北京市西城区2010年抽样测试_高三数学试卷(理科)(1班作业)

北京市西城区 2010 年高三年级抽样测试

数学试题(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷

(选择题, 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。
2 1.设全集 U=R,集合 A = { x | x ? 2 x < 0} , b = { x | x > 1} ,则集合 A I CUB=





A. { x | 0 < x < 1} C. { x | 0 < x < 2}

B. { x | 0 < x ≤ 1} D. { x | x ≤ 1} ( D. y = log 1 x
2

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y = e
x



B. y = sin x

C. y = ? x

3

3.右图是一个几何体的三视图,则该几何体 的体积为 ( ) A.6 B.8 C.16 D.24 4.若向量 a , b 满足 | a |=| b |= 1 ,且 a · b +

3 b · b = ,则向量 a , b 的夹角为( 2
A.30° C.60° B.45° D.90°



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5.关于直线 l , m 及平面α,β,下列命题中正确的是 A.若 l∥α,α I β=m,则 l∥m B.若 l ∥α,m∥α,则 l ∥m C.若 l⊥α,l∥β,则α⊥β D.若 l∥α,m⊥l,则 m⊥α 6.执行右图所示的程序,输出的结果为 48,对判断框 中应填入的条件为 ( ) A. i ≥4 B. i > 4 C. i ≥6 D. i > 6 7.已知 0 < a < b < 1 ,设 x = log b A. y < x < z C. x < z < y





1 1 , y = log a , z = log z b ,则 b b B. y < z < x D. x < y < z





8.若椭圆或双曲线上存在点 P,使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2:1,则称此椭圆或双 曲线存在“F 点” ,下列曲线中存在“F 点”的是 ( ) A.

x2 y2 + =1 16 15
2

B.

x2 y2 + =1 25 24

C. x ?

y2 =1 15

D. x 2 ? y 2 = 1

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.设 i 是虚数单位,则 10. ( x +

i = 1? i3

。 。 。

3 5 ) 的展开式中的常数项为 x2

11.若直线 x ? y + 1 = 0 与圆 x 2 + y 2 ? 2 x + 1 ? a = 0 相切,则 a = 12. 在△ABC 中,a ,b ,c 分别是三个内角 A, C 的对边, a = 1 ,b = B, 若 则 sin A = 。

1 2 ,cos B = , 3

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13.将编号为 1、2、3 的三个小球,放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中 如果每个盒子中最多放一个球,那么不同的放球方法有 种; 如果 4 号盒子中至少放两个球,那么不同的放球方法有 种。 14.无穷等差数列 {a n } 的各项均为整数,首项为 a1 、公差为 d , S n 是其前 n 项和,3、21、 15 是其中的三项,给出下列命题; ①对任意满足条件的 d ,存在 a1 ,使得 99 一定是数列 {a n } 中的一项; ②对任意满足条件的 d ,存在 a1 ,使得 30 一定是数列 {a n } 中的一项; ③存在满足条件的数列 {a n } ,使得对任意的 n ∈ N * , S 2 a = 4 S n 成立。 其中正确命题为 。 (写出所有正确命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = (cos x + sin x) + 3 cos 2 x ? 1 . (1)求 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求 f (x ) 在区间 [0,

π
2

] 上的最大值和最小值。

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16. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,M、N 分别为 PA、BC 的中点, PD⊥平面 ABCD,且 PD=AD= 2 ,CD=1 (1)证明:MN∥平面 PCD; (2)证明:MC⊥BD; (3)求二面角 A—PB—D 的余弦值。

17. (本小题满分 13 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n = n 2 ( n ∈ N * ) ,数列 {bn } 为等比数列,且满足 b1 = a1 ,

2b3 = b4
(1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 {a n bn } 的前 n 项和。

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18. (本小题满分 13 分) 设 a > 0 ,函数 f ( x ) =

1 2 x ? ( a + 1) x + a ln x . 2

(1)若曲线 y = f (x ) 在 ( 2, f ( 2)) 处切线的斜率为-1,求 a 的值; (2)求函数 f (x ) 的极值点

19. (本小题满分 14 分)
2 已知抛物线 C : y = 4 x ,直线 l : y = kx + b 与 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点。

(1)当 k = 1 ,且直线 l 过抛物线 C 的焦点时,求 | AB | 的值; (2)当直线 OA,OB 的倾斜角之和为 45°时,求 k , b 之间满足的关系式,并证明直线 l 过定点。

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20. (本小题满分 14 分) 已知曲线 C : xy = 1 ,过 C 上一点 A1 ( x1 , y1 ) 作斜率 k1 的直线,交曲线 C 于另一点

A2 ( x2 , y 2 ) ,再过 A2 ( x2 , y 2 ) 作斜率为 k 2 的直线,交曲线 C 于另一点 A3 ( x3 , y 3 ) ,…,
过 An ( x n , y n ) 作斜率为 k n 的直线,交曲线 C 于另一点 An +1 ( x n +1 , y n +1 ) …,其中 x1 = 1 ,

kn = ?

xn + 1 (x ∈ N * ) x + 4 xn
2 n

(1)求 x n +1 与 x n 的关系式; (2)判断 x n 与 2 的大小关系,并证明你的结论; (3)求证: | x1 ? 2 | + | x 2 ? 2 | +...+ | x n ? 2 |< 2 .

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北京市西城区 2010 年高三年级抽样测试

数学试题(理)
参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 40 分。 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 C 6 A 7 D 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.

1 1 + i 2 2

10. 15

11.2

12.

2 3

13.24,10 14.①③ 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分 标准给分。 ) 15. (本小题满分 13 分) 解: (1) f ( x ) = 2 sin x cos x + 3 cos 2 x 2分 4分 6分 7分

= sin 2 x + 3 cos 2 x = 2 sin( 2 x +

π ) 3

所以,函数 f (x ) 的最小正周期为 π ,

kπ π π π = kπ + , k ∈ Z ,得 x = + ,k ∈Z , 3 2 2 12 kπ π 所以,函数 f (x ) 图象的对称轴方程为 x = + ,k ∈Z , 2 12 π π π 4π (2)因为 x ∈ [0, ] ,所以 2 x + ∈ [ , ] 2 3 3 3 π 所以 ? 3 ≤ 2 sin( 2 x + ) ≤2 3 π 所以, f (x ) 在区间 [0, ] 上的最大值为 2,最小值为 ? 3 2
由 2x + 16. (本小题满分 13 分) 解: (1)证明:取 AD 中点 E,连接 ME,NE, 由已知 M,N 分别是 PA,BC 的中点,
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9分 10 分 11 分 13 分

∴ME∥PD,NE∥CD 又 ME,NE ? 平面 MNE,ME I NE=E, 所以,平面 MNE∥平面 PCD, 所以,MN∥平面 PCD (2)证明:因为 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥DA,PD⊥DC, 在矩形 ABCD 中,AD⊥DC, 如图,以 D 为坐标原点, 射线 DA,DC,DP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 正半轴建立空间直角坐标系 , 则 D(0,0,0) ,A( 2 ,0,0) B( 2 ,1,0) C (0,1,0) , P(0,0, 2 ) 6分 2分 3分

4分

所以 M (

2 2 2 2 ,0, ) BD = (? 2 ,1,0) , MC = ( ? , ,1,? ) 2 2 2 2

7分

∵ MC · BD =0,所以 MC⊥BD (3)解:因为 ME∥PD,所以 ME⊥平面 ABCD,ME⊥BD,又 BD⊥MC, 所以 BD⊥平面 MCE, 所以 CE⊥BD,又 CE⊥PD,所以 CE⊥平面 PBD, 由已知 E (

8分

9分 10 分

2 2 ,0,0) ,所以平面 PBD 的法向量 EC = (? ,1,0) 2 2

M 为等腰直角三角形 PAD 斜边中点,所以 DM⊥PA, 又 CD⊥平面 PAD,AB∥CD,所以 AB⊥平面 PAD,AB⊥DM, 所以 DM⊥平面 PAB, 所以平面 PAB 的法向量 MD = (-

11 分 12 分

2 2 ,0, ? ) 2 2

设二面角 A—PB—D 的平面角为θ, 则 cos θ =

EC ? MD | EC || MD |

=

6 . 6 6 . 6
13 分

所以,二面角 A—PB—D 的余弦值为

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17. (本小题满分 13 分) 解: (1)由已知 S n = n 2 ,得 a1 = S1 = 1 当 n ≥2 时, a n = S n ? S n ?1 = n 2 ? ( n ? 1) 2 = 2 n ? 1 所以 a n = 2 n ? 1( n ∈ N * ) 由已知, b1 = a1 = 1 设等比数列 {bn } 的公比为 q ,由 2b3 = b4 得 2q = q ,所以 q = 2
2 3

1分 3分 5分

7分 8分

所以 bn = 2 n ?1 (2)设数列 {a n bn } 的前 n 项和为 Tn , 则 Tn = 1 × 1 + 3 × 2 + 5 × 2 2 + ... + ( 2 n ? 1) ? 2 n ?1 ,

2Tn = 1 × 2 + 3 × 2 2 + 5 × 2 3 + ... + ( 2n ? 1) ? 2 n ,
两式相减得 ? Tn = 1 × 1 + 2 × 2 + 2 × 2 2 + ... + 2 × 2 n ?1 ? ( 2 n ? 1) ? 2 n 10 分

= 1 + 2(2 + 2 2 + ... + 2 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n = 1 + 4(2 n ?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n = ?(2n ? 3) ? 2 n ? 3
所以 Tn = ( 2n ? 3) 2 n + 3 18. (本小题满分 13 分) 解: (1)由已知 x > 0 11 分 12 分 13 分

2分

f ' ( x ) = x ? ( a + 1) +

a x

4分 5分 6分

曲线 y = f (x ) 在 ( 2, f ( 2)) 处切线的斜率为-1,所以 f ' ( 2) = ?1 即 2 ? ( a + 1) +

a = ?1 ,所以 a = 4 2 a x 2 ? ( a + 1) x + a ( x ? 1)( x ? a ) = = x x x
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(2) f ' ( x ) = x ? ( a + 1) +

8分

①当 0 < a < 1 时, 当 x ∈ (0, a ) 时, f ' ( x) > 0 ,函数 f (x ) 单调递增; 当 x ∈ (a ,1) 时, f ' ( x ) < 0 ,函数 f (x ) 单调递减; 当 x ∈ (1,+∞ ) 时, f ' ( x) > 0 ,函数 f (x ) 单调递增。 此时 x = a 是 f (x ) 的极大值点, x = 1 是 f (x ) 的极小值点 ②当 a = 1 时, 当 x ∈ (0,1) 时, f ' ( x ) >0, 当 x = 1 时, f ' ( x) = 0 , 当 ∈ (1,+∞ ) 时, f ' ( x) > 0 所以函数 f (x ) 在定义域内单调递增,此时 f (x ) 没有极值点 ③当 a > 1 时, 当 x ∈ (0,1) 时, f ' ( x) > 0 ,函数 f (x ) 单调递增; 当 x ∈ (a ,1) 时, f ' ( x ) < 0 ,函数 f (x ) 单调递减; 当 x ∈ ( a,+∞ ) 时, f ' ( x) > 0 ,函数 f (x ) 单调递增 此时 x = 1 是 f (x ) 的极大值点, 11 分 10 分

x = a 是 f (x ) 的极小值点

13 分

综上,当 0 < a < 1 时, x = a 是 f (x ) 的极大值点, x = 1 是 f (x ) 的极小值点; 当 a = 1 时, f (x ) 没有极值点; 当 a > 1 时, x = 1 是 f (x ) 的极大值点, x = a 是 f (x ) 的极小值点 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点为(1,0) 由已知 l : y = x ? 1 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,
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2分

? y 2 = 4x 2 联立 ? ,消 y 得 x ? 6 x + 1 = 0 , ?y = x ?1
所以 x1 + x 2 = 6 , x1 x 2 = 1 4分 6分

| AB |= ( x 2 ? x1 ) 2 + ( y 2 ? y1 ) 2 = 2 ( x 2 ? x1 ) 2

= 2

( x 2 + x1 ) 2 ? 4 x1 x 2 = 8 (或 | AB |= x 2 + x1 + 2 = 8 )

? y 2 = 4x 2 ,消 x 得 ky ? 4 y + 4b = 0 ………………(*) (依题意 k ≠0) (2)联立 ? y = kx + b ?
y1 + y 2 = 4 4b , y1 y 2 = , k k
8分

设直线 OA,OB 的倾斜角分别为α,β,斜率分别为 k1 , k 2 ,则α+β=45°,

tan(α + β ) = tan 45 0 ,

k1 + k 2 =1 1 ? k1 k 2

9分

其中 k1 = 整理可得

y1 4 4 = , k2 = ,代入上式 x1 y1 y2

11 分

4b 16 ? 16 = ,即 b = 4k + 4 , k k 此时,使(*)式有解的 k , b 有无数组
直线 l 的方程为 y = kx + 4k + 4 ,整理得 k ( x + 4) = y ? 4 当?

12 分

?x + 4 = 0 ? x = ?4 ,即 ? 时 k ( x + 4) = y ? 4 恒成立, ?y ? 4 = 0 ?y = 4
14 分

所以直线 l 过定点(-4,4)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知过 An ( x n , y n ) 斜率为 ?

xn + 1 的直线为 x + 4 xn
2 n

y ? yn = ?

xn + 1 ( x ? xn ) , x + 4 xn
2 n

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直线交曲线 C 于另一点 An +1 ( x n +1 , y n +1 ) 所以 y n +1 ? y n = ?

xn + 1 ( x n +1 ? x n ) x + 4 xn
2 n

2分



1 x n +1

?

x +1 1 ( x n +1 ? x n ) , x n+1 ? x n ≠0, = ? 2n xn x n + 4 xn xn + 4 (n ∈ N * ) xn + 1
4分

所以 x n +1 =

(2)解:当 n 为奇数时, x n < 2 ;当 n 为偶数时, x n > 2 因为 x n ? 2 =

5分

x n ?1 + 4 x ?2 ? 2 = ? n ?1 , x n ?1 + 1 x n ?1 + 1

6分

注意到 x n > 0 ,所以 x n ? 2 与 x n ?1 ? 2 异号 由于 x1 = 1 < 2 ,所以 x 2 > 2 ,以此类推, 当 n = 2k ? 1( k ∈ N * ) 时, x n < 2 ; 当 n = 2k ( k ∈ N * ) 时, x n > 2 (3)由于 x n > 0 , x n +1 = 8分

xn + 4 3 = 1+ , xn + 1 xn + 1
9分

所以 x n ≥1( n = 1,2,3 ,…)

所以 | x n +1 ? 2 |=| 所以 | x n ? 2 | ≤

xn ? 2 | xn ? 2 | 1 |= ≤ | xn ? 2 | xn + 1 xn + 1 2

10 分

1 1 1 1 | x n ?1 ? 2 | ≤ 2 | x n ? 2 ? 2 | ≤…≤ n?1 | x1 ? 2 |= n ?1 2 2 2 2 1 1 2 1 n ?1 所以 | x1 ? 2 | + | x 2 + 2 | +...+ | x n ? 2 | ≤ 1 + + ( ) + ... + ( ) 2 2 2 1 n?1 = 2?( ) < 2 2
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12 分

14 分


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