直线的交点. 3. (本小题满分 12 分)设为 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 2a cos C ? 2 b ? c . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 b ? c 的取值范围. 【答案】 (1) 【解析】

? ;(2) (1, 2] . 3

1 ,从而 2 1 可求角 A 的值;或由余弦定理将 cos C 转化为边,现用余弦定理可得 cos A ? ,从而 2 可求角 A 的值;
试题分析: (1)由下弦定理把已知中的边转化为角的正弦,整理可得 cos A ? (2)用正弦定理将边 b, c 转化为 b ?

2 2 sin B , c ? sin C 及三角形内角和定理可 3 3

得 b ? c ? 2sin ? B ?

? ?

??
? 6?

2 2 由角 B 的取值范围可求 b ? c 的取值范围.或用余弦定理得 b ? c ? bc ? 1 ,再利用基

本不等式可求得 b ? c ? 2 ,又 b ? c ? a ,可求 b ? c 的取值范围. 试题解析: ( 1 ) 解 法 1 由 2a cos C ? 2b ? c 得 2sin A cos C ? 2sin B ? sin C . 又

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sin B ? sin ? A ? C ?
C? 0 ,所以 ? sin A cos C ? cos A sin C , 所 以 2 cos A sin C ? sin C . 因 为 s i n 1 ? cos A ? ,又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? .(6 分) 2 3
解法 2 由 2a cos C ? 2b ? c 得 2a ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2b ? c ,即 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,又 2ab
1 ? ,又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? .(6 分) 2 3
定 理 得

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,所以 cos A ?
( 2 ) 解 法 1 由 正



b?

as i B n 2 ? s i B n, s i A n 3

c?

2 2 sin C . b ? c ? ?sin B ? sin C ? 3 3

?

? 2 ? ?? ? 2? ?? ? ? 2? ? ? sin B ? sin ? 3 ? B ? ? ? 2sin ? B ? 6 ? . 因 为 A ? 3 , 所 以 B ? ? 0, 3 ? , 3? ? ? ? ? ? ??

B?

?
6

?

? ? 5? ? , ?6 6

? ? ?1 ? ? ? ? ,所以 sin ? B ? ? ? ? ,1? .故 b ? c 的取值范围是 ?1,2? .(12 分) 6? ?2 ? ? ?
2

2 2 解法 2 由 (1) 及余弦定理得 b ? c ? bc ? 1 , 所以 ? b ? c ? ? 1 ? 3bc ? 1 ? 3 ?

?b?c? ? , ? 2 ?

2

b ? c ? 2 ,又 b ? c ? a ? 1 .故 b ? c 的取值范围是 ?1,2? .(12 分)
考点:正弦定理、余弦定理、三角变换、三角函数图象及性质、基本不等式. 4. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且满足

?? ? ?? ? cos 2A ? cos 2 B ? 2 cos ? ? A? cos ? ? A? ?6 ? ?6 ?
(1)求角 B 的值; (2)若 b ?

1 3 且 b ? a ,求 a ? c 的取值范围. 2

【答案】 (1) B ? 【解析】

?
3



2? 3 ; (2) [ , 3) 3 2

试题分析: (1)由已知 cos 2 A ? cos 2 B ? 2cos ?

?? ? ?? ? ? A ? cos ? ? A ? ?6 ? ?6 ?
3分

得 2sin 2 B ? 2sin 2 A ? 2 ? cos 2 A ?

?3 ?4

1 2 sin 4

? A? ?

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化简得 sin B ? 故B ?

3 2

5分

?
3



2? . 3

6分

(2)因为 b ? a ,所以 B ?

?
3



7分

由正弦定理

a c b ? ? ? sin A sin C sin B

3 ? 2 ,得 a=2sinA,c=2sinC, 3 2



1 3 ?? ? 2? ? 3 ? a ? c ? 2sin A ? sin C ? 2sin A ? sin ? ? A? ? sin A ? cos A ? 3 sin ? A ? ? 2 2 6? ? 3 ? 2 ?
9分 因为 b ? a ,所以 所以 a ?

?
3

? A?

2? ? ? ? , ? A? ? , 3 6 6 2

10 分

1 ?? 3 ? c ? 3 sin ? A ? ? ?[ , 3) . 2 6? 2 ?

12 分

考点:本题考查二倍角公式,正弦定理,两角和与差的三角函数,正弦函数的图象和性 质 点评: 解决本题的关键是熟练掌握二倍角公式, 两角和与差的三角函数, 以及正弦定理, 第二问关键是整理成 y ? Asin ??x ? ? ? 的形式 5 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列

{an } 满 足 :

1 3 a1 ? , a2 ? , 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N * ) , 数 列 {bn } 满 足 : b1 ? 0 , 4 4

3bn ? bn?1 ? n(n ? 2, n ? N * ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn .
(1)求证:数列 {bn ? a n }为等比数列; (2)求证:数列 {bn } 为递增数列; (3)若当且仅当 n ? 3 时, Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围 【答案】 (1) (2)证明见解析(3) b1 ? (?47,?11) 【解析】 试题分析: (1)等比数列的判定方法: (1)定义法:若

an ?1 ? q 是常数,则 ?an ?是等比 an

数列;中项公式法:若数列 ?a n ?中,an?1 ? an ? an?2 ,则 ?a n ?是等比数列;通项公式法:
2

若数列通项公式可写成 an ? c ? q n?1 c, q为不等于 (2)因为数列是特殊的函 0的常数 ;
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?

?

数,对于数列的单调性及最值问题,可以利用函数的观点. 试题解析: (Ⅰ)? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N * ) .

?{an } 是等差数列.
1 3 , a2 ? 4 4 1 1 2n ? 1 ? an ? ? (n ? 1) ? ? 4 2 4 1 n ? bn ? bn ?1 ? (n ? 2, n ? N * ) 3 3 1 n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 1 1 2n ? 1 ? bn ?1 ? a n ?1 ? bn ? ? ? bn ? ? (bn ? ) 3 3 4 3 12 3 4 1 ? (bn ? a n ) . 3 1 又? b1 ? a1 ? b1 ? ? 0 4 1 1 ? {bn ? a n }是b1 ? 为首项,以 为公比的等比数列, 4 3 1 1 n ?1 2n ? 1 (Ⅱ)? bn ? a n ? (b1 ? ) ? ( ) , a n ? . 4 3 4 1 1 2n ? 1 ? bn ? (b1 ? ) ? ( ) n ?1 ? . 4 3 4 1 2 1 1 n?2 当 n ? 2时, bn ? bn ?1 ? ? (b1 ? )( ) . 2 3 4 3
又? a1 ? 又 b1 ? 0 ,

? bn ? bn?1 ? 0 .

?{bn } 是单调递增数列.
(Ⅲ)?当且仅当n ? 3 时, S n 取最小值.

?b3 ? 0 , ?? ?b4 ? 0

1 1 ?5 ? (b1 ? )( ) 2 ? 0 ? ?4 4 3 即? , 7 1 ? ? (b ? )( 1 )3 ? 0 1 ? 4 3 ?4

?b1 ? (?47,?11) .
考点: (1)判断一个数列是等比数列(2)数列的单调性及取值范围问题. 6. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 满足 a3 ? a1 ? 3, a1 ? a2 ? 3 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an 2 ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn.

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【答案】 (1) an ? 2 【解析】

n ?1

1 Sn ? (4n ? 1) ? n 3 (2)

试题分析: (1)求特殊数列通项公式,一般利用待定系数法求解.设等比数列 {an } 的公
2 比为 q ,由由 a3 ? a1 ? 3 得 a1 (q ? 1) ? 3 及由 a1 ? a2 ? 3 得 a1 (1 ? q) ? 3 ,两式相除得

2 n ?1 q ? 2 ,从而 a1 ? 1 ,所以 an ? 2n?1 . (2)因为 bn ? an ? 1 ? 4 ? 1 ,为一个公比为 4 的

等比数列与一个等差数列的和,所以用分组求和法求和: 试题解析:解: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ,
2 由 a3 ? a1 ? 3 得 a1 (q ? 1) ? 3 ①

Sn ?

1 ? 4n 1 ? n ? (4 n ? 1) ? n 1? 4 3

2分 4分

由 a1 ? a2 ? 3 得 a1 (1 ? q) ? 3 ②

两式作比可得 q ? 1 ? 1 ,所以 q ? 2 , 5 分 把 q ? 2 代入②解得 a1 ? 1 ,
n ?1 所以 an ? 2 .

6分

7分 8分

2 n ?1 (2)由(1)可得 bn ? an ? 1 ? 4 ? 1
n ?1 易得数列 {4 } 是公比为 4 的等比数列,

由等比数列求和公式可得

Sn ?

1 ? 4n 1 ? n ? (4 n ? 1) ? n 1? 4 3

12 分

考点:等比数列通项公式,分组求和

an ?1 ? 2 Sn ? 1 n ? N ? . 7. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

?

?

? 2n ? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an ?
n?2 3n ?1

【答案】 (1) an ? 3n?1 ;(2) Tn ? 6 ? 【解析】

试题分析: (1) 由 an?1 ? 2Sn ? 1 得到 an ? 2Sn?1 ? 1? n ? 2? , 两式作差可求得 an?1 ? 3an , 所以数列 {an } 为等比数列,可求数列的通项公式; (2)用错位相减法可求 Tn .
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试题解析: (1)因为 an ?1 ? 2 Sn ? 1 n ? N ? ,所以 an ? 2Sn?1 ? 1? n ? 2? ,两式相减得

?

?

an?1 ? 3an

? n ? 2? .由 an?1 ? 2Sn ? 1 得 a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 ,所以 a2 ? 3a1 .因此数列 ?an ? 是首项为
1 ,公比为 3 的等比数列, an ? 3n?1 ;
( 2 ) 因 为 (6 分)

Tn ?

3 5 n? 2n ? ? ? ? ? n? ? 2 n? 0 3 3 3
, 两 式

1


, 1

2 3






1

1 3 5 2n ? 1 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3



2n ? 4 n?2 2 1 ? 2n ? 1 ?1 1 ?4? , 所 以 Tn ? 6 ? n ?1 . Tn ? 3 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? ? n n 3 3 3 3 ? 3 ?3 3
(13 分) 考点:等比数列定义及性质, an 与 Sn 关系,错位相减法.

评卷人

得分 二、填空题

8.若直线 l : 的最 小值是

x y ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 经过点 (1, 2) ,则直线 l 在 x 轴和 y 轴的截距之和 a b


【答案】 3 ? 2 2 . 【解析】 试题分析:由题意得

1 2 1 2 2a b ? ? 1 ,∴截距之和为 a ? b ? (a ? b)( ? ) ? 3 ? ? a b a b b a

? 3? 2

2a b 2a b ? ? 3 ? 2 2 ,当且仅当 ? ,即 b ? 2a 时,等号成立,即 a ? b 的 b a b a

最小值为 3 ? 2 2 . 考点:1 直线的方程;2.基本不等式. 9.点 P( x, y ) 是直线 x ? y ? 2 ? 0 上的一个动点,则 xy 有最___(填大或小)值, xy 的 取值范围为 ____________. 【答案】小 , [?1,??) 【解析】 试题分析:因 xy ? x( x ? 2) ? ( x ? 1) ? 1 ? ?1 ,所以 xy 有最小值, xy 的取值范围为
2

[?1,??)
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考点:二次函数最值 10.若直线 x+my+6=0 与直线(m-2)x+3y+2m=0 平行,则 m 的值为________. 【答案】-1 【解析】 试题分析:由两直线平行可得 考点:两直线平行的充要条件. 11.若 a , b 满足 a ? 2b ? 1 ,则直线 ax ? 3 y ? b ? 0 必过定点的坐标是 【答案】 ( ,? ) 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 直 线 ax ? 3 y ? b ? 0 可 变 形 为 (1 ? 2b) x ? 3 y ? b ? 0 , 所 以 .

1 m 6 ? ? ? m ? ?1 . m ? 2 3 2m

1 2

1 6

(1 ? 2 x)b ? 3 y ? x ? 0 ,令 1 ? 2 x ? 0, x ? 3 y ? 0 得 x ?
考点:直线过定点问题

1 1 ,y ?? 2 6

12. 直线 2ax ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是_________________
2

【答案】 [0, 【解析】

?
4

] ?[

3? ,? ) 4

2 2a k ? 0; 试题分析: 直线 2ax ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 的斜率为 k ? 2 , 当 a ? 0 时, 当a ? 0

a +1

时, | a |? 0 ,

| k |?

? 3? ? 1 ∴ | k| ? 1 ,故倾斜角的取值范围是 [0, ] ? [ , ? ) . 1 4 4 |a|? |a|
2

考点:直线的倾斜角与斜率 13. 已知直线 (m ? 1) x ? y ? 1 ? 0 与直线 3x ? (m ? 1) y ? 2m ? 1 ? 0 平行, 则 m=________ 【答案】-2 【解析】 试题分析:直线 (m ? 1) x ? y ? 1 ? 0 的斜率为 k1 ? 1 ? m ,两直线平行,则 k1 ? k2 ,故

3 , m ?1 ∴ m ? ?2 ,当 m ? 2 时,两直线重合,∴ m ? ?2 . 1? m ? ?
考点:两直线平行的判定 14. 两直线 l1 : ax ? 2 y ?1 ? 0, l2 : (a ?1) x ? ay ? 1 ? 0 垂直,则 a ? 【答案】 0 或 ?1 . 【解析】 试题分析:由题意可得 a(a ? 1) ? 2a ? 0 ? a ? 0 或 ?1 . 考点:两直线的位置关系.
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15.当 k>0 时,两直线 kx-y=0, 2 x +ky -2=0 与 x 轴围成的三角形面积的最大值 为 【答案】 .

2 4

【解析】试题分析:因为 2 x+ky-2=0 与 x 轴交于 (1, 0) ,由 ?

? kx-y=0 解得, ?2 x+ky-2=0

y?

2k , k ?2
2

所 以 , 两 直 线 kx-y=0, 2 x+ky-2=0 与

x 轴围成的三角形面积为

1 2k 1 , ?1? 2 ? 2 k ?2 k ? 2 k
而k ?

2 2 2 ? 2 k ? ? 2 2 ,故三角形面积的最大值为 . 4 k k

考点:1.两直线的位置关系;2.基本不等式. 16 . 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 a c o s C?

3 c ? b ,则角 2

A ? ________.
【答案】 【解析】 试 题 分 析 : 在 ?A B C 内 应 用 余 弦 定 理 得 : cosC ?

? . 6
a2 ? b2 ? c2 ,将其代入 2ab

a cosC ?

3 a2 ? b2 ? c2 3 c ? b 中 可 得 : a? ? c?b , 化 简 整 理 得 : 2 2ab 2
2

? ? b2 ? c2 ? a2 3 于是 cos A ? , 所以 A ? .故应填 A ? . b ? c ? a ? 3bc , ? 6 6 2cb 2
2 2

考点:正弦定理与余弦定理的应用. 17.在 ?ABC 中,角 A,B。C 的对边分别为 a, b, c .已知 a ? b ? bc,sin C ? 2sin B ,
2 2

则角 A 为__________. 【答案】 【解析】
2 2 试题分析:因为 sin C ? 2 sin B ,由正弦定理可知, c ? 2b ,又 a ? b ? bc ,所以

? 3

a 2 ? 3b2 , cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? 4b2 ? 3b2 1 ? ? ? ,所以 A ? . 2 3 2bc 4b 2
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考点:1.正弦定理;2.余弦定理. 18.已知钝角△ABC 的三边 a=k,b=k+2,c=k+4,求 k 的取值范围 【答案】 2 ? k ? 6 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 知 :



c

是 最 大 边 , 所 以 a 2 ? b2 ? c 2 ? 0

, 即 因 为

2 k2 ? ( k ? 2 2 ) ? k ( ? 4 ) ? 0, 解 得 ,

?2 ? k ? 6





a ? 0, b ? 0, c ? 0,a ? b ? c, c ? b ? a ,所以 k ? 2 ,所以 2 ? k ? 6
考点:余弦定理的应用 19.在 ?ABC 中,若 a 2 ? c 2 ? b2 ? tan B ? 3 ? ac ,则角 B= 【答案】 【解析】 试题分析:由余弦定理得 a 2 ? c2 ? b2 ? 2ac cos B ,所以 2 cosB ?

?

?



?
3



2? 3

3 ,所以 tan B

sin B ?
所以 B=

3 , B ? ? 0, ? ? , 2

?
3



2? 3

考点:本题考查余弦定理,同角三角函数之间的基本关系 点评:解决本题的关键是掌握余弦定理,灵活应用 20.在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 ,则△ABC 的面积等于 _____. 【答案】 2 3 【解析】
2 2 2 试题分析:在△ABC 中,由余弦定理知 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC cos A

即 12= AB +16-2×4×AB×cos60°, AB -4AB+4=0,解得 AB=2. 所以 S?ABC ?

2

2

1 1 3 AB ? AC sin A ? ? 2 ? 4 ? ?2 3 2 2 2

考点:本题考查余弦定理和三角形的面积公式 点评:解决本题的关键是熟练掌握余弦定理 21.在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a ? 4, b ? 5, ?ABC 的面积为

5 3 ,则 c ?
【答案】 21, 【解析】

; sin A ?

2 7 7

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试题分析: S ?ABC ?

1 3 ? ab sin C ? 10sin C ? 5 3 ,所以 sin C ? ? C ? ,由余弦 2 2 3 1 ? 21?c ? 21,有正弦定理可 2

2 2 2 定理得 c ? a ? b ? 2 ab cos C ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5?



a c 4 21 2 7 ? ? ? ? 2 7 ? sin A ? sin A sin C sin A 7 3 2

考点:本题考查正余弦定理 点评:有三角形面积公式求出 sin C ,由余弦定理可求 c,有正弦定理可求得 sinA 22.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则角 C ? . 【答案】

2? 3

【解析】 试题分析:由正弦定理可得 a : b : c ? 7 : 8 :13 ,所以可设 a ? 7k , b ? 8k , c ? 9k ,由余 弦定理

a 2 ? b2 ? c2 ? 7k ? ? ?8k ? ? ? 9k ? 1 2? 。 cos C ? ? ? ? ,所以 C ? 3 2ab 2 ? 7k ? 8k 2
2 2 2

考点:正、余弦定理. 23.?ABC 中, 角 A、B、 下列命题正确的是________ (写 C 所对的边分别为 a、b、 c, 出正确命题的编号). ①若 ?ABC 最小内角为 ? ,则 cos ? ?

1 ; 2

②若 A sin B ? B sin A ,则 B ? A ; ③存在某钝角 ?ABC ,有 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ; ④若 2a BC ? bCA ? c AB ? 0 ,则 ?ABC 的最小角小于 ⑤若 a ? tb?0 ? t ? 1? ,则 A ? tB . 【答案】①④⑤ 【解析】对①,因为 ?ABC 最小内角为 ? ,所以 0 ? ?

? ; 6

?

?
3

, cos ?

?

1 ,故正确; 2

对②,构造函数 F ( x) ?

sin x x cos x ? sin x ? ,求导得, F '( x) ? ,当 x ? (0, ) 时, 2 x x 2

tan x ? x , 即

s i n x x cos x ? sin x o s xs ? i n x0 ? , 则 xc 所以 F '( x) ? ? x, ?0, c o s x x2

即 F ( x) ?

sin x ? sin B sin A 在 x ? (0, ) 上单减,由② A sin B ? B sin A 得 ,即 ? x 2 B A
, 所 以

F (B) ? F ( A)

B? A

, 故 ② 不 正 确 ; 对 ③ , 因 为

tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C ,则在钝角 ?ABC 中,不妨设 A 为钝角,
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tan A ? 0, tan B ? 0, tan C ? 0





t


A?


a


B? n
确 ;

C? t
对 ④

a


A


n ?

B

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? 2a ? B C? 2 b ? C A? ?( ( a c 2 ?? c A ) )B B ? ? C ( a? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? 0 ,即 (2a ? c)BC ? (c ? b)CA,而 BC, CA 不共线,则 2a ? c ? 0, b ? c ? 0 ,
解得

b

c ? 2 a, b? 2 a, 则 a

是最小的边,故

A 是最小的角,根据余弦定理

b2 ? c 2 ? a 2 4a 2 ? 4a 2 ? a 2 7 3 ? ,知 A ? ,故④正确;对⑤, cos A ? ? ? ? 6 2bc 2 ? 2a ? 2a 8 2


a ? tb(0 ? t ? 1) 得 a ? tb ? b , 所 以 A ? B , 由 ② 知 ,

s i nB sin A ,即 ? B A

A A s i nA n i s A B t . , 又根据正弦定理知 sin A ? t sin B , 即 所以 ? t , 即A? ?t, ? B n i s B B s i nB
故①④⑤正确. 【考点定位】本题考查三角函数与解三角形、利用导数求函数的最值、不等式的应用等 知识 ,意在考查 学生综合解题能力. 24.已知 ?ABC 中, a , b , c 分别为 ?A , ?B , ?C 的对边, ?B ? 60? , b ? 2 , a ? x ,若 c 有 两组解,则 x 的取值范围是 【答案】 ? ?2 ,
? ? 4 3? ?. 3 ? ?



【解析】
2 x ? ,c ? c x ? x ?2 ? 4 0, 试题分析: 由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 得 4 ? x2? c2? c

c有

两解? ? ? x 2 ? 4 x 2 ? 16 ? 0 ,解得 x ?

4 3 .画图:以边 AC 为半径,点 A 为圆心作圆弧, 3 4 3 . 3

要使 c 有两解,必有斜边 x ? 2 , ? 2 ? x ?

考点:应用正弦定理和余弦定理解三角形. 25.等比数列 ?an ? 中, S 4 ? 5S 2 ,则 【答案】 ?

a1 ? a5 = a3 ? a5



3 . 4

【 解 析 】 设 等 比 数 列 的 首 项 为 a1 , 公 比 为 q ( 显 然 不 为 1 ) , 由 S 4 ? 5S 2 , 得

a1 (1 ? q 4 ) 5a1 (1 ? q 2 ) 2 ? ,得 1 ? q ? 5 , 1? q 1? q
即 q ? ?2 ;则

a1 ? a5 a (1 ? q 4 ) 1? q2 3 ? 12 ? ?? . 2 2 a3 ? a5 a1q (1 ? q ) 4 q
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考点:等比数列. 26. 7 ? 3 5 与 7 ? 3 5 的等比中项为 【答案】 ? 2 【解析】 试题分析:等比中项 ? ? (7 ? 3 5)(7 ? 3 5) ? ?2 考点:等比中项 27.在等差数列 ?an ?中, a1 ? 7 ,公差为 d ,前 n 项和为 S n ,当且仅当 n ? 8 时 S n 取 最大值,则 .

d 的取值范围_________.
【答案】 ? ?1, ? ? 【解析】试题解析: an ? 7 ? (n ? 1)d ∵当 n ? 8 时 Sn 取最大值 ∴ a8 ? 7 ? 7d ? 0 ? d ? ?1 ; a9 ? 7 ? 8d ? 0 ? d ? ? ∴ ?1 ? d ? ?

? ?

7? 8?

7 8

7 8

点评:解决本题的关键是利用项的性质判断 Sn 的最值 考点:本题考查等差数列性质 28.已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数列,则 _______ . 【答案】 【解析】 试 题 分 析 : 等 差 数 列 的 a1 ? a2 ? 1 ? 9 ? 10 , b2 ? 1? 9 ? 9, b2 ? 0, b2 ? 3 , 则
2

b2 的值为 a1 ? a2

3 10

b2 ? 3 a1 ? a2 10

考点:等差数列和等比数列的性质;
n 1 29.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n =n +n,则数列 bn ? ? 2 2 的前 5 项的和 an an?1

a

2



.

62
【答案】 【解析】

5 24

试卷第 13 页,总 14 页

试题分析:由 S n =n +n 得:

2

an =2n ,

bn ?

1 1 1 1 ? 2n ? ( ? ) ? 2n 4n(n ? 1) 4 n n ?1 ,所以

1 1 1 1 1 1 2(1 ? 25 ) 1 1 5 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? ? (1 ? ) ? 62 ? 62 . 2 2 3 5 6 1? 2 4 6 24 其前 5 项的和为 4
考点:裂项相消求和 30.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?
n ?1 【答案】 an ? ( ? )

1 2 an ? ,则 ?an ? 的通项公式 an ? 3 3

1 2

【解析】

1 2 1 2 a1 ? , a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, S n ?1 ? an ?1 ? ,所以 3 3 3 3 1 1 1 1 Sn ? Sn ?1 ? an ? an ?1 ? an ,所以 an ? ? an ?1 ,所以数列 ?an ? 是以 1 为首项, ? 3 3 2 2 1 n ?1 为公比的等比数列,所以 an ? ( ? ) . 2
试题分析:令 n ? 1 ,得 S1 ? 考点:等比数列通项公式.

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