高中数学2-4-2第2课时抛物线方程及性质的应用精品课件同步导学新人教A版选修_图文

? 第2课时 抛物线方程及性质的应用 ? 1.掌握直线与抛物线位置关系的判断. ? 2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识. ? 3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题. ? 1.直线与抛物线的位置关系.(重点) ? 2.直线与抛物线相交.(难点) ? 3.常与方程、不等式、三角函数、平面向量等知识结合命 题,而且命题的形式多样化,其中解答题的形式居多. 1.抛物线 ? 1? ?0,- ? 2 4? y=-x 的焦点坐标为 ? . 2.已知抛物线的焦点坐标为(-3,0),准线方程为 x=3,则抛物 线的标准方程为 y2=-12x . 3.过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F,作一条直线交抛物线于 P,Q 1 1 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p,q,则 + =______. p q 解析: ∴焦点 1 抛物线 y=ax 化为标准形式为 x =ay. 2 2 ? 1? F?0,4a?.取特殊情况,如右图所示,即直 ? ? 线 PQ 平行于 x 轴时,有 p=q. ∵|PF|=|PM|=p, 1 1 1 2 ∴|PF|=2a,故p+q=p=4a. ? 答案: 4a ? 直线与抛物线的位置关系 ? 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程 与抛物线方程联立整理成关于x的方程:ax2+bx+c=0. ? (1)若a≠0, ? 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; ? 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; ? 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点. ? (2)若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛 物线的对称轴或与对称轴重合.因此,直线与抛物线有一个 交点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件. ? 1.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交 抛物线于 A、B两点,若线段 AB的中点的纵坐标为 2,则该抛 物线的准线方程为( ) ? A.x=1 ? C.x=2 B.x=-1 D.x=-2 p 解析: 直线 AB 的方程为 y=x- ,代入 y2=2px, 2 得 y2-2py-p2=0 ∴y1+y2=2p=4,∴p=2, 故抛物线方程为 y2=4x, ∴准线方程为 x=-1. ? 答案: B 2.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是( ? 1 1? A.?-2,2? ? ? ) B.[-2,2] D.[-4,4] C.[-1,1] 解析: 准线 x=-2,Q(-2,0),设 l:y=k(x+2), ? ?y=k?x+2?, 由? 2 ? ?y =8x, 得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0. 当 k=0 时,x=0,即交点为(0,0), 当 k≠0 时,Δ≥0,-1≤k<0 或 0<k≤1. 综上,k 的取值范围是[-1,1]. ? 答案: C 3.抛物线 y2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若|AB|=4 3,则焦点到 AB 的距离为________. 解析: 由方程 y2=4x 知抛物线关于 x 轴对称. 故可设 A(x0,2 3),且点 A 在抛物线上. ∴(2 3)2=4x0,∴x0=3, ∴直线 AB 的方程为 x=3. 又抛物线 y2=4x 焦点坐标为 F(1,0). ∴焦点 F 到直线 AB 的距离 d=|3-1|=2. ? 答案: 2 4.已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y=2x-4 所 得的弦长|AB|=3 5,求此抛物线的方程. 解析: 设所求抛物线方程为 y2=ax(a≠0), A(x1,y1),B(x2,y2), ? ?y=2x-4 ? 2 ? ?y =ax 消去 y 得 4x2-(a+16)x+16=0. 由 Δ=(a+16)2-256>0 得 a>0 或 a<-32. a+16 又∵x1+x2= 4 ,x1· x2=4. ∴|AB|= ?1+22?[?x1+x2?2-4x1x2]=3 5 即 ??a+16? ? ?? ?2 ? 5?? - 16 ? ?=45, ?? 4 ? ? ∴a=4 或 a=-36. ∴所求抛物线方程为 y2=4x 或 y2=-36x. ? 直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l 与C有: ? (1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点. [解题过程] ? ?y=kx+1 由? 2 ? ?y =4x , 得 k2x2+(2k-4)x+1=0 (*) 1 当 k=0 时,方程变为-4x+1=0,x=4,此时 y=1, ∴直线 l 与 C ?1 ? 只有一个公共点?4,1?, ? ? 此时直线 l 平行于 x 轴. 当 k≠0 时,方程(*)是一个一元二次方程, Δ=(2k-4)2-4k2×1=16-16k. ? ①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时l与 C相交; ? ②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C 相切; ? ③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相 离. ? 综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点; ? (2)当k<1且k≠0时,直线l与C有两个公共点; ? (3)当k>1时,直线l与C没有公共点. ? [题后感悟] 判断直线与抛物线的位置关系,将直线方程 与抛物线方程联立消去一元,整理成关于x(或y)的方程.注 意讨论二次项系数是否为零.若二次项系数为零,直线与抛 物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴;若二次 项系数不为零,则通过判别式Δ判断公共点的个数. ? 1.若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax恰好有一个公 共点,试求实数a的取值集合. 解析: 因为直线 l 与曲

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