等差数列前n项和的公式教案

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《等差数列前 n 项和的公式》教案 项和的公式》
陕西省丹同中学

教学目标

A、知识目标:

掌握等差数列前 n 项和公式的推导方法;掌握公式的运用。

B、能力目标:

(1)通过公式的探索、发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、 归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

(2)利用以退求进的思维策略,遵循从特殊到一般的认知规律,让学生在实践中通过 观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式,培养学生类比思维能力。

(3)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析,培养学生思维的灵活性,提高学生分 析问题和解决问题的能力。

C、情感目标:(数学文化价值)

(1)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中,从而使学生受到辩证唯物主义思想的 熏陶。

(2)通过公式的运用,树立学生"大众教学"的思想意识。

(3)通过生动具体的现实问题,令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣和欲望,树 立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感。

教学重点:等差数列前 n 项和的公式。

教学难点:等差数列前 n 项和的公式的灵活运用。

教学方法:启发、讨论、引导式。
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教具:现代教育多媒体技术。

教学过程

一、创设情景,导入新课。

师:上几节,我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质,今天要进一步 研究等差数列的前 n 项和公式。提起数列求和,我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神 速求和"的故事,小高斯上小学四年级时,一次教师布置了一道数学习题:"把从 1 到 100 的自然数加起来,和是多少?"年仅 10 岁的小高斯略一思索就得到答案 5050,这使教师非 常吃惊,那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢?如果大家也懂得那样巧妙计 算, 那你们就是二十世纪末的新高斯。 (教师观察学生的表情反映, 然后将此问题缩小十倍) 。 我们来看这样一道一例题。

例 1,计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

这道题除了累加计算以外, 还有没有其他有趣的解法呢?小组讨论后, 让学生自行发言 解答。

生 1:因为 1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可凑成 5 个 11,得到 55。

生 2:可设 S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根据加法交换律,又可写成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

上面两式相加得 2S=11+10+......+11=10×11=110 10 个

所以我们得到 S=55,

即 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

师:高斯神速计算出 1 到 100 所有自然数的各的方法,和上述两位同学的方法相类似。

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理由是:1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有 50 个 101,所以 1+2+3+......+100=50×101=5050。请同学们想一下,上面的方法用到等差数列的哪一个性 质呢?

生 3:数列{an}是等差数列,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq.

二、教授新课(尝试推导)

师:如果已知等差数列的首项 a1,项数为 n,第 n 项 an,根据等差数列的性质,如何来 导出它的前 n 项和 Sn 计算公式呢?根据上面的例子同学们自己完成推导,并请一位学生板 演。

生 4:Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成

Sn=an+an-1+......a2+a1

两式相加得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) n个

=n(a1+an)

所以 Sn=

(I)

师:好!如果已知等差数列的首项为 a1,公差为 d,项数为 n,则 an=a1+(n-1)d 代入公 式(1)得

Sn=na1+

d(II)

上面(I)、(II)两个式子称为等差数列的前 n 项和公式。公式(I)是基本的,我们 可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2 相类比,这里的上底是等差数列的 首项 a1,下底是第 n 项 an,高是项数 n。引导学生总结:这些公式中出现了几个量?(a1,d,

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n, n,Sn),它们由哪几个关系联系?[an=a1+(n-1)d,Sn= a

=na1+

d];这些量中有几个可自由变化?(三个)从而了解到:只要

知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式(I)和(II)的一些应用。

三、公式的应用(通过实例演练,形成技能)。

1、直接代公式(让学生迅速熟悉公式,即用基本量观点认识公式)例 2、计算:

(1)1+2+3+......+n

(2)1+3+5+......+(2n-1)

(3)2+4+6+......+2n

(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

请同学们先完成(1)-(3),并请一位同学回答。

生 5:直接利用等差数列求和公式(I),得

(1)1+2+3+......+n=

(2)1+3+5+......+(2n-1)=

(3)2+4+6+......+2n=

=n(n+1)

师: (4) 第 小题数列共有几项?是否为等差数列?能否直接运用 Sn 公式求解?若不能, 那应如何解答?小组讨论后,让学生发言解答。

生 6:(4)中的数列共有 2n 项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看成两个等 差数列,所以

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原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)
2-n(n+1)=-n

=n

生 7:上题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为-1,故可得另一解法: 原式=-1-1-......-1=-n n个

师:很好!在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法。注意在运用 Sn 公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解。

例 3、(1)数列{an}是公差 d=-2 的等差数列,如果 a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,求 a1, d,S10。

生 8:(1)由 a1+a2+a3=12 得 3a1+3d=12,即 a1+d=4

又∵d=-2,∴a1=6

∴S12=12 a1+66×(-2)=-60

生 9:(2)由 a1+a2+a3=12,a1+d=4 a8+a9+a10=75,a1+8d=25

解得 a1=1,d=3 ∴S10=10a1+

=145

师:通过上面例题我们掌握了等差数列前 n 项和的公式。在 Sn 公式有 5 个变量。已知 三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二),请同学们根据例 3 自己 编题,作为本节的课外练习题,以便下节课交流。

师:(继续引导学生,将第(2)小题改编)

①数列{an}等差数列,若 a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,且 Sn=145,求 a1,d,n

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②若此题不求 a1,d 而只求 S10 时,是否一定非来求得 a1,d 不可呢?引导学生运用等 差数列性质,用整体思想考虑求 a1+a10 的值。

2、用整体观点认识 Sn 公式。

例 4,在等差数列{an}, (1)已知 a2+a5+a12+a15=36,求 S16;(2)已知 a6=20,求 S11。 (教师启发学生解)

师:来看第(1)小题,写出的计算公式 S16= 发现了什么?

=8(a1+a6)与已知相比较,你

生 10:根据等差数列的性质,有 a1+a16=a2+a15=a5+a12=18,所以 S16=8×18=144。

师:对!(简单小结)这个题目根据已知等式是不能直接求出 a1,a16 和 d 的,但由等 差数列的性质可求 a1 与 an 的和,于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的 体现。

师:由于时间关系,我们对等差数列前 n 项和公式 Sn 的运用一一剖析,引导学生观察 当 d≠0 时,Sn 是 n 的二次函数,那么从二次(或一次)的函数的观点如何来认识 Sn 公式 后,这留给同学们课外继续思考。

最后请大家课外思考 Sn 公式(1)的逆命题:

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于所有自然数 n,都有 Sn= 是否为等差数列,并说明理由。

。数列{an}

四、小结与作业。

师:接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。

生 11:1、用倒序相加法推导等差数列前 n 项和公式。

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2、用所推导的两个公式解决有关例题,熟悉对 Sn 公式的运用。

生 12:1、运用 Sn 公式要注意此等差数列的项数 n 的值。

2、具体用 Sn 公式时,要根据已知灵活选择公式(I)或(II),掌握知三求二的解题 通法。

3、当已知条件不足以求此项 a1 和公差 d 时,要认真观察,灵活应用等差数列的有关性 质,看能否用整体思想的方法求 a1+an 的值。

师:通过以上几例,说明在解题中灵活应用所学性质,要纠正那种不明理由盲目套用公 式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人,去发现更多的性质,主动积极地去学 习。

本节所渗透的数学方法;观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。

数学思想:类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。

作业:P49:13、14、15、17

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