2013自主招生数学培训讲义02

不及硅步,无以至千里

2013 自主招生考试专题一: 集合与函数(二)
1. 已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c( a ? 0) ,若 | x |? 1 时, f ( x) ? 1 。 求证: x ? 1 时, 2ax + b ? 4 。

2. k 为什么实数时,方程 | x 2 - 2 x - 3 |= k 有四个互不相同的实数根?

3. 已知 f ( x ) =

ax ? 1 ? ? 2 ? ? 1000 ? (a > 0) ,求 f ? ÷+ f ? ÷ +L+ f ? ÷ 的值。 x a + a è 1001 ? è 1001 ? è 1001 ?

2 2 2 4. 已知对一切实数 x ,不等式 é( log 3 m ) - log 3 27m ù x - ( log 3 m - 3) x - 1 < 0 恒成立,求

?

(

)?

实数 m 的取值范围。

5. (2008,清华)已知: lim f ( x ) = f ( 0 ) = 1, f ( 2 x ) - f ( x ) = x 恒成立,求 f ( x ) 。
2 x ?0

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6. 求函数 f ( x) =

2 x 2 - 3x + 4 + x 2 - 2 x 的最小值。

7. 函数 f ( x ) : R ? R 满足 f ( cot x ) = cos 2 x + sin 2 x ,对所有 0 < x < p 成立。定义:

g ( x ) = f ( x ) f (1 - x ), x ? [ -1,1] , 求 g ( x ) 在 [ -1,1] 上的最大值与最小值。

8. 设 a, b, c, m 满足条件: (1) a, m > 0 ; (2)

a b c + + = 0。 m + 2 m +1 m
2

求证: ax + bx + c = 0 有一个根属于区间 (0,1) 。

9. 已知 f ( x ) = x + 1 + x + 2 + L + x + 2007 + x - 1 + x - 2 + L + x - 2007 , ( x ? R ) ,且

f ( a 2 - 3a + 2 ) = f ( a - 1) ,则 a 的值有多少?

10. (2011,北约)求 f ( x ) = x - 1 + 2 x - 1 + L + 2011x - 1 的最小值。

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11. 设 x, y, z ? [ 0,1] , x - y ?

1 1 1 , y - z ? , z - x ? ,求 2 2 2

W ( x, y, z ) = x + y + z - xy - xz - yz 的最大最小值。

【巩固练习】 1. 已知关于 x 的不等式 x 4 + ( k - 1) x 2 + 1 ? 0 恒成立,则实数 k 的取值范围是( A. k ? -1 B. k ? 0 C. -3 ? k ? 1 D. -1 ? k ? 3 )

2. 已知函数 f ( x ) = lg ê x 2 - ( k - 4) x +

é ?

9ù 。 4ú ?

(1)若 f ( x ) 对任何实数 x 都有意义,则实数 k 的取值范围是________________________。 (2)若 f ( x ) 能取任何实数值,则实数 k 的取值范围是______________________。 3. 当 0 ? x ? 1时 ,不等式 sin

px ? kx 成立,则实数 k 的取值范围是_____________。 2
2

4. 已知 f ( x) = 2 + log 3 x(1 ? x ? 9) ,则 g ( x) = é f ( x ) ù + f x 2 的最大值为________,最小 ? ? 值为____________。

( )

ax 2 + 1 5. (2012,卓越)函数 f ( x ) = (b > 0) 。 bx
(1) 求 f ( x ) 的单调区间; (2) a > 0, x1 + x2 > 0, x2 + x3 > 0, x3 + x1 > 0, xi > (3) 如果 f ( x ) 有极小值 f min = f (1) = 2 ,证明: f
3 1 2 a ; ( i = 1, 2, 3) ,求证: ? f ( xi ) > b a i =1 n

( x) -

f ( x n ) ? 2n - 2 。

6. 定义在(-1,1)上的函数 f ( x ) 满足: ①对任意 x, y ? ( -1,1) , 都有 f ( x) + f ( y ) = f ?

? x+ y ? ÷; è 1 + xy ?

1 1 1 1 ②当 x ? ( -1, 0) 时,有 f ( x ) > 0 。求证: f ( ) + f ( ) + L + f ( 2 )> f ( ). 5 11 2 n + 3n + 1

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7. 二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c( a > 0) ,方程 f ( x ) = x 的两根 x1 , x2 满足 0 < x1 < x2 < (1) 当 0 < x < x1 时,证明: x < f ( x) < x1 ; (2) 设函数 y = f ( x ) 的图像关于直线 x = x0 对称,证明: x0 <

1 。 a

x1 。 2

8. (2011,北大)设 p, q 为实数, f ( x ) = x + px + q ,如果 f
2

( f ( x ) ) = 0 只有一个实根,

求证: p, q ? 0 。

9. (2009,北大)是否存在实数 x ,使得 tan x + 3, cot x + 3 都是有理数?

10. 已知函数 f1 ( x) = e

x - 2 a +1

, f 2 ( x) = e

x - a +1

, x ? R,1 ? a ? 6 。

(1) 若 a = 2 ,求 f ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) 在 [ 2,3] 上的最小值; (2) 若 f1 ( x) - f 2 ( x) = f 2 ( x) - f1 ( x) 对任意实数 x 恒成立,求 a 的取值范围; (3) 求函数 g ( x) =

f1 ( x) + f 2 ( x) f1 ( x) - f 2 ( x) 在 [1, 6] 上的最小值。 2 2

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